TT «TT

= 204.102 divisé par <^<^] = 46 V quotient T|<yyy,"<^^ = 4.437

3 fois

reste

20 fois

reste

() fois

2* exemple.

ïï «<f 1 W! j = 9.476 divisé par <<<^}

ïï JW

2" quotient ]J] {^}} = 206.

On constate d'ailleurs, dans ces deux cas, comme dans les deux précédents, que le ])remier quotient contient précisément autant de colonnes que le dividende, tandis que le

second en contient une de moins, parce que, dans le premier cas, le diviseur est. plus faible que le nombre contenu dans la première colonne du dividende et parce qu'il est, au contraire, plus fort dans le second cas.

En dernier lieu, lorsque le diviseur contenait lui-même plusieurs colonnes de chiffres, la division se faisait encore de la même manière, comme on le voit dans l'exemple suivant :

i<VT

10 fois le diviseur UJ

Quotient : <T

reste

1 fois le diviseur

«TTT

reste

40 fois le diviseur

reste

ïï

7 fois le diviseur

reste

20 fois le diviseur

reste

Tïï

8 fois le diviseur

ÏÏT <»

Ce dernier exemple est le plus compliqué de ceux qui peuvent se présenter et comme le quotient qui lui correspond contient trois colonnes seulement, quand le dividende en contient cinq et le diviseur deux, et quand, en outre, le nombre contenu dans la première colonne du dividende a une valeur inférieure à celle du nombre contenu dans la première colonne du diviseur, il est facile d'en conclure qu'on doit formuler de la manière suivante la règle générale au moyen de laquelle on déterminait, à l'avance, le nombre de colonnes que le quotient d'une division devait contenir :

Soit N le nombre de colonnes du dividende et n le nombre de colonnes du diviseur, le quotient devra contenir N moins n colonnes, lorsque le premier nombre du dividende sera inférieur au premier nombre du diviseur et en contiendra, au contraire, N — n -f 1, lorsque le premier nombre du dividende sera supérieur à l'autre.

Cette règle est utile et doit être appliquée lorsqu'on ne veut obtenir que d'une manière approximative le quotient d'une diWsion compliquée et qu'on se contente d'en calculer seulement les premiers chiff^res.

§ 4. Théorie des fractions.

Après avoir démontré, dans les trois paragraphes qu'on vient de Ure que la numération sexagésimale, dont les Assyriens se servaient, leur fournissait les moyens d'exécuter les quatre premières opérations de l'arithmétique, avec la même exactitude et la même facilité que nous

28 Essai

et, de plus, en appliquant à peu près les mêmes règles, il me reste à établir maintenant que leurs connaissances en arithmétique étaient infiniment plus étendues, ainsi qu'on peut le prévoir d'ailleurs en considérant que ce n'était certainement pas pour faire de simples additions qu'on avait pris la peine de calculer et d'écrire la série des ciirrés et celle des cubes des nombres naturels, depuis 1 jusqu'à 60, sur les curieuses tablettes que M. Loftus a trouvées à Senkereh, dans la Bassc-Chaldée, que le British Muséum possède aujourd'hui, et qui ont été déjà publiées, la première par M. F. Lenormant, dans son Essai et la seconde, dans les recueils spéciaux.

Et d'abord, il semble incontestable que les Assyriens se servaient, dans leurs calculs, non seulement des fractions sexagésimales , comme tout le monde le reconnaît aujourd'hui, mais encore des fractions ordinaires, comme on peut le démontrer :

En V lieu, par la présence, plusieurs fois répétée, des fractions 'A^, '/j, % c* Vb; sur l'une des tablettes dont je viens de parler, publiée d'abord par M. George Smith, dans le recueil de Lepsius (année 1872, p. 109 et 110) et ensuite par M. Oppert aux pages 24 — 26 de son Etalon des mesures assyiiennes, tablette que je me réserve de discuter, à mon tour, d'une manière si>éciale, dans la suite de ce mémoire.

