CONSÉQUENCES MILOS. DE LA GÉOM. NON EUCLIDIENNE 14U

avons déjà fait allusion, que par les commentaires que lui ont suggérés les études de Bellrami. Rappelons d'abord que Helmhollz accepte bien la formule kantienne « L'espace est la forme à priori du sens extérieur », mais il ne l'entend pas comme lui. A ses yeux, la notion qui est à priori n'implique pas de préférence tels ou tels rapports spatiaux, file est en particulier indépendante des relations affirmées par les axiomes de la géométrie. Ceux-ci ne sont que la matière de l'idée d'espace. Et c'est l'expérience seule qui pourra les justifier, tandis que pour Kant, au contraire, la notion d'espace trouve son expression naturelle dans les axiomes, c'est d'eux que lui vient son caractère apriorique, et ce qui conduit Kant à les dire nécessaires et à priori, c'est, nous le rappelions tout à l'heure, l'impossibilité de s'écarter dans l'intuition des vérités qu'ils expriment, Helmholtz, pour combattre directement cette thèse, s'efforce de créer idéalement l'intuition d'un espace où les axiomes ordinaires ne seraient plus vrais. 11 lui faut avant tout expliquer ce qu'il entendra par la représentation intuitive d'une chose qui sort absolument du champ de notre intuition commune. Helmhollz admet qu'un objet inconnu est représenlable en intuition quand sont représentables toutes les impressions sensibles qu'il suscite en nous, suivant les lois connues de nos organes, et sous toutes les conditions possibles d'observation. Puis, fort de celte définition, il cherche, entre autres exemples, à énumérer la série des impressions sensibles que produiraient sur nous les phénomènes de l'espace pseudosphérique. Il ne s'agit pas là seulement de la surface de llcllraini. En introduisant dans ses calculs une variable de plus, le géomètre italien a élendu ses conclusions à ce qu'il a appelé l'espace pseudosphérique. C'est cet espace où Helmhollz nous fait pénétrer.

LA CERTITUDE LOGIQl'K

Pour comprendre son laryngé, il faut connaître le procédé par lequel fiel Ira mi a obtenu aisément tous ses résultais. Définissant un point de la psoudosphèro à laide de deux coordonnées u, v, il considère, en même temps qu'un point de cette surface, le point du plan dont u et v seraient les coordonnées cartésiennes. Grâce au choix des coordonnées u et r, il arrive alors que les droites du plan correspondent aux lignes géodésiques de la pseudosphère, et les points d'une circonférence de rayon fini correspondent aux points h l'infini de la surface, de sorte que celle-ci a, dans un certain sens, sa représentation complète à l'intérieur d'un cercle. A deux lignes géodésiques se coupant à l'infini correspondent deux cordes du cercle ayant une extrémité commune ; à deux lignes se rencontrant ou ne se rencontrant pas correspondent deux cordes se coupant à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle. — C'est de la môme manière que l'espace pseudosphérique, où chaque point sera défini par trois coordonnées, trouve une ingénieuse représentation dans l'intérieur d'une sphère.

Cela posé, voici comment d'après IlelmholU « les phénomènes d'un monde pseudosphérique apparaîtront à un observateur dont l'œil et l'appréciation se seraient formés dans un espace analogue à notre espace plan. A son entrée dans la pseudosphère, cet observateur continuerait à regarder les rayons lumineux ou les lignes de vision comme des lignes droites, tout aussi bien que dans l'espace plan, et comme elles le sont en réalité dans la représentation sphérique de l'espace pseudosphérique. L'image visuelle des objets dans la pseudosphère lui ferait donc la mémo impression que s'il se trouvait au centre de la sphère représentative de Bcltrami. Les objets les plus éloignés lui sembleraient l'entourer à une distance finie, de 100 pieds par exemple.

CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA C.ÉOM. NON EIT.LIDIRNXK loi

Mais, s'il se transportait jusqu'à eux, il les verrait s'étendre devant lui et plus en profondeur qu'en surface; derrière lui, au contraire, ils se contracteraient. Il reconnaîtrait l'erreur d'appréciation commise par ses yeux. S'il avait vu deux lignes droites qui lui parussent parallèles jusqu'à cette distance de 100 pieds, où le inonde s'arrête pour lui, il reconnaîtrait en Rapprochant que, par celte extension des objets avoisinanls, elles s'écartent d'autant plus qu'il s'avance davantage ; derrière lui au contraire, leur distance semblerait diminuer de façon qu'elles paraîtraient de plus en plus divergentes et éloignées l'une de l'autre. Deux lignes droites, qui, de la première position, lui auraient paru se couper en un seul et même point, derrière lui, à une distance de 100 pieds, en feraient toujours autant, et il aurait beau s'approcher, il n'atteindrait jamais le point d'intersection (I). »

N'éprouve-t-on pas une sensation de surprise, en passant brusquement de la correspondance analytique, établie par Beltrami entre d^w systèmes de coordonnées, à la correspondance effective de deux séries d'impressions? Ksl-ce que Helmhollz ne donne pas à son tour une interprétation physique et plnsiologiquc de celle de Beltrami?

Son explication n'a de sens que par une hjpolhèse qu'elle admet implicitement, à savoir que les imagos représentatives, construites par Beltrami à l'intérieur d'une sphère, doivent devenir des images réelles pour l'observateur qui aura pénétré dans le monde pseudosphérique. Mais alors, si, pour nous donner un exemple d'une série d'impressions différentes dos nôtres, Helmhollz nous eut simplement demandé de supposer possibles celles dont il fait rémunération, on comprend

(1) Revue scientifique, juin 1817. Les axiomes géométriques, origine et signification.

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LA CKHTITIÎDK L0GIQCK

difficilement ce qu'eussent gagné ses arguments au travail mathématique de Bellrami. Qu'importe au philosophe allemand que rémunération de ces impressions d'un nouveau genre évoque, par un rapport purement extérieur, quelques propriétés analytiques curieuses î Tout au plus laissons à ce inonde étrange où nous conduit Helmholtz le nom de pseudosphérique, c'est affaire de mot, mais distinguons bien entre l'espace pseudosphérique du mathématicien et celui du physicien et du physiologue. Quand c'est à des instruments d'optique qu'a recours Helmholtz pour nous rendre représentâmes des impressions visuelles non ordinaires, le secours de ces instruments, en réalisant les impressions dans des cas particuliers, éclaire d'un grand jour et appuie solidement la pensée du savant; mais il n'y a aucun rapprochement à faire entre ce rôle des miroirs ou des lentilles et celui du travail de Beltrami.

De quelque façon qu'on juge la thèse philosophique de Helmholtz, il ne semble donc pas que, pour l'approuver ou la combattre, on puisse manquer d'un seul élément nécessaire à la discussion, si on laisse complètement de côté la géométrie non euclidienne.

La même remarque s'appliquera d'ailleurs à tous les exemples d'intuition spatiale différente de la nôtre, qu'il a pu plaire à tel ou tel esprit ingénieux d'imaginer. Que les discussions provoquées par les travaux de mélagéomélrie aient été l'occasion de ces hypothèses plus ou moins étranges, cela est certain. Mais, en tout cas, ces travaux eux-mêmes n'apportent pas un seul argument en faveur de leur légitimité, pas une seule explication pour les rendre plus compréhensibles. Dites, par exemple : Notre intuition est inséparable de trois dimensions, mais qui sait si nous n'aurions pas pu, dans d'autres circonstances, en connaître quatre, qui sait s'il n'est pas des êtres et un monde pour lesquels

CONSKQUIiNCKS IMI1LOS. DK LA GKnlt. NON KIT.LIIHKNNK \X\

la quatrième dimension existe, qui sait enfin si cet espace où nous vivons u a pas quatre dimensions ou même plus, sans que nous puissions croire à plus de (rois? Dites cela, et relie simple énonriation de questions plus ou moins compréhensibles contiendra tout ce que notre esprit est capable de trouver ou de créer pour élucider ces questions: les géomélries non euclidiennes, sous prétexte de manier les mêmes mots dans leur langage, ne sauraient rien y ajouter.

