B* - — AC
qui sert à déterminer pour chaque point de la surface les deux rayons de courbure principaux. Désignons par M le produit des inverses de ces rayons; l’équation précédente donnera facilement la valeur de M. On trouve immédiatement en effet
Or on a et
ou
on aura donc
MIS/*? — p’?’) = S»j* — S»rS*r.
v = U Wpg
Vpÿ' =5 n
T W = PY — S pq -,
— Spf/f = — Spqs' .
87. Pour montrer la signification géométrique de l’expression M, dont nous venons de calculer la valeur, nous appellerons, d’après Gauss, mesure de la courbure de ta surface en un de ses points, le rapport de l’angle solide formé par les parallèles aux diverses normales menées le long d’une courbe infiniment petite enveloppant le point et de l’aire comprise par cette courbe sur la surface; ou encore, ce qui revient au mémo , si ou mène des parallèles à ces normales par le centre d’une sphère de rayon égal à l’unité, nous appellerons mesure de ta courbure au point considéré la limite du rapport de l’aire forme* sur la sphère à celle tracée sur la surface.
D’après cette définition , pour trouver l’expression générale de ceUe mesure, considérons trois points infiniment voisins de 1» surface, savoir ceux qui sont définis par les trois vecteurs
f, p -f- pdu, p + qdv,
les normales correspondant à ces trois points auront respectivement pour direction
Vpq, Vip + rdu) {q + sdu), V[p + tdv) {q+itU )
OV
Vpq, \'pq -f- du\{ps-{- rq j et \pq + dv\(pt + sq);
faire déterminée sur la sphère de rayon égal à l’unité par ces trois directions sera
=="=■? S (\pq .\{ps + rq).\(pt + sq]\ .
T \pq \ >
Or faire comprise sur la surface par les trois premiers vecteurs sera
dudvTVpq.
Donc le rapport cherché aura pour expression
=ïS (vpq- V(/w + rq).\(pt -f i?j) ,
d'où l’on tire par l’application de la formule (71)
S )Vpÿ-V(pi+rg).V(p«+8g)l SpqrZpqt — Spqi M
*n . VpT
en désignant par M , comme précédemment , le produit des inverses des rayons de courbure principaux de la surface au point considéré.
88. Nous venons de trouver deux expressions algébriques de forme différente pour cetto même valeur de M dont la signification géométrique est si nette; mais en appliquant la formule du n* 70, on peut encore mettre M sous une nouvelle forme découverte par Gauss et qu’il est utile de considérer. On aura ainsi
Vp</jt = SpqrSpqt — S pqs' = (s* — Sr<) (p’j* — Sp}*)
— 8pq(S[irSqt + SptSqr — 2Sp*5çj)
, — p'{Sqt' — SqrSqt) — ÿ*(SpT — SprSpfl.
Or on a
dp * = (pdu -(- qdv)' = p'du' + iSpq.dudv -)- q'do’,
et comme le second membre est un trinôme algébrique dont les coefficients s’expriment algébriquement au moyen des variables u et v, posons, avec Gauss,
E = — />*, F = — S pq et G = — q'.
Tous les produits algébriques qui entrent dans le second membre de l’équation précédente sont exprimables au moyen des dérivées partielles des trois fonctions E , F et G ; en effet, on obtient immédiatement par la différenciation
Spr — — Sp* = — Spt = —
idE 2 du
1 dE
2 dv
rfF t rfG
dv 2 du
S qt=-
Sqs =. —
i ** 3 du
1 dG
2 du
. rfF , S^r = -- +
1 dE
2 dv'
Remarquons qu’on a de plus
ds dt d'p
dv du dudv *'
Différenciant (1) par rapport à net (2) par rapport à u, il viendra
et
idVE 2 du' ’
dt , d? F ,
Sp du +Srt = -dïdï +
t d * G 2 du 1 '
On lire de ces deux équations, en les retranchant l’une de l’autre membre à membre,
d * F t cPE 1 d ' G
dudv 2 dv' 2 du' '
Si l'on différencie de même (3) par rapport à u et (4) par rapport à r, et qu’on retranche les équations obtenues membre à membre, en observant qu’on a
dr dt d'p
d * du dvdu' 1
on retombera encore sur la formule précédente. Substituons maintenant dans le second membre de la formule qui donne M, les produits algébriques que nous venons d'exprimer en fonction des dérivées partielles des coefficients de E,Fet G, et nous retrouverons la formule suivante de Gauss
1 rfE\ ’ i dv) + 2 du t rfE rfG
du du
/! cfE rfF\ \
\2 du du) )
/I rfG rfF\ \
\2 du dv) )
/I rfE rfF\ /I rfG rfF \2 dv du) \2 du du ,
t rfG 2 dv
\ rfE rfG 2 dv du 1
89. On déduit immédiatement de celte équation ce remarquable théorème : pour qu’une surface courbe puisse être appliquée complètement sur une autre, il faut que les deux surfaces aient la même mesure de courbure dans les points correspondants.
Comme pour une surface plane, celte mesure est nulle en chaque point, il s'ensuit qu'il faut, pour qu'une surface courbe soit applicable sur un plan, qu’elle ail en chacun de ces points un rayon de courbure principal infini , et par suite, que l’un des systèmes de ses lignes de courbure soit composé de lignes droites.
90. Proposons-nous maintenant de trouver l'équation de la ligne la pluscourto qu’on puisse tracer sur une surface donnée entre deux de ses points, ou entre deux lignes données de la mémo surface, en faisant encore usage, à cet effet, du calcul actuel.