En 2° lieu, par la mention qui a été faite des fractions \^-^ et V5 écrites, en caractères cunéiformes, à la piige 5 de V Essai sur un document mathématique clialdéen;

et en 3*^ lieu enfin, par la fraction %2 ^"^ j^ ^^^^ ^^ois autorisé à lire, malgré mon incompétence absolue en i)areille matière, sur les inscriptions ])ondérales des oies n<^« 3 et 4 du British Muséum.

Ces dernières inscriptions ont été portées à ma connaissance, une première fois, par M. Vaz- QUEz QuEiPo (pli les a données, à la page 338 de son premier volume, sous la forme If"^ ^^^J en prenant soin d'ajouter, en renvoi, dans la note cotée 123, (pie « Le docteur Hincks, dans une note datée du 15 avril 1854 et adressée à M. Norris, donne à cette expression ^^^J la valeur de ^/|5 », et une seconde fois, par le neuvième rai>port annuel présenté, en 1875, au parlement d'Angleterre, ])ar le Bureau des i)oids et mesures de Londres, où il est dit que ces inscriptions portent le chiffre « 6 » avec d^ autres caractères cunéiformes supposés s^ignifier un quinzième ^

Quand bien même il serait indispensable de préférer cette dernière lecture à celle que je projwse, la seule existence de la fraction ♦• 15, sur les i)oids n® 3 et n® 4, suffirait déjà pour démontrer que les Assyriens ne réduisaient pas systématiquement toutes les fractions en fractions sexagésimales. Cependant j'aime mieux admettre que la note adressée à M. Norris pourra être finalement trouvée inexacte, et qu'il sera plus naturel, si la transcription de M. Vazquez Queipo est régulière, comme je le sui)pose, de rapporter les jwids dont il s'agît à la mine forte, double de la mine faible, et de lire simplement, sur l'inscription qui leur correspond, ^;^. Dans cette hypothèse, sur laquelle j'aurai nécessairement à revenir, dans la suite de mon étude, loi-sque j'aborderai la discussion du système pondéral, cette fraction ordinaire ^32 se trouve écrite à peu près comme nous l'écrivons aujourd'hui, c'est-à-dire en séparant le numérateur du dénominateur par un simple trait et je me plais, en conséquence, à espérer que la simplicité de cette lecture, en attendant les autres raisons que je me réserve de donner i)lus tard, i>ourra suffire pour la faire approuver par les Assyriologues compétents.

1) Marked <6» and othor cunoiform charactcrs supposcd to dénote «fifteenths».

Quoi qu'il en soit sur ce point, Tancien usage que les Assyriens faisaient certainement des fractions ordinaires peut être prouvé encore de plusieurs manières différentes. N'est-il pas évident, par exemple, puisque, dans le système pondéral assyrien, le talent contenait, comme je le démontrerai, 30 mines fartes, la mine forte 2 mines faibles, la mine faible 30 sicles, le sicle 2 drachmes et la drachme 6 oboles, n'est-il pas évident, dis-je, qu'on pouvait écrire successivement:

une mine forte = Vjo de talent,

une mine faible = V2 de mine forte = y^o de talent,

un sicle = V3a de mine faible = Vg,, de mine forte = '/isoo de talent,

une drachme = V2 sicle = Veo de mine faible = Vi2() de mine/a?-te = V3«i,o de talent,

enfin une obole = Vo de drachme = 7^2 de sicle = Vsgo de mine faible = '/yjo de mine forte = V21600 de talent,

et que, par conséquent, dans cette énumération, à l'exception des fractions Vu» ^t '/j^oo qui sont essentiellement sexagésimales, toutes les autres, telles que '/j, V«, V2.J; '30? V''i2o; Vstto? V7207 Visoo ^^ V21600 ûc sont à proprement parler que des fractions ordinaires.

D'ailleurs, comme personne ne l'ignore, toutes les fractions ordinaires ne sont, au fond, qu'une forme particulière des restes que l'on obtient, lorsque la division de deux nombres entiers ne peut pas être faite d'une manière exacte, et, par suite, puisque les Assyriens étaient en état de faire, ainsi que nous l'avons déjà constaté, toutes les divisions quelles qu'elles fussent, il est hors de doute, ce me semble, que des fractions exprimées sous cette forme ordinaire devaient se rencontrer souvent dans leurs calculs.