Il nous reste à voir si les travaux des néogéomètres qui n'ont pu, à nos >eu\, apporter quelque argument nouveau en faveur de l'empirisme, peuvent être invoqués, au contraire, comme quelques-uns l'ont prétendu, à l'appui delà thèse idéaliste.

En deux mots, voici ce qui est allégué. À l'exemple de Lobatchewsky, de lliemami et des néogéomètres dont nous avons parlé jusqu'ici, mais dune façon différente, M. Calinon (I) a élaboré les définitions essentielles qui peuvent servir de base à une ytomiUrie des espaces à trois dimensions, géométrie générale dont celle d'Euclide ne serait qu'un cas tout particulier. Les espaces à courbure constante eux-mêmes ne sont que des cas particuliers, et il faut que ceux-ci détiennent identiques (possibilité du transi» ri sans déformation), et enfin que l'axiome des parallèles y soit vrai, pour qu'on puisse reconnaître l'espace euclidien. Dans le cas le plus général, la série des théorèmes se poursuit aussi loin que Ton veut avec la même rigueur que dans

(1) Voir V Introduction à la géométrie des espaces à trois dimension*, de M. Calinon, ainsi que les articles de MM. Caunon et Lécha las publiés dans la Revue philosophique, la Critique philosophique, les Annales de philosophie chrétienne en 1889, 1890, 1891.

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LA CKRTITl DK LOGIQUE

la géométrie ordinaire. Uni 1 géométrie générale se trouve ainsi créée, dépendant d'un paramétre dont il n'appartient pas à l'esprit mais à l'expérience de fixer la valeur. Nous retrouvons ici, à l'égard de la géométrie ordinaire ou euclidienne, qui correspond à une valeur particulière du paramétre en question, les conclusions empiri&tcs que nous avons déjà discutées. Mais la thèse nouvelle présente ceci d'original, qu'elle s'élève au-dessus des géométries particulières pour voir, dans la géométrie générale, une construction purement rationnelle, sans postulats, fondée sur des définitions à priori, qui se trouvent d'ailleurs légitimées par le seul fait de donner naissance à un développement logique indéfini. Cette science, la véritable géométrie rationnelle, est ainsi tout entière, et à priori, une création de l'esprit, l'expérience n'intervenant ensuite que pour guider pratiquement dans le choix de la géométrie particulière qui nous convient en réalité.

On voit comment, loin de sacrifier l'idéalisme h la géométrie non euclidienne, on ne fait que modifier celui de Kant, en changeant sa matière. C'est un peu déjà ce que faisait Helmholtx, diminuant la partie formelle de la notion d'espace de tout le contenu des axiomes géométriques. Mais, pour Hclmholtz, la part de l'esprit se réduisait alors à une notion vague, dépouillée de toute relation spatiale particulière, ce qui nous éloignait sensiblement de l'idéalisme kantien et nous donnait bien le droit de ranger Helmholtz parmi les empiristes. Ici, c'est différent : pour Mer leur caractère apriorique aux postulats spéciaux de la géométrie euclidienne, on ne laisse pas seulement à l'esprit le pouvoir de se former une notion d'espace sans contenu, pour ainsi dire ; on le reconnaît créateur, et à priori, de toute une géométrie au développement illi-

CONSÉQUKNCES PHILOS. Dll LA GKOM. NON ErCLlIllFNNE 155

mité, de, tout un corps de science, formé d'une suite indéfinie de propositions. A ce prix vraiment on ne risque plus d'être disqualifié d'idéaliste, pour ne l'être pas à la manière de Kant.

Pour dégager la géométrie non euclidienne de conséquences aussi graves, nous ferons porter la discussion sur trois points essentiels:

1° La géométrie générale est-elle sans postulats, et peut-elle se former sans emprunt à l'expérience?

2° Que faut-il penser de la légitimité des notions premières fondées sur le développement logique qui s'en déduit ?

