CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA GKOM. NON EUCLIDIENNE

trouvent les axiomes fondamentaux de la géométrie ordinaire (par deux points ne passe qu'une géodésique, elle peut se prolonger indéfiniment, elle est le plus court chemin entre deux points; les figures peuvent se transporter sur la pseudosphére en restant invariables de grandeur). Il y n In en somme la démonstration de ce fait que les relations quantitatives traduisnnl de quelque façon le postulat d'Kuclide ne résultent pas de celles qui traduisent les autres : puisque le postulai de Lohnlrhensky s«' trouve» faire partie d'un système d'équalions qui comprend aussi les premiers axiomes de la géométrie euclidienne, il n'est pas contradictoire avec ceux-là, el l'axiome des parallèles, qui le contredit, ne pouvait donc se déduire logiquement de ces premiers axiomes. Or, c'est bien ce qu'entendra le géomètre quand il déclarera que le postulat d'Kuclide n'est pas démontrable. Et ce que nous disons de l'interprétation de licltrauii pourrait se répéter de toutes les autres qui reposent sur un système initial de relations communes à la géométrie euclidienne et à telle autre géométrie (I).

Il y a là un fait qui ne sort pas du domaine mathématique, et que nous pouvons bien reconnaître sans contredire à notre thèse générale. Dans la première édition de ce travail, nous avions eu tort, nous scmblet-il aujourd'hui, d'être effrayé par cette affirmation des néogéomètres que le postulat d'Kuclide est décidément reconnu par eux indémontrable. Une pareille conclusion est permise au même litre que tel énoncé de théorème nouveau; elle ne nous fait pas sortir du domaine où le mathématicien, arrêtant lui-même avec précision les contours de ses concepts, réussit à construire sur eux des démonstrations dont la rigueur le satisfait. S'il

1) Voir V Etude sur l'Espace el le Temps de M. Lkciialis (p. 47), qui a contribué pour sa part à éclairer nos idées sur ce point.

pose d'abord quo, quelque soit le mystérieux du donné de Hntiiition géométrique correspondant au plan et à la droite, ce sont les relations A, B, G qui le traduisent; s'il admet que ce sont les seules qui interviennent dans les raisonnements mathématiques vraiment rigoureux, il se trouve bien aboutir à la preuve mathématique que le postulat d'Euclidc n'est pas démontrable. Quand nous insistions autrefois sur ce qu'il pouvait y avoir quelque illusion dans celle manière de voir les choses (1), nous avions le tort d'apporter des préoccupations étrangères, par leur objectivité trop absolue, aux conceptions habituelles du géomètre. Nous prenions une attitude trop réaliste. Nous avions le tort de vouloir voir en dehors du champ où s'exerce naturellement l'activité du géomètre. A le pousser ainsi au delà de la

(i) Le lecteur saisira mieux notre pensée si nous rappelons ici les réflexions que nous opposions alors à l'afUrrnatioii des néogéomètres : « Les objets qu'étudie la géométrie, disions nous, quelque degré d'abstraction qu'on leur accorde, et malgré les efforts de notre esprit pour les transformer en des êtres purement intelligibles, pour leur affecter une existence et une signification exclusivement logiques, ne peuvent jamais cesser de garder un fond d'objectivité qui échappe à toute définition. Oui pourrait se flatter en particulier do définir complètement ces êtres fondamentaux qui s'appellent la ligne droite et lo plan ? Le géomètre raisonne sur ces éléments, il les fait sans cesse entrer dans des démonstrations nouvelles, mais ces démonstrations ne sont pas, à l'exemple des déductions de l'analyse, des suites d'idées où chaque pas nouveau se fait sous la garantie de quelque définition adéquate à son objet, qui s'inquiète peu de n'être que formelle et -symbolique. Dans les raisonnements de la géométrie ordiu.-iirc, l'intuition ne perd jamais ses droits. Non seulement elle ajoute aux déductions un subslratiim qui aide et sotitieul l'esprit, mais il est de plus impossible de dire exactement jusqu'où va son rôle dans les déductions elles-mêmes; il est impossible de séparer ce subslrahim du raisonnement logique, et d'y substituer des notions dont l'ensemble lui soit exactement adéquat.

Les premières propositions sur la droite et le plan, qui peuvent sembler donner des définitions claires, ne doivent pas faire illusion à cet égard. Loin d'exprimer clairement les propriétés nécessaires et suffisantes, elles uc peu veut échapper à de véritables cercles vicieux, eu ce seus que, d'uu côté, dans les figures planes formées de droites, il est difficile de dire jusqu'à quel point la nature du plan ne communique pas une

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signification de ses termes, c'est h la géométrie tout entière, h la géométrie démonstrative telle que l'ont faite les Grecs, que nous aurions fait le procès, et non pas seulement aux travaux de néogéométrie, dans la partie où ils mettent en évidence ce point tout mathématique de l'indépendance réciproque de certaines relations quantitatives.