On pouvait, à la rigueur, trouver utile ou commode de remplacer, dans certains cas, ces fractions ordinaires par des fractions sexagésimales, mais la forme ordinaire n'en était pas moins la forme primitive, toujours préférée par le plus grand nombre, tandis que la forme sexagésimale n'était et ne pouvait être qu'une forme scientifique, adoptée seulement par les calculateurs et par les hommes instruits.

C'est ainsi, par exemple, que dans notre système décimal moderne, un homme du i)euplc qui aurait à comparer 0,25 à V'4; 0,75 à V4, 0,3333 ... à ^3 et 0,6G66 ... à 23 etc., ne pourrait jamais se résoudre à préférer la fonne des fractions décimales à celle des fractions ordinaires.

La division par 6 était, peut-être, de toutes les divisions, celle que les Assyriens avaient à opérer le plus fréquemment. D'une part, en effet, ils ne i)ouvaient faire, ni une multiplication, ni une division, quelles qu'elles fussent, sans avoir à rechercher, plusieurs fois, combien un nombre donné de dizaines contenait de Sosses, combien un nombre donné de Ners contenait de Sars etc., ce qui ne pouvait être fait qu'eu divisant ces nombres i)ar 6, et d'autre part, la division par 6 était aussi très souvent nécessaire, dans leur système métrique, où la drachme était composée de 6 oboles, la jKîrche de 6 coudées, le stade de 6 plèthres etc. et où, par conséquent, il fallait diviser par G les nombres qui représentaient des oboles, quand on voulait les traduire en drachmes, ceux qui représentaient des coudées, quand on voulait les réduire en i)erches etc.

Si un Assyrien avait à opérer sur un nombre représentant des oboles que je supposerai, pour fixer les idées, égal à JJ | ^^^^ ! ^^^ = 9,462, c'était en le divisant par JJ^ = 6 (ju'il s'assurait que ce nombre d'oboles correspondait exactement à ^^fff 1^^ = 1,577 drachmes.

30 Essai

Mais cette division par 6 ne pouvait pas toujours être faite exactement, et il résultait de là que des fractions ayant leur dénominateur égal à 6 se rencontraient très fréquemment dans la numération assyrienne. Aussi voyons -nous qu'elles y étaient représentées par des idéogrammes spéciaux que M. Oppert a fait connaître à la page 35 de son Etalon des mesures assyriennes et qui sont les suivants:

jy pour représenter '/q;

T T pour % ou '3, ayant pour expression phonétique Sussan;

►ï- pour Vfi ou '/2, ayant pour expression phonétique, suivant M. Oppert, paras et suivant M. George Smith, harsu;

TtT pour ^/g ou 2/3^ exprimés phonétiquement, suivant M. Oppert, par sinip et suivant M. George Smith, par sinibu;

TtT pour Vô; exprimés phonétiquement par parap.

Dans le même ordre d'idées, et en considérant toujours les résultats obtenus quand on divise un nombre donné par 6, on peut dire plus encore, car le nombre 360 (Funité gagar), égal à 6 Sosses et représenté numériquement dans le système sexagésimal par If^lf | » » 1^ était employé, dans le système métrique assyrien, aussi fréquemment et plus fréquemment peut-être que le nombre 6 lui-même, puisque, en effet, une mine faible contenait 360 oboles, un stade 360 coudées etc. Lors donc que le nombre 9462, précédemment écrit, était considéré comme représentant des oboles, c'était en le divisant par 6 Sosses, = ^^ j » » (lu'on le transformait en mines. Mais la division d'un nombre par 6 Sosses se faisait en divisant d'abord ce nombre par 6 et ensuite par 60, et cette seconde division se faisait elle-même en reculant, d'une colonne vers la droite, tous les chiffres du premier quotient, puisque, à l'inverse, la multiplication par 60 se faisait, comme je l'ai déjà dit, en avançant les mêmes chiffres d'une colonne vers la gaxvche. Par conséquent lorsqu'on avait constaté, en divisant par 6 le nombre donné JJ j ^^^^ | ^<^y = 9.462 et exprimant comme tout-à-l'heure des oboles, que le quotient de cette division égal à 4^^^^ I 4^ = 1577 correspondait à des drachmes, il ne restait plus alors, pour savoir combien ces 1577 drachmes contenaient de mines faibles, qu'à les diviser par 60, c'est-à-dire à transformer les Sosses en unités, et les unités en soixantièmes, en reculant tous les chiffres de ce nombre ^^]f]f]^ 1 4^ d'une colonne vers la droite. Ces 1577 drachmes devaient ainsi être considérées comme égales à 44^^ = 26 mines, avec un reste de 4^ =17 drachmes, qui ne pouvait correspondre qu'à *Vgo de mine. Et ce seul exemple, qui permet de comprendre aisément comment et avec quelle facilité une fraction ayant au dénominateur soixante a pu être introduite dans la numération chaldéenne, au lieu et place d'une fraction ordinaire, permet ainsi de reconnaître que l'existence des fractions sexagésimales, dans cette numération, est aussi naturelle et aussi rationnelle que celle des fractions décimales dans la numération moderne.