3° Cette géométrie générale seprésenle-t-clle comme unique, déterminée ?

Dans ces sortes de travaux où la géométrie ordinaire est présentée comme cas particulier d'une science plus générale, on peut supposer, si l'on n'y réfléchit pas, que les éléments fondamentaux de notre géométrie : droites, points, dislance, etc., vont sortir tout naturellement, par une série de restrictions, de notions rationnelles posées par nous tout d'abord : il suffit de regarder de près les travaux eux-mêmes, comme celui de M. Calinon, par exemple 'si intéressant d'ailleurs et si original au point de vue mathématique) pour constater, comme on pouvait s'y attendre, que ce sont, au contraire, les notions générales, prétendues rationnelles, qui sortent des éléments habituels de notre intuition. Les espaces à trois dimensions sont présentés comme une généralisation des surfaces de la géométrie ordinaire, et toutes les définitions, sans exception, sont tirées, par généralisation ou simplement par analogie, des propriétés du plan, des droites et des surfaces. Certes, si on avait pu faire disparaître de la définition

LA CKKTITUDK LOGIQUK

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lout ce qui en rappelle l'origine, nous n'aurions pas le droit d'arguer de celle-ci pour contester le caractère rationnel de la notion qu'on nous offre. Mais non; les matériaux concrets, qui ont guide'* l'esprit dans la construction delà définition, sont toujours présents. Celleci s'exprime à l'aide des éléments complexes, inexpliqués, que nous avons déjà signalés au début de la géométrie ordinaire. Citons au hasard : « Il y a des surfaces, dit M. Calinon, comme le plan et la sphère, où les figures peuvent se mouvoir sans se déformer; nous appellerons ces surfaces identiques à elles-mêmes : de même nous donnerons le nom d'espaces identiques à eux-mêmes... à ceux où les figures peuvent se déplacer sans déformation comme dans l'espace euclidien. » Il serait aisé d'insister sur l'incompréhensibilité de cette notion du déplacement sans déformation (t): comment un ensemble de définitions impliquant de pareils éléments pourrait-il constituer une science purement rationnelle?

M. Lechalas, l'éloquent défenseur de la géométrie générale, — voulant répondre à ce grief, formulé de divers côtés (2), qu'elle ne peut pas échapper à une foule de postulats dans les toutes premières propositions de la géométrie, — a donné, dans les Annales de Mathématiques, la démonstration d'une série de théorèmes concernant le plan et la droite (plus généralement les surfaces identiques et leurs géodésiques). L'auteur établit, par exemple, qu'une demi-droite, tournant autour de son origine, engendre le plan d'un mouvement continu, sans retour sur les parties engendrées ; qu'une droite partage le plan en deux régions ; qu'une

(I) Voir la note de la page 138.

(2} Voir les articles consacrés à ce sujet par MM. Rknouvikr (Critique philosophique), et l'abbé Biioolie (Annales de philosophie chrétienne*.

CONSÊQUKNCKS PHILOS. DK LA CKOM. NON El CI.IMKNNi: 157

deuxième droite, joignant deux points respectivement situés dans les deux régions, rencontre la première, etc. ; c'est là un travail fort ingénieux, où les emprunts faits nécessairement à l'intuition ou à l'expérience reçoivent un arrangement curieux, mais nous ne voyons pas qu'ils disparaissent.