Au surplus, c'est une proposition toute négative qui se trouve établie : le postulat des parallèles n>st pas une conséquence logique dos autres axiomes explicitement énoncés au début de la géométrie. Cela n'aprond rien de positif relativement au postulat fie Lobatcbewsk y. On ne voit pas a priori pourquoi on ne pourrait pas, par un choix convenable de relations quantitatives jointes aux premiers axiomes de la géométrie ordinaire,

part de leurs propriétés aux droites, et que, d'un autre côté, le plan participe nécessairement de la nature propre de la droite. Kn outre, il est question, dès le début de la géométrie, d'égalité géométrique. Ou connaît la définition adoptée depuis Euclide : Sont égales deux figures dout l'une peut être amenée à coïncider avec l'autre. Otte définition contribue évidemment à déterminer le plan, eu énonçant pour lui cette propriété, que les figures peuveut s'y déplacer en restant les mêmes. Or, que signifie-t-elle? En disant qu'une figure reste invariable, \cutnu entendre que les longueurs restent égales à elles-mêmes, les angles égaux & eux-mêmes, etc.? Il faudrait alors recourir, pour s'expliquer, à cette égalité même qu'il s'agit de définir! On n'é\ite le cercle xicieux qu'en invoquant une notion que nous possédons tous, celle du déplacement d'un solide invariable de grandeur et de forme. Il faut bien reconnaître ce qu'il y aurait de chimérique à vouloir indiquer la li.ste des notions auxquelles équivaut cette donnée, en fonction des propriétés des figures, c'est-à-dire eu première ligne, en fonction des propriétés «le la droite et du plan. Si ces difficultés n'empêchent pas la géométrie de se dérouler sous la forme (pic nous lui connaissons, n'c<t-cc pas que le géomètre raisonne toujours sur des ligures, et qu'il m* lui est pa«* indispensable, par conséquent, d'avoir dressé la liste complète, îles définitions adéquates aux données de l'intuition? Mais alors sent-on toute

l'illusion de quiconque croirait énoncer, par une liste déterminée de propriétés, traduisibles eu langage analytique, les définitions «le la droite et du plan? Seut-ou combien peu on est fondé à déclarer adéquates «i ces êtres de l'intuition géométrique des notions d'algèbre construites avec telles propriétés quantitatives déterminées? »

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déduire telle autre formule, si extravagante qu'elle parût.

N'est-on pas frappé plus qu'il ne convient de ce que les géométries non euclidiennes peuvent se poursuivre indéfiniment, et n'y voit-on pas en quelque mesure la justification des principes initiaux? Il serait naïf d'insister sur ce que les propositions les plus étranges peuvent servir de point de départ à des chaînes illimitées de conséquences logiques, ne présentant d'ailleurs jamais à notre esprit rien de plus inacceptable que les premières. Le déroulement à l'infini des géométries non euclidiennes aboutit en somme à nous placer devant des conceptions curieuses, témoignant de l'ingéniosité sans limite de notre esprit, — mais est-il capable d'apporter un seul argument nouveau pour établir, contre Kant, l'origine expérimentale de notre connaissance géométrique, — ou pour justifier un idéalisme plus large encore que celui de Kant, — telles sont les questions qu'il nous faut aborder sans relard.

Et d'abord comment l'empirisme a-t-îl pu tirer partie des travaux de géométrie non euclidienne? Le postulat d'Euclide, disent les néogéomètres, n'est pas démontrable, donc c'est l'expérience qui l'a suggéré. — Mais pourquoi celte attitude spéciale à l'égard de l'axiome des parallèles? Il n'en manque pas d'autres qui ne sont pas non plus démontrables, que même jamais personne n'a cherché à démontrer, et à propos desquels cependant la queslion de leur origine est restée toujours ouverte.

Est-ce que le postulat d'Euclide présenterait un caractère synthétique si accentué qu'on en fût effrayé, et qu'on n'osât pas y voir une notion h priori ? Mais on

oublierait donc la position que prenait Kant à l'égard de tous ces axiomes? Se préoccupait-il de savoir, pour les déclarer aprioriques, s'ils étaient démontrables, s'il était possible de les déduire d'une analyse rigoureuse des ternies, s'ils étaient analytiques? et se prenait-il à hésiter en présence de ceux dont le caractère synthétique semble plus évident? On sait bien le contraire. Tous les axiomes de la géométrie sont pour Kant en même temps synthétiques et à priori, sans exception, pas même quand il s'agit de relie proposition, que la droite est le plus court chemin d'un pointa un autre; et on imaginerait difficilement une affirmation plus synthétique que celle-là. Eh bien! donc, comment soutenir que l'axiome des parallèles, en cessant d'être une conséquence logique de propositions antérieurement posées, doit apparaître aussitôt comme ayant une origine empirique?

