qdü) ’ et

•inO = 1Vi‘(pd“ + q J ») TVpq.dv

T pirftdu -J- qdv) T p[pdu -J- qdu)’

d'où l’on tire en divisant membre à membre les équations

^ = col „ 6 M. - JL A .l

sin » B l\pq T \pqdv'

Celle équation fera connaître 9, quand on aura déterminé quelle esl la fonction do v qui exprime ti dans le cas de la ligne considérée sur la surface. Or on peut trouver une seconde équation différentielle assez simple de la ligne géodésique, en cherchant l’expression de d 9, en fonction de u et de tr, cl en éliminant 9 entre cette nouvelle équation et la précédente, on obtiendrait l'équation cherchée de cette ligue. Voici comment on peut procéder pour obtenir cette équation différentielle.

On a

cos 0 = — SUpUcfp,

et en différenciant

sin MO = dSVpüdp = SdUp . IWp + 8 U/>rfUrfp.

Or, d’après la propriété des lignes géodésiques que nous avons démontrée plus haut (90), dUdç, ayant la direction de la normale sera perpendiculaire a U/> , SiyUrff, sera donc nul, et on aura (31)

.in OciO = SdUp. Urfp *

1> Tp

Or on a

donc

V(VpVd P ) = ^\pq,

{2) * " (frf ’ WnW)- Si'W. Vp(rrfu + Mc) ).

93. Celle équation importante aurait pu être immédiatement obtenue, en remarquant qu'on peut considérer l'angle c/9, en négligeant les infiniment petits du second ordre, comme égal & l’angle que font les deux tangentes menées à deux courbes consécutives du premier système (U), par les extrémités d'un élément de la géodésique compris entre elles. En effet, les deux tangentes consécutives à la géodésique étant dans un plan normal à la surface, elles feront toutes deux le même angle avec chacune des lignes (p) ou (p -h dp), et les deux angles formés par une même tangente à la

gcodésique avec ces deux dernières étant situés dans deux plans tangents à la surface infiniment peu inclinés l’un sur l’autre, la différence de ces deux angles sera égale à l’angle infiniment petit formé par les deux lignes ( p ) et ( p -+- dp) ; or ce dernier angle a pour expression

. (TV p[p dp) TV/xip

fp ~ fp

et comme le vecteur Vp.dp fait un angle infiniment petit avec la direction U \'pq de la normale, l’angle précédent équivaudra à

S[U Vpg . \pdp) S{V/*7 ■ Xpdp) fp ~ fpTVpq ’

ce qui est précisément la valeur de d9 écrite plus haut (2). Cette expression de dl est susceptible d'élre transformée en appliquant la formule du n* 61 ; elle devient ainsi

fp • ïfe S M&P r •*• + */»• d ») ~ P' (S?"*" + Sqs . dv) | ,

et si l’on fait usage des relations établies au n* 88, savoir :

E = — p', F = — S pq, G = — g',

TXpg=^EG — F*,

„ « JE „ 1 dE 1 dG df , I dE

spr= ~ïdû' s ^=-2^’ ■•'"-k+iïT’

la formule (2) deviendra

— rr, J, iV dE , i F dE , i dE , d F , \dG

(3) v — F* • rf0 = - - -j- du 4- - — — dv -1- - -r- du — -r —du — - de.

' ' 2Eda 'JE du idv dv îdu

94. Celte dernière formule se simplifie notablement quand on emploie pour variables n et v celles qui correspondent à deux systèmes de courbes orthogonales, telles que les lignes de courbure de la surface, ou les géode-

tiques de la surface issues d'un même point, et leurs trajectoires orthogonales. On a alors

S/jÇ ~ — F = 0,

et l'équation précédente (3) deviendra

.. t rfE 1 rfG ,

\ LG . dO = - — - du — - -y-dû.

’ 2 dv 2 du

Supposons, pour donner une application do celte formule, qu’on ait pour une surface particulière et pour deux systèmes convenables de trajectoires orthogonales

s et | étant des fonctions bien déterminées et quelconques, l’équation précédente deviendra

(4) 2E</6 = p'u. du — pu .de.

