DISSOLUTIONS DOUÉES DE LA POLARISATION CIRCULAIRE
70. Concevons un liquide dans lequel flotlenl une multitude de molécules ou de petits cristaux dissymétriques orientés dans tous les sens. Ceci revient à supposer que le plan
• de la modification périodique éprouvée par Féther ait toutes
les directions possibles.
Prenons trois axes rectangulaires : l'un oxi perpendiculaire
au plan de périodicité
a^4- j37+yz = o,
les deux autres oj, et oz^ situés dans ce plan. Dans l'équation (III), il faut faire
. j3 = y = o, A'=a'cc, A" = a"a, U==aM, 0o=a?o.
Nous supprimerons Tindice o, qui devient inutile, et nous affecterons les lettres qui se rapportent aux nouveaux axes des indices I et 2. En outre, comme la polarisation circulaire ne dépend pas des termes du second degré, nous n'écrirons pas ces termes. On a ainsi les trois équations
no LIVRE IV. - CHAPITRE IL
i/.ai.,r,{D;ô';-U^,ô',) + ;,(^/-^-.Çi.î)a.,(«'e^,-«''ô',) = o,
i;7a«,rr,(U;6^,~UÎÔ'0+/^(-7^^~y«î)««',K«',-«'e;)^
Dans le plan perpendiculaire à oxt, prenons deux axes fixes
rectangulaires oj, el ozt el désignons par X Tangle jiO/a. On a
jj =jjCos^--ZjSin^, /j =/,cos> + z, sinA,
z, = j,8in>-4-aaC08>, z, = -— ^,sinX4-z,co8^.
On en déduit
^>^ = Pj 008 A — w, sin A , p, = (', cos^ + w, 8in X ,
(V, = p, sinX 4- iVjCos A , rr^ = — p^ sinX + fv, cosX ;
DISSOLUTIONS DOUÉES DE LA POLARISATION CIRCULAIRE, m L'équation (I) devient
-i.3poL'[{a'b"^b'a")7i,-[-[a'c"~c'a")t,]
En retranchant membre à membre les équations (2) et (3), après les avoir multipliées par cosX et sinX, on a
+p(^A'^^u{\(b'c''-c'b'')aw,^,
-h''^p[(a'b"-b'a'')i>,^[a'c''-'C'a")w^)]<xu,P,^, --^p(P-'U])oL[(b'a"--a'b")cos'k-{c'a'-a'c'')sm\]li,
Concevons que les axes oji et ozt tournent autour de Taxe o^r,;
pour cela, multiplions les équations (4) et (5) par — et in-
tégrons, par rapport à i, de o à itz, U faut imaginer que Ton
remplace, dans ces équations, l'a, «'a, rij, Çi par leurs valeurs;
lia UVBE IV. — CHAPITRE D.
les termes qui contiennent en facteur cosX ou sinX donnent des résultats nuls : on a ainsi
H-gA'f'-'*"- b'c')au,i; («f,»!, — p.Ç.) = o,
( Dî - 2/,X' ) r, , 4 ;«,-, ^ +;, (C'A'- A'c») (I *■ - Ç «î) <"'. Ç,
7i . Dans la moyenne que nous venons de prendre, les termes du premier degré disparaissent. La polarisation circulaire dépend donc des termes du troisième degré. Pour que ces termes existent, il est nécessaire que la quantité (/b" — b*c^ soit différente de zéro, c'est-à-dire que le système des molécules d'éther ne puisse pas coïncider avec son symétrique, et par conséquent que les molécules du corps tenu en dissolution présentent une certaine dissymétrie. Nous nous représentons la disposition dissymétrique des molécules d'éther, en concevant que les files parallèles à Taxe oxt ont été tordues en hélices elliptiques (n° 53).
Il est à remarquer que la quantité c'b*^ — b'c^ est constante, quelle que soit la direction des axes ojtj et oz, par rapport à Tellipse. Si Ton fait coïncider ces deux axes suivant les axes de Tellipse, on a, par exemple,
3jj = b\ cosa:r,, dz,= c\ sinaâr. , et Taire de Tellipse a pour expression
7rc.6'; = 7:(c'6"— 6'rt").