L'erreur que nous signalons a évidemment sa cause dans les acceptions diverses qu'on attribue au mol nécessaire. Le postulat des parallèles n'est pas démontrable, donc, ajoute-t-on, il n'est pas nécessaire. C'est donc de nécessité logique qu'il est question, de celle qui résulterait d'une démonstration rigoureuse : soit ! Mais, lorsque ensuite on conclut au'earactère non apriorique de l'axiome, on raisonne mal, car on substitue à la nécessité logique celle qui s'impose à tout esprit, en tout temps, en tout lieu, cl surtout en dehors de toute expérience. C'est ce dernier sens, celui de Kant, qui exclurait évidemment l'origine empirique : or, on si-ut la dislance qui le sépare du premier.

Si les néogéomètres n'avaient pas d'autre argument pour affirmer l'origine expérimentale de l'axiome d'Euclide que le sentiment d'avoir établi qu'il n'est pas démontrable, il nous semble qu'il serait vraiment inutile d'en dire plus long. Mais au fond, ce n'est peut-être pas

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LA CERTITUDE L0GIQUK

là le point essentiel. Nous avons eu surtout en vue jusqu'ici la géométrie de Lobalehcwsky. Les travaux tels que ceux de Riemann ou do Helmhollz ou de SI. Lie, qui ont pour objet une reconstitution des principes fondamentaux de la géométrie, nous offrent dans la question que nous examinons maintenant un intérêt spécial. Arrêtons-nous un instant sur ces travaux.

Voilà Riemann, par exemple, qui, parlant de la notion de quantité [qu'il reslrciut d'abord à celle des quantités continues, mesurables entre elles], conçoit la multiplicité à n dimensions, c'est-à-dire celle où un point dépendrait de n de ces quantités, —puis se donne pour la différentielle d'une ligne une expression telle que la courbure en un point (une certaine fonction analytique des différentielles des coordonnées) reste constante. Il est alors en possession d'un concept général d'espace qu'il faut restreindre, pour ramener à coïncider avec l'espace euclidien, d'abord en réduisant à trois le nombre des dimensions, et enfin en attribuant une valeur nulle à la courbure.

Hclmbollz passe de mémo de la multiplicité à n dimensionsà l'espace euclidien. Les fonctions analytiques que Riemann eboisit pour point de départ sont déduites par Helmboltz de quelques hypothèses sur le mouvement des corps. L'illustre savant est amené à considérer, parmi les multiplicités à n dimensions, celles où se trouvent des systèmes indéformables et mobiles. Il suppose en outre le mouvement d'un solide entièrement libre, et enfin il restreint encore le concept de sa multiplicité spatiale par ecttecondilion, que, si n— «l points d'un système sont fixés, il repassera par la position initiale. Pour distinguer parmi les espaces ainsi définis l'espace euclidien, il ne lui reste plus alors qu'à supposer le nombre des dimensions égal à 3, et à admettre que Jcs dimensions d'un point peuvent grandir indéfiniment.

CONSÉQUENCES PHILOS. DK LA GKOM. NON Kl CL1IHKNNE LU)

Enfin, citons encore les travaux de MM. Lie et Poincaré qui s'inspirent, comme Helmboltz, du déplacement des systèmes invariables. Donnant deux dimensions au plan, et acceptant que la position d'une figure plane dépende de 3 paramètres, M. Poincaré (l) est conduit par la théorie analytique des groupes du géomètre norvégien à un certain nombre de géométries planes, parmi lesquelles il ne retrouve la géométrie euclidienne qu'eu ajoutant les deux hypothèses suivantes: Si une figure plane ne quitte pas son plan et que deux de ses points restent immobiles, la figure entière reste immobile, et ensuite : la somme des angles d'un triangle est constante.

Ces travaux ne semblent-ils pas, en énonçant les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence de notre géométrie, en aboutissant par conséquent à une sorte de définition du concept d'espace qui en est la base, ne semblent-ils pas, dis-je, ruiner la thèse de l'idéalisme kantien? Ne donnent-ils pas pour ce concept un assemblage d'éléments où rien n'apparaît comme nécessaire, ni les éléments eux-mêmes, ni leur mode d'association? « L'anal j se de Riemann et les éludes postérieures, dit M. P. ïannery, ont montré dune façon nette et précise que le concept d'espace est formé par une association de diverses notions parfaitement distinctes les unes des autres, celles de grandeur, de continuité, de dimension, de triplicilé, de mesure, d'identité de l'unité de mesure suivant les diverses dimensions, de distance, de loi anah tique relative à la dislance de deux points. H est également prouvé qu'il n'y a subjectivement rien de nécessaire dans l'association de ces notions, ni dans la forme spéciale que revêt la dernière. Que les lois de notre entendement

(1) Bulletin dv la Société mathématique^ t. XV, p. 203.