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Titi

Les mêmes règles étaient évidemment applicables à tous les cas qui pouvaient se présenter; mais on pouvait les simplifier dans quelques cas particuliers. Ainsi, par exemple, les multiplications par ^J = 12, au lieu de nécessiter deux opérations partielles et une addition, pouvaient être effectuées directement, comme il est facile de s'en assurer en faisant, en une seule fois, la multiplication suivante:

multiplié par 12 =

Wl «W

donne

L'élévation au carré de tous les nombres de deux chiffres, c'est-à-dire de tous ceux qui ne contiennent que des unités et des dizaines, pouvait aussi être effectuée, dans tous les cas, directement; et l'on constate ainsi que, sur le document mathématique de Senkereh reproduit, en entier, par M. Lenormant, en tête de son Essai, tous les carrés de la première colonne ont pu être écrits directement

Pour le prouver, considérons le plus compliqué de tous, celui de 59 = ^S^, que la règle ordinaire conduirait à calculer de la manière suivante :

multiplié par

donne :

r pour 9 fois 59 ci 531 =

2^ pour 50 fois 59 ci 2.950 =

et en total 3,481 =

n ne sera pas difficile de comprendre qu'un Chaldéen pouvait calculer et écrire directement ce carré en disant :

1^ 9 fois 9 font 81 = 1 Sosse, 2 dizaines et 1 unité que j'écris, en retenant 1 Sosse et 2 dizaines. '

2** Deux fois 5 dizaines multipliées par 9 unités font 90 dizaines ou 15 Sosses, qui réunis au Sosse et aux 2 dizaines déjà retenus font 16 Sosses et 2 dizaines, que je retiens en totalité, pour les additionner

3® au carré de 5 dizaines, égal à 2500, c'est-à-dire à 41 Sosses plus 4 dizaines, ce qui porte le total que je vais écrire à 41 Sosses et 4 dizaines plus 16 Sosses et 2 dizaines, c'est-àdire à 48 Sosses; le carré de 59 est donc finalement réglé, par ce nouveau calcul, à 48 Sosses plus une unité, comme par la multiplication précédente.

Dans tous les exemples ci-dessus, les divers produits obtenus contiennent précisément autant de colonnes de chiffres qu'on en trouve dans les deux facteurs réunis et il est, en thèse générale, impossible qu'ils en contiennent davantage ; mais on peut, on le remarquera, en trouver quelquefois une de moins. En eff'et, soit donné un nombre quelconque contenant, par exemple, 5 colonnes de chiffres et multiplions-le par 60, en avançant d'une colonne vers la gauche tous les chiffres de ce nombre ; on ne comptera que six colonnes de chiffres dans le produit ainsi obtenu, et cependant, dans ce cas particulier, le multiplicande en contiendra cinq et le multiplicateur égal à un Sosse = J I » > i, en contiendra lui-même deux, ensemble sept. D'autre part, puisque le carré de 59 ne dépasse pas, comme on vient de le voir, 58 Sosses plus une unité et ne contient ainsi que deux colonnes, sans pouvoir en contenir davantage, il est clair qu'il ne peut jamais y avoir, comme je viens de le dire, dans le produit de deux nombres, quelque élevés qu'ils soient, plus de colonnes que dans ces deux nombres réunis; et cette seule considération me permettra de dire, dans le paragraphe suivant, comment on pouvait déterminer, à l'avance, quand on avait à faire une division, combien de colonnes de chiffres devaient être contenues dans le quotient, parce que, en effet, le quotient d'une division et son diviseur peuvent être considérés comme les deux facteurs d'un produit représenté par le dividende.

§ 3. Division des nombres entiers.

Considérons d'abord le cas où le diviseur ne se trouvait composé, dans les divisions que l'on avait à faire, que d'un seul chiffre et proposons-nous, par exemple, de diviser par 6 les deux nombres suivants :

r 192.882 = <j^<yyy

et 2** 9.282 = ]]

Comme le chiffre écrit dans la première colonne de gauche a, dans le premier cas, une valeur supérieure, et dans le second cas, une valeur inférieure à celle du diviseur égal à y^, il est clair que le premier quotient cherché devra contenir précisément autant de colonnes (lue le di>4dende et que le second en devra contenir une de moins. Toutefois, dans ces deux cas, la division pouvait et devait être effectuée directement , à la condition de la commencer par la gauche et de ne pas oublier que les unités, dans le système sexagésimal, sont toujours égales, à quelque colonne qu'elles ai>partiennent, à 6 dizaines de la colonne suivante.

En appliquant ces principes aux deux nombres donnés, on constate aisément:

Essai

<<<yy = 192.882

<<<yy = 9.282

que le premier <<^TT

divisé par 6, donne ^

et que le second JJ

divisé de même, donne

Lorsque le diviseur, au lieu de ne contenir qu'un seul chiffre, en contenait deux, dans une seule colonne, si, par exemple, il se trouvait égal à ^^^Ijyii = 46, l'opération devait être conduite de la même manière et toujours en commençant par la gauche; mais comme les chiffres sur lesquels on opérait, dans ce cas, avaient une valeur trop forte pour qu'il fut possible d'écrire directement le quotient, il devenait alors nécessaire d'agir comme pour nos divisions décimales ordinaires, en faisant autant de soustractions partielles qu'il devait y avoir de chiffres dans le quotient et en disposant les résultats successifs de ces diverses opérations de la manière indiquée dans les deux exemples suivants :

1*""^ exemple.

1 fois 46 =

reste 10 fois 46 =

reste 3 fois 46 =

reste 50 fois 46 =

reste 7 fois 46 =

Tïï ïï