P 'PP

contingence et de torsion de la courbe portées respectivement, la première sur la normale an plan osculateur, et la seconde sur la direction de la tangente à la courbe. Celte formule, qui donne en même temps l’angle des rayons de courbure et la direction de la perpendiculaire à ces rayons , équivaut à deux théorèmes découverts par Lancret.

78. La formule qui donne la distance de deux droites (56), appliquée au cas où les droites sont infiniment voisines , conduit dans la théorie des courbes et des surfaces à quelques résultats intéressants. Pour en donner un exemple, proposons-nous, comme l’a fait M. Bouquet, de chercher l’ordre infinitésimal de la distance de deux tangentes successives à une courbe donnée. Soit p le vecteur d’un point de la courbe, la tangente en

ce point aura pour direction p', et celle de la tangente suivante serait p'-+-p ”di, et comme la distance Ap des points de contact peut être mise, par le développement en série, sous la forme

Ap = P U + («)* + 7^3 + etc.

On voit qu’il faut absolument tenir compte dans l’expression de Ap des termes du troisième ordre pour que la distance cherchée

ApUVp'(p' fdt) = ApUVp'p"

ne soit pas uulle. Cette distance devient donc, en tenant compte des termes de cet ordre,