Néanmoins l'usage des fractions sexagésimales a pu s'introduire de plusieurs autres manières, dans la numération chaldéenne, et notamment comme une conséquence bien naturelle de la nécessité, dans laquelle on a dû se trouver souvent, d'exprimer, d'une manière rigoureuse, le quotient d'une division qu'il était impossible d'obtenir, avec exactitude, en s'arrêtant aux nombres entiers. Si, par exemple, le nombre 25 devait être divisé par 9, le quotient de cette division exprimé en nombres entiers se trouvait égal à 2 et laissait un reste égal à 7, qui correspondait à V9 î si, au lieu de 25 unités, c'était 25 Sosses ou 1500 que l'on avait à diviser

par 9, le quotient de cette nouvelle division était lui-même égal, dans le système chaldéen, à TT I ^j^^ = 166, avec un reste égal à 6, qui correspondait à ^/y = Va î ^^ si, enfin, au lieu de 25 Sosses, c'était 25 Sars = 90.000 que Ton voulait diviser par 9, cett« division pouvait alors être faite exactement avec un quotient égal à JT ; ^5^ï I ^5^ = 10.000. Mais puisque 25 Sars sont égaux à 25 multipliés par un Sar, il est clair que le quotient de 25 unités par 9 sera égal au quotient de 25 Sars par 9 divisé lui-même par un Sar, ce qui revient à dire, en d'autres termes, que ce quotient sera égal au nombre que Ton déduit de yyi^<^]f^^<^ en reculant de deux colonnes vers la droite tous les chiffres de ce nombre; il pourra donc être exprimé rigoureusement par : JJ unités plus ^^^}} j ^^^ = 2 + ^ et ce reste 3—^ est égal, comme on le voit, à "/y, de sorte qu'on peut certainement trouver là une seconde manière d'expUquer et de comprendre la substitution des fractions sexagésirilales aux fractions ordinaires, dans la numération cbaldéenne.

Si, au lieu de diviser le nombre 25 par 9, on avait eu à le diviser par 7, on aurait trouvé au quotient, en prolongeant cette dinsion jusqu'à sa dernière limite, on aurait, dis-je, trouvé, dans ce cas, une fraction évidemment égale à */-, mais rei)résentée, dans le système chaldéen, par le nombre ^^^^ I ^^ ' * W ^^ ~^ indéfiniment répété à la droite du premier quotient exprimé en nombres entiers par le chiffre UJ et sur ce seul exemple toute la théorie des fractions sexagésimales périodiques peut être facilement établie.

En résumé, non seulement les Chaldéens et, après eux, les Assyriens se sont d'abord ser\is, comme nous, des fractions exprimées sous leur forme la plus ordinaire et ne sont parvenus que plus tard à connaître les fractions sexagésimales et à s'en servir, comme nous nous servons nous-mêmes des fractions décimales, non seulement ils savaient transfonner, par une simple division, une fraction ordinaire quelconque en fraction sexagésimale, soit finie, soit périodique, suivant le cas, identiquement comme nous obtenons, nous aussi, par une division, toutes nos fractions décimales, mais encore le calcul de ces fractions se faisait, chez eux, de la même manière que chez nous, c'est-à-dire comme si leurs numérateurs ne représentaient que des unités simples, et cette seule obser^'ation me disi)ensera d'exposer ici les règles de ce calcul, que tout le monde comprendra sans la moindre i)eine.

