CHAPITRE IIL

40. On peut caFaciériser les cristaux à un axe optique en disant que le cristal coïncide avec lui-même, quand on le fait

tourner autour de son axe d'un certain angle égal à — ? n étant

un nombre entier plus grand que 2. Dans le rhomboèdre, on a 71 = 3, comme dans le prisme droit à base triangulaire équilatérale ; dans le prisme droit à base carrée, on a «=4» ^^^* La disposition du mrilieu éthéré qui pénètre )e cristal étant représentée à l'aide d'un ellipsoïde, comme nous l'avons expliqué au n" 37, il faut que cet ellipsoïde coïncide avec lui-même,

quand on le fait tourner de l'angle — autour de l'axe du cris-

tal. Ceci exige que Fun des axes de Tellipsoïde coïncide avec l'axe du cristal, et de plus que l'ellipsoïde soit de révolution autour de cet axe; mais alors l'ellipsoïde coïncide avec luimême quel que soU l*angle de rotation, et par conséquent le milieu éthéré est isotrope autour de Taxe du cristal. Si donc on prend l'axe du cristal pour axe des ;r, on ferai

d'où

A, = 2[A — 2(AH-/)a],

wf = (g^-+- A) - (gr— /)a -h 3(g^-h 2 A -h /)fla%

«J = û»J =(g^-h A)— (g^-^- 3A -h 2/)a-h 3(g^-i- 2A -h /)€ïfle,

et les équations (6) deviennent

Lorsque la normale au plan de Tonde coïncide avec l'axe du prisme, c'est-à-dire lorsque a=^i, (3 = 7 = 0, ces équations admettent les deux solutions

A la première correspond une vibration transversale indéterminée, à la seconde une vibration longitudinale. La lumière traverse donc le cristal parallèlement à Taxe, sans se polariser.

41. Dans le cas général, on déduit des équations (10) la relation

qui peut être satisfait de deux manières. Si Ton pose

on a

A = o, (3B-hyC = o;

la vibration est polarisée en ligne droite; elle s'effectue suivant la trace du plan de Fonde sur un plan perpendiculaire à Taxe du cristal; c'est une vibration rigoureusement transversale.

Les deux autres vibrations, satisfaisant à la condition -^ = -»

s'effectuent dans le plan mené par Taxe du cristal perpendiculairement au plan de l'onde. Leurs vitesses de propagation sont données par l'équation ifû second degré

à laquelle se réduit l'équation (7), quand on supprime la solution &)' = wj. L'une des racines est comprise entre Wi et wa; comme ces deux quantités diffèrent peu l'une de l'autre, les deux différences w' — wj et w* — (ù\ sont petites; si l'on néglige les quantités petites du second ordre, on peut réduire cette équation à

58 LIVRE II. - CHAPITRE Ul.

d'où Ton déduit

(il) a)' = ((3^4-y')w;-^a^&);=:û,>J-^-a^(a)î — «;).

En mettant cette valeur de w^ dans les équations (lo), on a, au même degré d'approximation,

(12) a:AH-;3B4-yC = — :-^ ^^

Ceci indique que la vibration qui correspond à la seconde racine fait un très-petit angle avec le plan de Tonde; comme elle est perpendiculaire à la première, elle est située dans le plan mené par Taxe du prisme perpendiculairement au plan de Tonde.

La troisième vibration, étant perpendiculaire aux deux premières, esta peu près normale au plan de Tonde; la vitesse de propagation de cette vibration est

' = wj-t-/i, -hi5(A -\-l)aoc\

42. L'expérience apprend que la vitesse de propagation de l'une des deux vibrations transversales est la même dans toutes les directions. La vitesse de propagation de la vibration quasitransversale est donnée par la formule (i i)

pour que cette vitesse fût constante, il faudrait que Ton eut g^-h/< = o, ce qui est impossible, car alors la vitesse de propagation des vibrations transversales dans le milieu isotrope serait nulle. La vitesse de propagation d(» la vibration rigoureusement transversale est

'=r,)î = (gr|/|, (gr j 3/, 4. ^ /)r/ -f- i ( ^r-J- 7. A -+- i ) (l (X' ;

pour que cette vitesse soil constante, il esi nécessaire et il suffit que la condition

soil remplie. On (»n conclut t|ue le ravon appelé p^ar les phvsi<'i(Mis rayon ordinaire correspond à la vibration rigoureuse-

ment transversale, et que le rayon extraordinaire correspond à la vibration quasi-lransversale.

