L-Lp-uvp'p

( m )* Sp’eY 6 TVp'p" ’

Dans le cas où la distance des tangentes serait partout du quatrième ordre, cette courbe satisferait à l’équation diiïérentielle

laquelle équivaut à

s?vr = o,

Or (35) le vecteur Vp'p'" rat la fonction dérivée de Vp'p". Donc on aura par l’intégration (34)

UV»" = Uï,

y désignant un vecteur constant. Le plan oscillateur de la courbe actuelle serait donc constant, par suite la courbe serait plane, et la distance de ses tangentes, rigoureusement nulle.

79. Abordons maintenant quelques points de la théorie des surfaces. Désignons encore par p le vecteur d’un point d’une surface, ici p sera une fonction de deux variables indépendantes quelconques exprimées ou sousentendues, que nous désignerons toujdurs dans ce qui va suivre par les lettres «et»; les diverses valeurs attribuées à ces variables détermineront sur la surface deux systèmes de courbes que nous appellerons (U) et (V), et qui s’obtiendront en faisant varier, pour tracer les courbes de chaque sys-

terne, l’une des variables, l'autre restant constante. Ainsi, dans chacune des courbes (U) la quantité v variera seule, et, au contraire, ce sera la variable « qui seule changera dans chacune des courbes de l’autre système (V). La variation totale do correspondant à un déplacement infiniment petit quelconque du vecteur p sera par suite composée de deux parties, et l’on aura

rf P =(|)du+(g)rf«.

(</") Gt ( 5 °) désignant deux vecteurs qui sont les dérivées partielles du

vecteur p par rapport à chacune des variables indépendantes. En établissant une relation quelconque entre les variables u et v, p deviendrait fonction d’une seule variable, et l’extrémité dep décrirait alors une courbe assujettie à rester sur la surface. En supposant, par exemple, que v soit une fonction donnée de u , on aurait pour l’élément de la courbe correspondant à cette fonction

Quelle que soit la fonction a et sa dérivée algébrique—, il est visible

au

que l’élément dp demeurera toujours dans nn même plan, perpendiculaire au vecteur ’

Ce sera le plan tangent à la surface au point p, et le vecteur précédent aura la direction de la normale à la surface au même point.

80. Les diverses courbes qu’on peut tracer d’un même point sur une surface donnée, présentent dans le voisinage de ce point quelques propriétés remarquables, et qui sont maintenant bien connues. Pour les étudier, posons

dp

du

*l = r , et = t

du 1 ’ dudv dv‘ ’

p, q, r, s et t étant des vecteurs bien définis et fonctions de u et de v. Pour

obtenir une courbe quelconque de la surface, supposons que u et v soient fonctions d’une même variable, et désignons par u', v', u" et v"... les dérivées de ces deux fonctions par rapport à cette seule nouvelle variable indépendante, l’inverse du rayon de courbure, ou la courbure delà ligne comptée sur la directiou de ce rayon, sera pour la ligne considérée, en faisant pour plus de simplicité l’élément dt=Tdp

p" — pu" + çu" + ru 1 ’ -(- 2 su'v' h)’’,

Donc la projection de cette courbure sur la normale sora

Svp" = Svr . + 2Sv* . «V + Sv< . d',

en posant

v = Up7,

v étant la direction de la normale à la surface au point p , ce qui donne

Svp = Svj = 0.

La formule précédente montre que la projection do la courbure sur la normale ne dépend en chaque point que des valeurs de «' et v' ou de la direction de la tangente, d’où l’on conclut facilement, en remplaçant la courbure par l’inverse du rayon de courbure, le théorème connu de Meusnier.

81. L’équation précédente donne aussi le moyen de discuter avec la plus grande facilité les valeurs des diverses courbures, ou, ce qui revient au même, celles des rayons de courbure de la surface, et conduit aux théorèmes bien connus d’Euler que nous ne rappellerons pas ici ; ou en déduit encore l’équation des lignes de courbure, en définissant ces lignes par la propriété qu’elles ont de déterminer en chaque point suivant la normale un rayon de courbure maximum ou minimum. En effet, on a

dp = pdu 4- qdo ou p' = pu‘ 4 - çd.

Prenant toujours pour unique variable indépendante la longueur de la courbe, et faisant Tp'=1 , appelant de plus R le rayon de courbure variable dirigé suivant la normale en chaque point de la courbe, on aura

p' 1 = p'u 1 4- 28 pqu'd 4- jV* = — 1

et

Svr . i£' -f- 2Svs . uV -f- S vf . rf* p’u ’ -J- 2S/)y . uV -f- y’t)’’

Le dénominateur, égal à — 1 , est mis dans celte dernière formule par raison d’homogénéité. On voit quo par ce moyen la valeur de R no dépend v' dv .

plus que du rapport ou — ; il devient par suite facile de déterminer

quelles sont les valeurs de ce rapport qui rendent R maximum ou minimum. On trouve en effet, soit par la différenciation, soit par l’application d’une théorie élémentaire connue, qu’en posant

A = Svr— p'.R'

B = Sv j — S pq . R -1 C = S>t — /.R - 1

les deux rayons de courbure en chaque point de la surface seront donnés par l’équation du second degré