Je dois cependant faire remarquer, en terminant, que si les Chaldéens, comme il semble impossible d'en douter, étaient, en effet, capables de transformer, par une simple division, une fraction ordinaire quelconque en fraction sexagésimale, ils devaient, à l'inverse et à plus forte raison, être capables de transformer une fraction sexagésimale quel<:onque en fraction ordinaire, parce qu'il suffisait pour cela, si la fraction sexagésimale était finie, d'en exprimer en chiffres le dénominateur toujours sous-entendu dans la forme sexagésimale, et si, au contraire, la fraction à transformer était périodique, parce qu'il suffisait, dans ce cas, de suivre la règle que nous suivons nous-mêmes aujourd'hui, c'est-à-dire de placer la période au numérateur de la fraction et de mettre au dénominateur un nombre composé en répétant le ehifï're ^^^]f]f = 59 (60 — 1), autant de fois que la période elle-même contenait de colonnes, car tout le monde sait qu'on transforme aujourd'hui une fraction décimale en fraction ordinaire en prenant pour sou numérateur la période et pour son dénominateur autant de fois le chiffre 9 1 10 — 1), (lu'il y a de chiffres dans la période.

C'est ainsi, par exemple, que la fraction périodique : ^^^ V ^9^ * W I ^^^V 1 ^^ * W ' précédemment obtenue en divisant 4 par 7,

32 Essai

pouvait être remplacée par une fraction ordinaire ayant au numérateur ^^^^ ^^ j » ^

= 123.428 et au dénominateur <^^ \ <^ | <^^ = 215.999. J'ose même affirmer, quoique

le fait que je vais énoncer soit bien capable d'étonner quelques lecteurs, qu'il me semble

permis de considérer comme certain que les savants chaldéens possédaient, comme nous, une

méthode facile qui leur donnait les moyens de trouver aisément le pltis grand commun diviseur

entre deux nombres et que par conséquent, lorsqu'ils avaient à réduire, comme dans le cas

actuel, à sa forme la plus simple une fraction sexagésimale ramenée à la forme ordinaire,

ils pouvaient toujours le faire d'une manière sûre. Et je ne crains pas de dire plus encore,

car je me crois autorisé à soutenir que la méthode facile dont je viens de parler, n'était et

ne pouvait être que la méthode des divisions successives dont nous nous servons encore

aujourd'hui.

En adoptant c^tte manière de voir, il me semble permis d'affirmer que lorsque les

Assyriens voulaient réduire, par exemple, à sa plus simple expression la fraction

«< V ! <^ ' ^ W \^/wrr///^T VV^m" ~ WlWl Q^^ J^ ^^^^^ ^^ rappeler tout-à-l'heure, il leur suffisait de

xm I <m ' <m

diviser successivement

r Le dénominateur <^^ ; <^!^ \ <^^^

par le numérateur ^^^ V ! ^^ ! » ^ ce qui donnait au quotient 1, avec un reste

égala «^1 <<«yr<^ = 92.571 2^ le numérateur <«^ | <^ h ^ = 123.428

par ce reste K^Q^ \ ^<^ \ IjS^ ^^ Q^^ donnait un nouveau quotient égal à 1

avec un nouveau reste égal à ^ | ^^^^ | {^ = 30.857

et 3^ enfin le 1" reste égal à 4^{^ \ ^^^ | ^^^ = 92.571 par ce dernier reste, division qui pouvait être faite exactement, avec un quotient égal à JU, et de laquelle il résultait par conséquent que le nombre ^ i ^^^V | {^ = 30.857 est le plus grand commun diviseur entre le nombre ^^^ ^ | ^^ | * W ~ 123.428 qui le contient quatre fois et le nombre <^ I ^tM 1 t?iR^ = 215.999 qui le contient sept fois, d'où HfJIS = V?-