DISSOLUTIONS DOUÉES DE LA POLARISATION CIRCULAIRE. ii3
On obtiendra donc les mêmes termes du troisième degré dans les équations (6), si Ton remplace Fellipse par une autre équivalente. Les équations (6) étant indépendantes de a' et a" y nous pouvons supposer que ces quantités sont nulles, c'est-àdire que les hélices elliptiques n'éprouvent aucune dilatation ni contraction périodique parallèlement à Taxe.
Nous sommes arrivés aux équations (6) en faisant tourner l'hélice elliptique autour de son axe; nous obtiendrons immédiatement ces mêmes équations en supposant les molécules d'éther disposées suivant des hélices circulaires représentées
par les formules
d^,=o, â^i = ft, cosa^i, â-3| = dbfti sina^i, avec la condition
Et, en effet, dans ce cas, les équations (i), {2), (3) se réduisent à la forme (6).
72. Donnons maintenant à l'axe oxy de l'hélice toutes les directions possibles dans l'espace. Désignons par a', P', / les cosinus des angles que fait l'axe o^, de l'hélice avec les axes fixes oxy oj, ozy et de même par a", P", /', a'*', (3'", y'* les cosinus des angles que font les axes ofx et oz, avec ox^ oy, oz. On a les formules de transformation
X = et! Xx -h a"ji -h «"'z, ,
2 = /^, -4- fy-K H- i'z, ,
ou les formules inverses
Xi = oL^x 4- (3'7 4- / 2, y,=aiI'X'\-(^"y'\-fz, 2, =a'*:r4-(3>4-/'-3.
On en déduit
u = a'w, -h cx!'vx 4- od" Wx ,
ii4 LIVRE IV. - CHAPITRE 0.
ou inversement
Ux = cc'u -hP'('-f-y^<^
Les deux systèmes d'axes ayant la même disposition, on a
On en déduit»
ol' (V, — o^" Vy=y'v — (3' «s
Si Ton ajoute les équations (6) membre à membre après les avoir multipliées respectivement par a', a", (x!\ et qu'on représente par m la quantité constante c'b" — h'c"^ il vient
(DJ— ipP) Ç — i4/?«<F -H ^ mcLUu^ ( rï',»}, — t'i Ç, )
OU
-I- -rpmoLU {a'u -t- PV -h y'w) [a' (tvyj — c^Ç ) ■+- P'(wÇ — m^5)-I- 7'(<'Ç — «>))] o
De l'origine comme centre, avec un rayon égal à l'unité, dé-
DISSOLUTIONS DOUÉES DE LA POLARISATION CIRCULAIRE. ii5 crivons une sphère et appelons da un élément de la surface de cette sphère; si Ton imagine que Taxe de Thélice prenne toutes les directions dans l'espace, il faudra multiplier tous les
termes de Téquation précédente par 7— et intégrer dans toute.
rétendue de la surface de la sphère. Les termes qui contiennent en facteur une puissance impaire de a', (3', y' ont des moyennes nulles; chacun des facteurs «'^ [3'% y'' a une
moyenne égale à ^; les moyennes des facteurs de la forme
a'S a'^û'^sont p et ^• ^ 3.5
D'après cela on arrive à l'équation
(D? — 7.pk^)l — i4pM9H |-g/?ma2A-»(«;yî — ^^0 = 0.
Les termes du second degré que nous avons négligés dans ce calcul auraient donné un terme contenant A*' en facteur. En
posant q= — ^-^pma^, on obtient ainsi les trois équations
(7) I (D?-«;X-^)y,-l4;?(.^ + ^A-^(«Ç-(vÇ) = o,
Ces équations sont de la forme générale
( (D?-EX-')?-Ptt<?4-QX'*(f«'>î-<'Ç) = o,
(8) 1 (D?-EX'=')>î-P(^'i>-4-QA-'(MÇ-«'?) = o,
E, P, Q étant des fonctions entières de k\
Elles ne changent pas quand on fait tourner les axes des coordonnées d'une manière quelconque autour de l'origine, en conservant toutefois leur disposition. Le signe de la constante m, et par conséquent de la constante g, dépend du sens de l'hélice.
