LES CONSÉQUENCES PHILOSOPHIQUES DE LA GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE

Après le problème de la liberté, un des exemples les plus frappants de l'illusion, que produit l'usage du principe de contradiction, nous est offert par les interprétations courantes des résultats de la géométrie non euclidienne. D'une façon générale, on exagère, pour des conceptions différentes de celles que manie la vieille géométrie, l'importance de certains développements illimités qui peuvent logiquement s'en déduire. En particulier, tandis qu'un grand nombre de penseurs, y trouvant enfin la preuve de l'origine expérimentale des axiomes de la géométrie, en font une forteresse de l'empirisme, d'autres y voient une œuvre de la raison pure, qui leur permet d'édifier sur de nouvelles bases la thèse idéaliste.

Pour nous, on l'a vu, la condition même du caractère mathématique d'une suite de déductions est que les conclusions ne portent que sur des fictions qui lui servent de point de départ : c'est-à-dire que nous rejetons d'avance la possibilité de voir un pareil développement aboutir aux découvertes que l'on signale. Mais laissons

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là notre conviction préalable, et discutons directement les problèmes soulevés.

Résumons avant tout, au moins dans ce qu'ils ont d'essentiel, les travaux dont il est question.

a. — Les premiers datent du commencement de ce siècle, et remontent à Lobatchewsky et à Bol yaï.

Tout le monde sait que, parmi les « notions communes » qu'Euclide a inscrites au début de la géométrie, il s'en trouve une qui, énoncée sous une aulrc forme, peut au fond se remplacer par celle-ci : « Par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite. » Elle est accompagnée de quelques autres de ces propositions qu'on a nommées depuis des axiomes, et auxquelles le géomètre grec donnait sans doute la même importance. Elles représentaient pour lui la quantité de vérités destinée à servir de fondement à la géométrie. Mais il est arrivé que, tout en prenant Euclidc pour modèle, et en n'altérant guère que la forme ou Tordre des énoncés, les auteurs des traités en sont venus à ne ciler au début de leurs livres que les nolions nécessaires aux premières démonstrations sur les angles et triangles, et à réserver pour le moment opportun l'axiome des parallèles. Cette disposition, qui donne à un si haut degré l'impression crime lacune dans la suite des déductions géométriques, a été sans doute pour beaucoup dans le besoin de la combler qu'ont témoigné tant d'esprits ingénieux et dans les efforts qu'ils ont faits pour y parvenir. Les recherches sans nombre qu'a suscitées l'axiome n'ont pu aboutir à une démonstration, mais il y avait un autre moyen de résoudre la difficulté, c'était de supprimer l'axiome luimême. Gauss le premier a songé à construire une géo-

G. Miluaui). 8

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mélrie qui en fût indépendante. Ses méditations sur ce sujet ne sont indiquées que vaguement dans sa correspondance. C'est Lobatchewsky el Holyaï qui ont publié des systèmes complets de géométrie, où les démonstrations se font à la manière d'Euclidc, mais où on ne suppose plus qu'on puisse mener par un point une seule parallèle à une droite. À l'axiome euclidien Lobatchewsky substitue la proposition suivante : « Toutes les droites tracées par un même point dans un plan peuvent se distribuer, par rapport à une droite dounéc, en droites qui la coupent et en droites qui ne la coupent pas. — La droite qui forme la limite commune -de ces deux classes est dite parallèle à la droite donnée. Il y aura deux parallèles à la droite, symétriques par rapport à la perpendiculaire abaissée du point. »

Il est clair que les conclusions de la géométrie nouvelle sont distinctes des conclusions euclidiennes. Elles se réduisent à celles-ci quand on donne à un certain élément dont elles sont affectées une valeur particulière, celle qui correspond au cas où le faisceau de droites, ne rencontrant pas la d roi le donnée, se réduit à une droite unique. Ainsi la somme des angles d'un triangle n'est plus égale à deux droits, elle est plus petite que deux droits; mais elle reprend cette valeur quand on restreint les définitions nouvelles à ce qu'elles sont dans la géométrie ordinaire.

b. — La géométrie de Lobatchewsky a reçu un surcroit d'intérêt d'une étude de Reltrami qui en donnait, dans le langage mathématique ordinaire, une interprétation curieuse.