On devait certainement opérer de la même manière, quand on voulait réduire en fraction ordinaire une fraction sexagésimale finie, par exemple la fraction ^^f^ ^^^ trois mille six centièmes = 'j;;", précédemment calculée en divisant 25 par 9 et l'on trouvait, dans ce cas :

V en divisant T 1 » > » » = 3600

par ^i^^ I ^<^ = 2800, un quotient égal à 1, avec

un reste égal à ^flJ \iK= ^^5 et 2° en divisant ensuite ^^^]f]f | ^^^ = 2.800 par ce reste ^J {^ = 800, un nouveau quotient égal «^ yyf, avec un reste égal à ^} | ^^^ = 400; après quoi en divisant le premier reste égal à <[yyy | ^^ = 800 par le second re«te égal à ^^ j ^^^ = 400, on trouvait, en dernier lieu, un quotient exact égal à yy.

D'où il résultait qu'on pouvait écrire successivement \Vo'' = 7 et ^ = 9 et qu'ainsi la fraction sexagésimale ^^^^ ^<^ correspondait effectivement, comme on le sait, à '/s-

II est inutile d'ajouter^ après ces longues explications; que je me refuse maintenant plus que jamais à admettre la théorie de ceux qui s'obstinent à soutenir que les Assyriens étaient dans Tusage de traduire en fractions sexagésimales toutes les fractions généralement quelconques, et que je considère cette théorie comme aussi fausse que celle qui consisterait à prétendre que nous transformons aujourd'hui toutes nos fractions en fractions décimales^

et. que nous écrivons toujours, par exemple, 0,6666 de préférence à V3. Une assertion

ainsi formulée ne serait certainement admise par personne et dès lors, je le demande, pourquoi serait-il permis d'aller jusqu'à croire que lorsque les Assyriens avaient à exprimer la fraction \-, ils ne savaient le faire qu'en l'écrivant sous la forme de la fraction périodique suivante :

ITT I! iiiW ! ^ ' * W KKiW K9 I * W P^"^ l» transcription de laquelle

je sépare ici par un double trait {j, la partie entière de la partie fractionnaire. Une semblable

h}rpothèse serait tellement invraisemblable qu'il me paraît tout-à-fait inutile de la combattre

plus longtemps.

Je reconnais cependant bien volontiers que les Assyriens pouvaient et devaient employer leurs fractions sexagésimales aussi souvent que nous employons nos fractions décimales et voici, sans le moindre doute, comment ils opéraient quand ils avaient à introduire, dans leurs calculs, une fraction sexagésimale ayant, soit la forme périodique, soit une forme finie trop compliquée. Il est clair qu'ils devaient se contenter alors d'une simple approximation, parce que la fraction sexagésimale ne pouvait pas être introduite, dans ce cas, tout entière dans les calculs.

Prenons, de nouveau, pour exemple, la fraction périodique:

Tïï II «<V i <^ • W I <<<V ! <^ I * W = V. U est évident qu'on pouvait s'arrêter d'abord après le premier chilBfre fractionnaire du quotient, en réduisant alors l'expression de cette quantité à JU |j ^^^ = Yo~ = V^ ^ V^^ revient à dire que cette fraction se trouvait exprimée en dixièmes de soixantième, c'est-à-dire en sixièmes. Si l'on aimait mieux ne s'arrêter qu'au second chiffre, le quotient correspondait à JJJ ;j ^^^^ = ~5^ et se trouvait, dans ce cas, effectivement exprimé en soixantihnes. Mais si on prolongeait ensuite la division jusqu'au 3* chiffre, la fraction " se trouvait ramenée à la forme

TTT I' ^^^V ! ^ ~ '^^ ^ "«*«"o* ^^ correspondait, sans cette nouvelle forme, à des trois cent soixantièmes etc.

Donc, en thèse générale, les quotients de toutes les divisions, que l'on n'obtenait pas d'une manière exacte, correspondaient, dans le système chaldéen, à des sixièmes, à des soixantièmes, à des trois cent soixantièmes, à des trois mille six centièmes etc., suivant qu'on ajoutait, dans ces quotients, à la suite du nombre entier, un nombre de chiffres sexagésimaux égal à 1, à 2, à 3, à 4 etc. et la preuve de cette assertion se trouve dans les divers systèmes adoptés pour la division de la circonférence que l'on considérait comme partagée:

D'abord en six parties égales, cette division étant celle (jue l'on déduit naturellement de la longueur du rayon;

ensuite en 60 parties égales, comme on le voit encore aujourd'hui, pur nos cercles horaires, partagés en 60 minutes;

et enfin en 360 parties égales, division que nous avons conservée aussi, en fractionnant les grands cercles de la sphère en 360 degrés.