On appelle plan de polarisation du rayon ordinaire le plan mené par Taxe du cristal perpendiculairement au plan de Tonde. Puisque la vibration de ce rayon est perpendiculaire à Taxe, elle est perpendiculaire au plan de polarisation. Ainsi se trouve justifiée Thypothèse de Fresnel.

43. JPour que la vitesse de propagation du rayon ordinaire soit constante, il faut, avons-nous dit, que la quantité g"-h2 A-h/ soit nulle. Si l'on suppose que la force moléculaire varie en raison inverse de la /i''"" puissance de la distance, on a [iv** 33 et 38)

. (/i-hi)(/t-f- 3) ^ ma n -h 3 , __ (n -f- 1 ) (^^ "+" 3)

on en déduit

ff-h 2/1 -{- 1= 'r^ ' fr

Pour que la quantité g^-f-a/i-f-/ soit nulle, il faut que Toit ait, soit 71 = 4, soit n = 6. Mais la première solution n'est pas admissible, car alors la quantité g-hh, et par conséquent la vitesse de propagation des vibrations transversales dans le milieu isotrope, serait nulle. On doit donc faire /i=6, ce qui exige, d'après la remarque du n" 33, que la force moléculaire soit répulsive.

Ainsi, de ce que la vitesse de propagation du rayon ordinaire dans les cristaux à un axe est constante, il semble résulter que les molécules d'ét/ier se t^poussenl en raison inverse (le la sixième puissance de la distance.

6o LIVRE 11. - CHAPITRE Ul.

kk, £n admettant cette loi, et posant

— I ^ ma

on a

g-i- /i = ip, h-{- 1 = — 2/1, .

A, = i4/? ( i-h-«j , h,=: h3= i^pli aU

wî = 2/i(i — 2«), ùi)\=(til= ipli-ha)'

Un ébranlement initial concentré dans un espace très-petit autour de l'origine donne naissance à trois ondes distinctes. Celle qui correspond à la vibration transversale est sphérique. L'onde produite par la vibration quasi-transversale, au temps t=i, est l'enveloppe du plan mobile

a^ 4- (3 j H- y 2 = co,

63 étant donnée par l'équation (i i)

c'est la surface polaire réciproque, par rapport à la sphère ^* -h j* -h 2^ = 1, de la surface S, que l'on obtient en portant

sur la normale au plan mobile une longueur égale à — (n"* 30), surface qui a pour équation

Le pôle du plan tangent au point (^, , j,, 2,) à l'ellipsoïde S» est donné par les formules

fji\Xi «îj^, w'Zi

En éliminant Xi^ y\^ z, entre cûs quatre équations, on obtient l'onde S

CRISTAUX A UN AXE OPTIQUE. 6i

C'est un autre ellipsoïde dont les axes sont inverses de ceux du premier. On trouve ainsi l'ellipsoïde d'Huyghens; Tonde sphérique qui correspond au rayon ordinaire est tangente à cet ellipsoïde aux sommets de Taxe de révolution.

La vibration sur l'ellipsoïde en un point quelconque M coïncide sensiblement avec la projection sur le plan tangent du rayon OM qui aboutit en ce point. Si l'on appelle l'angle que fait la perpendiculaire OP au plan de l'onde avec l'axe du prisme, que l'on considère sur la vibration la direction qui fait un angle aigu avec cet axe, et que l'on désigne par cp l'angle que fait cette direction avec la normale OP, on a, d'après l'équation (12),

COS9 == "aaA= -% asin^Oy 7 ï4

en remplaçant A par sa valeur approchée sin0; l'angle cp est

Fig. 5. Fig. 6.

aigu ijig. 5), quand l'ellipsoïde (i3) est allongé, obtus {Jlg, 6), quand l'ellipsoïde est aplati.

Dans le quartz, pour la raie D, on a

Mi 1 ,5533

on en déduit

a= o,oo4 =

Appelons 9' l'angle que fait la vibration avec le plan de Tonde;

le maximum de l'angle 9', qui a lieu pour ô = j^ est ici moindre

que 9'.