Bcllrami considère une surface délinie analyliquement par cette propriété que la courbure en chaque point, c'est-à-dire l'inverse du produit des rayons de courbure principaux, a une valeur constante négative. De ce que la courbure est constante, il résulte qu'une

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portion de la surface peut êlrc appliquée exactement sur une autre sans déchirure ni duplicature; la valeur négative de cette constante a ensuite pour conséquence que les lignes géodésiques, c'est-à-dire celles qui représentent le plus court chemin entre deux points, peuvent être prolongées indéfiniment, et que, par deux points donnés sur la surface, il n'en passe, jamais qu'une seule, absolument comme pour les droites tracées dans le plan. Reltrami démontre que par un point de la surface passent deux lignes géodésiques, rencontrant à l'infini uwo géodésique donnée et séparant deux faisceaux, l'un formé de lignes qui la coupent, l'autre de lignes qui ne la coupent pas. C'est le postulat de Lobatchewsky réalisé, et la série des propositions de la géométrie non euclidienne va s'appliquer exactement à cette surface que Reltrami appelle pseudosphère.

c. — De son côté, Riemann, dans sa célèbre dissertation sur les hypothèses fondamentales de la géométrie, part de l'expression qu'on peut attribuera la différentielle de la dislance de deux points, lorsque, d'une manière générale, un point se trouve dépendre de n valeurs algébriques, ou. comme on dit, est compris dans un espace à n dimensions. Puis, supposant constante et positive une certaine expression analytique qui représentera la courbure en chaque point, lliemaiin est amené à construire une géométrie qui, pour n ~:\ eln — 2, se distingue, comme celle de Lobatchewsky, mais dans un sens opposé, peut-on dire, de la géométrie euclidienne. Ku se bornant au ras de deux dimensions, on voit, par exemple, qu'étant donnés une ligne droite et un point, il ne passe par le point aucune droite ne rencontrant pas la première. Étant donnés deux points, ils ne déterminent pas toujours une droite unique. La somme des angles d'un triangle surpasse deux droits, etc.

LA r.KRTITl'DE LOGIQUE

Si In géométrie do Lohalclieusky avait trouvé son interprétation sur la surface pseudosphérique de Reltrami, à courbure négative, celle de Iticmanii s'identifie, pour le cas de deux dimensions, avec la géométrie de la surface de la sphère, Parc de grand cercle jouant le rôle de droite.

d. — Ce ne sont pas là d'ailleurs les seules interprétations que les mathématiciens nient fait correspondre aux géomélries non euclidiennes. MM. Klein, Poincaré, Lie, ont construit des développements analytiques où des hypothèses faites sur les données initiales fournissaient la suite des théorèmes des diverses géomélries. Il est inutile, pour le moment du moins, d'insister sur ces travaux; il suffit de signaler In correspondance qui a pu s'établir, grâce à la confection d'un vocabulaire spécial, entre les énoncés des géomélries non euclU diennes et ceux de certains développements d'analyse ne sortant en rien du cadre habituel des recherches mathématiques.

Ces quelques points rappelés, reconnaissons d'abord à ces travaux un grand intérêt mathématique. En particulier, déclarons franchement que, du point de vue du géomètre, et dans le sens spécial où il entend la démonstratiofii ils impliquent véritablement la preuve que le postulat d'Kuclide ne peut se démontrer. En d'autres termes, ils montrent que ce postulat ne peut se déduire des seules relations quantitatives, posées au début de la géométrie euclidienne, pour traduire, à la façon du géomètre, le donné du plan et de la droite. Les mêmes relations étant en effet supposées sur la pseudosphère de Beltrami, par exemple, avec en outre, — cela va sans dire — des circonstances complémentaires, le mathématicien aboutit ici à renoncé de Lobalchewsky. Les équations qui l'expriment peuvent donc se déduire d'un ensemble d'autres parmi lesquelles se