Observons que la longueur « d’une courbe quelconque peut être représentée par la formule
Pour que cette longueur soit minimum, il faudra que la variation ii soit nulle. Or on a, conformément aux réglas du calcul des variations,
Si = 5 j Trfp — ^ STrfp.
On a de plus (31 1
STrfp = — SWp . llrfp = — Srfïp . Urfp ;
la \jriation précédente deviendra donc, en intégrant par partie, ts = [SopUdp^ 0 + ^'Sîp.dlWp.
en désignant par p„ et p, les limites variables ou constantes entre lesquelles l’intégration doit être effectuée. Cette éqiiation montre que, pour que 5s soit nul, il faut qu’aux deux extrémités de la ligne cherchée l’élément do soit perpendiculaire aux lignes données comme limites, et déplus qu’en tous les points de la ligne minimum, rfUrfp soit parallèle à la normale à la surface; et comme dlldp a (74) la direction du rayon de courbure de la courbe cherchée, il s’ensuit que cette ligne minimum, qu’on appelle encore ligne géodésique, jouit de la propriété caractéristique d’avoir en tous ses points son rayon de courbure dirigé suivant la normale, ou, ce qui revient au même, son plan osculateur normal à la surface.
91. Supposons qu’on ait tracé sur une surface une inGnité de lignes géodésiqnes, Irès-rapprochées l’une de l’autre, puis qu’on coupe toutes ces lignes par une trajectoire curviligne quelconque. Si on porte sur toutes les géodésiques, à partir de celte trajectoire considérée comme fixe, des longueurs égales et qu’on joigne les extrémités ainsi obtenues, on formera un second système de lignes courbes sur la même surface. Appelons (U) le système formé par les lignes géodésiques et (V) celui qui est formé par les lignes que nous venous de définir; prenons pour variables indépendantes de la surface, la longueur u d’une ligne géodésique du premier système comptée à partir de la ligne fixe, et la variable v, dont les diverses valeurs caractérisent sans ambiguïté chacune des lignes gôodési-
ques du premier système, en sorte que la différentielle partielle
détermine toujours l’élément de chaque courbe du second système, com-
pris entre les lignes (v) et (v-hdv) du premier. D’après la propriété des lignes
géodésiques que nous venons de démontrer.
fl
du *
exprimera pour tous les points de la surface une direction parallèle à la normale ; on aura de plus
Ainsi
du’ dv
par suite on aura
<P p d f dudv du
1 d § dv
4 af*P!*P e , g df d'f
du du dv ' du * du du dudv
et en intégrant, il vient
e rfp dp
du d»
le secortd'ibembre étant une fonction de la seule variable v et ne dépendant pas de u; si l’on désigne pas 0 l’angle variable que fait une quelconque des lignes du second système avec une même ligne du premier, et par ds
do
l’élément dv compris entre deux lignes (y) et u+ôu du premier, comme de
= V — , on voit que l’équation précédente revient à la suivante du du
ds cos 8 = f{v)dv;
elle montre que la projection de l’élément ds d’une courbe du second système sur l'une quelconque des lignes du premier entre lesquelles cet élément est compris est toujours le même, quelle que soit la ligne considérée du second système. Par suite, si ces deux lignes du premier système avaient pour origine commune un même point de la trajectoire fixe correspondant à «=0 , auquel cas, pour cette valeur particulière de u, ds serait nul, le produit ds. cos 6 serait partout nul, eutre les lignes considérées, et par suite toutes les lignes du second système les couperont orthogonalernent en tous leurs points-, de même si les deux lignes du premier système qui comprennent ('clément ds sont perpendiculaires à la ligne du second
qui correspond à u= 0, auquel cas, pour cette valeur de u,0
le pro-
duit ds cos9 sera encore partout nul et toutes les lignes du second système couperont à angle droit celles du premier qui jouiront de la propriété
énoncée. D’où on conclut d’abord un théorème important dû à Gauss que nous énoncerons ainsi : un système de lignes géodésiques tracées sur une surface sera coupé orihogonalemcnt par un autre système de lignes courbes, si toutes les lignes géodésiques passent par un même point de la surface, et que toutes les lignes du second interceptent sur celle du premier des longueurs égales à partir du point où les premières se croisent. Le même théorème a encore lieu si les lignes géodésiques du premier système sont toutes perpendiculaires à une ligne du second, et que toutes les autres lignes de ce dernier système interceptent sur celles du premier des longueurs égales. On voit de plus que si l’on donne un système quelconque de lignes géodésiques sur une surface et qu’on en détermine une seule trajectoire orthogonale, toutes les autres trajectoires orthogonales des mêmes géodésiques intercepteront sur ces lignes, à partir de la première, des longueurs égales. Dans le cas où les géodésiques seraient tangentes successivement à une même courbe quelconque tracée sur la surface, il suffirait, pour obtenir une trajectoire orthogonale de ces tangentes, de former, comme sur le plan, la développante de cette courbe sur la surface, et cette ligne couperait orlbogonalemenl toutes les géodésiques et déterminerait par suite toutes leurs autres trajectoires orthogonales. De là résultent divers moyens de partager une surface par deux systèmes de lignes orthogonales, distinctes des lignes de courbure de la surface, lesquelles jouissent, comme nous l’avons vu (83), de la même propriété.
92. Revenant aux propriétés générales dos lignes géodésiques, proposons-nous de trouver sur une surface quelconque l’équation do ces lignes, en supposant que chaque point de cette surface soit déterminé par un système de valeurs attribuées à deux variables indépendautes u et v. Appelons 0 l’angle variable que fait une même géodésique avec chaquo ligne du premier système (U). Nous aurons en premier lieu, en conservant les notations précédentes,
Splpdu + çdv)