Ou aura déplus, par l’équation (1) du numéro 92,

cota 6 = — ou cos 9 . dv = «in 8 . du.

Multipliant donc l’équation (4) par sin5cos9, et faisant passer tous les termes dans le premier membre, on pourra la mettre sous la forme

•si id (sin 0') -p «in’Ss'u .du — pur 1 (cos’9) — cos’W Ivdv — 0.

Cette dernière donne par une intégration immédiate

sin’8 . — cos’8 . pu = const.

On peut de cette manière obtenir une première intégrale de la ligne géodéaique de l'ellipsoïde.

93. Dans le cas où nous prendrions pour les deux systèmes de courbes, les géodésiques issues d’un mémo point de la surface et leurs trajectoires orthogonales, en désignant par u la longueur des géodésiques

comprises entre ce point et une nié ne ligne du second système, on aura

( du) ~ P ~ ^ rï'°“ *' on déduit

E = — p' = 1 et ^ = 0.

l’ar suite l'équation (3) correspondant à une ligne géodésique quelconque de la surface, deviendra, dans ce système de coordonnées.

V'G ,rf» = —

Posons T q — m, m étant une fonction déterminée de u et de v, on aura

G = m' et

dG dm

du du ’

cl l'équation précédente se mettra sous la forme très-simple

.. dm J

dt = — — du.

L)e même la valeur de M, qui mesure la courbure de la surface, et dont l’expression complète se trouve au n* 88, sera donnée, dans le système actuel, par l’équation

Uû' h '

ou encore par la suivante, obtenue en remplaçant dans celle-ci G par m

dG dm . d’G Où ,Mr " .(n et ’ dû 7 par

d'm -m— r , du

! d’m m du * ’

96. On déduit de là, par la méthode même de Gauss, la courbure totale du triangle curviligne ABC formé sur une surface par trois lignes géodésiques quelconques, c'est-à-dire la surface de la figure qui correspond à ce triangle sur la sphère de rayon égal à l’unité. Pour cela, prenons le sommet A pour origine de toutes les lignes géodésiques du premier système (U); supposons que la ligne AB soit la première ligne de ce système, c’est-à-dire celle qui répond à v = 0, et qne le troisième

sommet C soit pris sur une ligne géodésique (U) quelconque faisant avec la première un angle que nous appellerons A. Les deux autres angles B et C du triangle ABC formés par l’iutersecliOQ de la ligne géodésique BC avec les deux premières détermineront deux angles analogues à ceux que nous avons désignés précédemment par la lettre 9. Soient 9, et 0, les valeurs de 9 correspondant à ces doux angles, on aura

B = * — b, et C = 8,.

Cela posé , la courbure totale du triangle ABC sera égale à l’intégrale double

dans laquelle l'élément du représente la valeur absolue de l’élément de la surface, et M la mesure de la courbure en ce point. Or on a, d'après la formule précédente,

1 cPm m du * ’

et, d’autre part,

dut — T Vpgdudo = mdudo;

l’intégrale à déterminer est donc

Intégrons d’abord par rapport à u, il viendra * (consi. -J).

Pour déterminer la constante, voyons ce que devient la courbure pour «== 0; l’élément de la courbe du second système, lorsque u est très-petit, se confondant avec un élément de cercle, sera égal à

udv,

en désignant par v l'angle variable formé par les lignes géodésiques du

premier système avec la première AB, qui sert à définir toutes ces lignes.’ On aura donc dans le voisinage du point A

Or pour u = 0 la courbure devenant nulle quelle que soit la valeur de v, il faut que la constante introduite par l’intégration précédente soit égale à i.

Ainsi la courbure totale correspondant à la portion de surface comprise entre deux lignes géodésiques infiniment voisines, (v) cl (v ■+■ dv) sera

mais on a, par le numéro 95,

de = — ~ dv. ,

L'expression précédente est donc égale à

dv 4- dt ,

et en intégrant depuis » = 0 jusqu’à p = A, on obtiendra A -f- 6, — 9. = A + C-|-B — it,

c’est-à-dire que l’expression cherchée de la courbure totale du triangle curviligne ABC équivaut à l’aire d’un triangle sphérique dont les côtés feraient entre eux précisément les trois angles A, B, C des lignes géodésiques considérées, ce qui est le beau théorème de Gauss.

