Essai sur le calcul des quaternions de M. W. Hamilton

Je me suis proposé d’examiner, dans cet essai, les principes d’un nouveau genre d’analyse, imaginé par l’illustre astronome irlandais M. W. Ilamilton, et nommé par lui le calcul des i/uateruious. L’idée de ce travail, dont l’origine est déjà un peu ancienne, m’a été suggérée par l’étude du dernier ouvrage de cet auteur : Lectures ou guaternious (Dublin, 1855), dans lequel se trouvent résumés la plupart des travaux antérieurs publiés par lui sur ce sujet. Comme les applications de cette théorie sont susceptibles d'une grande extension et embrassent, pour ainsi dire, toutes les branches de l’analyse, je me suis contenté de l’appliquer ici à quelques questions géométriques, qui suffisent pour montrer l’esprit de la méthode. Il y a un certain intérêt à retrouver ainsi, par la seule force de ce nouveau calcul, des résultats connus ; et cet exercice ne me semble pas, comme on pourrait le craindre, sans utilité pour la science, qui gagne

toujours, on le sait, au rapprochement qui se fait naturellement entre des méthodes différentes employées vers un même but.

Le calcul des quaternions présente une belle et curieuse extension à l’étendue à trois dimensions d’une représentation géométrique des expressions imaginaires, par des droites situées dans un même plan, dont on s’est beaucoup occupé dans ces derniers temps. Mais on peut aussi le concevoir comme une application particulière d’un autre plus général que j’appellerai le calcul des symboles et qui consiste à introduire dans l’analyse les symboles comme de véritables quantités, sous la condition de ne pas faire varier l’ordre dans lequel ils se présentent comme facteurs d’un produit. On les fait ensuite disparaître du calcul à l’aide d’un système de substitutions convenablement choisies qui ne laissent apercevoir en dernier lieu que des relations entre des quantités ordinaires. C’est ainsi que, dès l’origine du calcul différentiel, on a imaginé de considérer dans certains cas le signe des différences comme un facteur symbolique, et qu’on a été conduit à des formules très -remarquables dont M. Cauchy a beaucoup étendu l’emploi. Je présente ici sous ce point de vue la théorie du calcul de M. Hamilton, dont j’ai cru devoir, en raison de sa nouveauté, reprendre entièrement l’exposition. Je l’ai fait d’ailleurs très-succinctement, en supprimant toutes les considérations philosophiques ingénieuses et intéressantes qui s’y rattachent, et pour lesquelles je ne puis mieux faire que de renvoyer aux écrits de l’inventeur.

Je crois cependant avoir montré tout ce qui se rapporte d’une manière essentielle à ce calcul, et j’ai conservé scrupuleusement