Ces très anciennes divisions de la circonférence en 6, en 60 et en 360 parties égales

34 Essai

me semblent même expliquées de la sorte d'une manière infiniment plus simple et par conséquent beaucoup plus vraisemblable que par les divers systèmes si péniblement imaginés par les modernes.

On verra d'ailleurs, lorsque j'aborderai l'étude du système métrique des Assyriens, que les mêmes divisions se reproduisaient, à chaque instant, dans ce système. Mais avant d'en venir là, et dans le but de rendre cette étude plus facile, j'ai besoin de montrer comment ces mêmes divisions se rencontrent sur la très curieuse tablette de Senkereh dont j'ai déjà signalé l'existence au commencement de ce paragraphe et que je vais étudier, d'une manière spéciale, dans le paragraphe qui suit.

§ 5. Nouvelle traduction et projet de restitution de la tablette de

Senkereh.

Cette tablette qui a été publiée, comme je l'ai déjà dit, d'abord, en 1872, par M. George Smith, dans le Recueil de Lepsius et ensuite, en 1875, par M. Oppert, dans son Étalon, est malheureusement privée, par une fracture, de toute sa partie supérieure, dont le texte nous est ainsi complètement inconnu ; mais la partie inférieure qui subsiste presque entière n'eu est pas moins très importante, et pour la faire mieux connaître, j'ai eu soin de réunir, sur l'un des tableaux placés à la fin de ce paragraphe, les deux transcriptions dues à M. George SxMith et à M. Oppert, en les mettant l'une à côté de l'autre, de manière à rendre leur comparaison plus facile.

La brique qui conserve ce précieux document porte, sur sa seconde face, la série complète des cuhes des nombres naturels, depuis 1 jusqu'à 60. Elle est d'ailleurs di\isée, dans la partie qui nous intéresse, en deux colonnes distinctes; et comme ni la transcription de M. George Smith, ni celle de M. Oppert n'ont fait connaître, avec assez d'exactitude, la correspondance des lignes de ces deux colonnes, je l'ai rétablie, sur mon tableau, d'après une copie très rigoureuse et très soignée du document cunéiforme original, qui m'a été fournie par un jeune assyriologue de la Bibliothèque nationale, M. Ernest Babelon, auquel je me fais un plaisir, encore plus qu'un devoir, de renouveler ici tous mes remerciements. Cette copie est d'ailleurs reproduite intégralement, sur mon second tableau, auquel j'ai ajouté non seulement un projet de restitution de la partie perdue, séparé par une ligne noire pleine de la partie conservée, mais encore une nouvelle traduction de la tablette tout entière.

Les deux reproductions de M. George Smith et de M. Oppert ne diffèrent pas entre elles autant qu'on pourrait le croire au premier abord. En effet, non seulement tous les nombres entiers qu'elles contiennent sont identiques de part et d'autre, mais encore toutes les fractions, qui sont représentées sur la tablette originale par leurs idéogrammes connus, ont été remplacées par leurs noms sur la reproduction de M. George Smith et par leurs expressions en chiffres arabes sur celle de M. Oppert, et n'en restent pas moins identiques, dans les deux cas; par conséquent tov^ les rapports établis par la tablette de Senkereh entre les diverses quantités qu'elle mentionne demeurent toujours les mêmes et sont parfaitement connus depuis les publications de MM. George Smith et Oppert.

Quant aux noms assignés à ces diverses quantités, pour correspondre à ceux qu'on trouve sur la tablette, voici comment ils ont été réglés : Le premier représenté, sur le texte, par les signes ^J ^J, qui doivent être lus phonétiquement SUS'I, a été conservé sous cette

Tableau A

cuutcuant

une triple reproduction de la tablette de Senkereh.