97. Nous terminerons celte étude, sans doute bien incomplète, sur les applications géométriques du calcul des qualernions, par la recherche des propriétés de la courhe qui, ayant un périmètre donné, comprend sur une surface une aire maximum.

Soit toujours p le vecteur variable du point de la courlæ cherchée et da l’élément do celte courbe, et convenons de désigner par 5p l’élément arbitraire suivant lequel chaque point de celle courbe se déplacera sur lu surface, lorsqu’on la déformera infiniment peu. Cela posé, la variation de l'aire correspondant à cette déformation aura évidemment pour expression l'intégrale simple

^Swfp.îp,

dans laquelle à chaque valeur de l’élément dp correspond une valeur du et où v désigne encore la direction variable de la normale à la surface. La variation de la longueur de la courbe sera donnée par eelle de l’intégrale

jw ( ,

et sera par suite

La condition imposée a la courbe d'ôtre fermée annule évidemment le terme hors du signe J, et l’on aura, en appliquant la règle connue d'Euler,

\ S;Wf> -(- adUdp)Zp = 0,

en désignant par a une constante particulière. Il faut donc, pour que celte intégrale soit nulle, quelle que soit la loi de la variation dp, que le vecteur

Vvrfp + adVdp

soit toujours perpendiculaire à dp, et comme ce dernier élément est toujours placé sur la surface d’une manière quelconque, le vecteur précédent doit être parallèle à la normale y, ce qni donne immédiatement

V(vV*rfp-|-tt*«/U</p) = 0,

ou, à cause de»’ = — 1,

dp = a\*düdp,

ce qui est l’équation différentielle de la courbe cherchée ; elle est susceptible d’être interprétée géométriquement d’une manière bien simple. Eu effet, dUdp exprime la direction dn rayon de courbure de la courbe , et eu désignant par d» l’élément de cette courbe et par R son rayon de courbure, on a (74)

Si donc on appelle 8 l’angle que fait le rayon de conrbare de la courbe avec le plan tangent, ou, ce qui revient au même, l'angle que fait le plan oscu-

J SWpUrfp = (StpUrfp) + \ S{</U</p . Sp).

lateur de la courbe avec le plan tangent à la surface, l'équation différentielle précédente donnera, en divisant les deux membres par ds,

a cos 0

t = — — ou R = a eos ».

On voit donc, par cette dernière équation, que la courbe cherchée jouit de la propriété d’avoir en tous ses points un rayon de courbure proportionnel au cosinus de l’angle 9 que font entre eux le plan osculateur de la courbe et le plan tangent à la surface, ce qui revient à dire que si l'on prend sur une perpendiculaire à la tangente à la courbe, menée dans le plan tangent une longueur constante (égale à a), et qu’on décrive une sphère ayant pour rayon celle longueur, elle déterminera par son intersection avec le plan osculateur le cercle osculateur môme de la courbe.

98. Remarquons que si l’on désigne par <■ le vecteur variable mené au centre de cette sphère, on aura

f = p -f oUrfp.*;

d'où l’on tire en différenciant

dl = dp + aV(dUrfp.v) + aV(U«/p.<é>)

cl à cause de l’équation différentielle môme de la courbe

il vient

dp + a\(dUdp*) = 0, di = aV(Urfp.rf*).

Or do et Urfp sont deux vecteurs perpendiculaires à la normale y, donc d; est paralèlle à celte normale. On voit donc que si l’on circonscrit à la surface proposée une surface développable le long de la courbe d’aire maximum cl de périmètre donné, et qu’on développe ensuite celte surface sur un plan, les divers centres des sphères précédentes seront amenés à coïncider avec un même point du plan, et la courbe s’appliquera sur un cercle dont le rayon est égal à celui de» sphères précédentes ou à la constante n.

l'aria. — Imprimé pu £. Ticnot et C*, rut lUriue, W.

êj

■ IBLIOTICA