Les premières propositions s'appellent, il est vrai, des définitions, mais ce n'est là qu'un mol, ce que nous disions lantêt de celles de M. Calinon subsiste complètement pour celles-ci. M. I.crhalas reproduit la définition des surfaces identiques, déjà citée, puis celle des géodésiques: Une géodésique d'une surface identique est une ligne située sur elle, et telle que par deux points de celle-ci il nn\ passe qu'une en général. Mais, nous dit-on ce qu'est une surface, une ligne, un point, une figure, un déplacement, etc. ? Voilà autant de notions absolument inexpliquées qu'on nous fait accepter en bloc, et qu'on va introduire dans cette chaîne de déductions prétendues logiques. Je ne sais rien de ces notions, je ne sais pas ce qu'elles sont, et je ne puis donc même pas dire si elles peuvent être, c'est-à-dire si elles ont droit à l'existence logique, au moins comme simples objets de pensée. Je sais encore moins ce que signifieront les groupements de ces éléments qu'on me soumet sous le titre de définitions. Comment pourrais-je dire s'ils sont légitimes? Kn raisonnant comme si toutes ces notions avaient une signification logique, et comme si le mode d'association auquel on les soumet était légitime, est-ce qu'on ne sous-entend pas une série de postulats ? On répondra que tout ne se peut définir et que les premières définitions doivent nécessairement poser les éléments sur lesquels elles portent, sans essayer de le3 analyser; soit ! Nous pensons absolument de même mais nous exprimons précisément cette idée en déclarant que les postulats sont nécessaires et que l'esprit

LA CERTITUDE LOGIQrE

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ne peut pas créer ainsi la géométrie sans emprunter à l'expérience on à l'intuition des éléments irréductibles, en d'autres termes : que la géométrie ne pourra, dans aucun cas, se poser comme une construction logique

sans postulats.

Tout ce qu'on peut demander aux définitions, diront les partisans de la géométrie générale, c'est de ne pas impliquer de contradiction. Or, pour les premières, le travail analytique qui seul saurait garantir à priori l'absence de contradiction, est impossible, nous le reconnaissons, les premières notions associées ne pouvant se ramènera des éléments antérieurement acquis. Mais un autre moyen nous reste de légitimer le point de départ d'une science telle que la géométrie : c'est la possibilité d'en déduire une suite indéfinie de propositions sans se heurter jamais à rien de contradictoire. M. Calinon nous semble bien avoir adopté, dans ce choix d'une condition de légitimité, une définition pure et simple, et, sur ce terrain, il est alors inattaquable. Si fon convient de dire: sera légitime toute proposition initiale d'où nous pourrons faire découler un développement illimité de théorèmes et de corollaires, toutes les définitions de la géométrie générale se trouvent légitimes. C'est une pure question de mots. Mais quelles conséquences sérieuses tirerait-on ensuite de cette constatation? Lorsqu'on préseule la géométrie générale comme capable, par sa seule existence, de légitimer les propositions premières, et que l'on conclut au caractère logique de la construction totale, pour y voir une création de l'esprit qui peut passer pour la vraie science géométrique rationnelle, la légitimité dont on se prévaut prend une signification capitale. Nous exigions tout h l'heure des postulats pour grouper des notions échappant à toute définition, et pour reconnaître à ces notions

CONSÉQUENCES PIIIT/lS. »K LA CÊOM. NON EUCLIDIENNE 150

au moins l'existence d'objets de pensée : c'est la réponse à cette objection qu'au fond on apporte ici, quand on allègue le développement logique construit sur ces notions et se poursuivant indéfiniment sans jamais rencontrer d'écueil.

Eh bien, qu'on y regarde de près cependant. Si d'une proposition, oi'i entrentdes termes inexpliqués, et qui ne s'impose pas d'elle-même comme exemple de contradiction, on déduit un nombre aussi grand qu'on voudra de propositions nouvelles, comment affirmera-t-on pointa millième, mieux que pour la première, quelle n'est pas contradictoire ? Certes, il n'est pas toujours nécessaire de comprendre le sens de tous les termes pour reconnaître la contradiction : Quelle que soit la signification de la droite et du point, après avoir dit. par exemple, que par deux points ne passe qu'une droite, on ne pourra plus dire sans contradiction qu'il en passe deux. Mais, quand on ne se heurte pas à une association de termes manifestement absurde, comment imagine-l-on que Ton pourrait jamais être conduit à une contradiction en raisonnant sur des éléments qui échappent à toute analyse ? Car ils n'ont pas disparu, ces éléments inconnus que l'on s'est trouvé impuissant à définir, que Ton a posés sans les expliquer, et qui empêchaient d'apprécier la légitimité des premières propositions ! S'imaginerait-on que ce bloc de matière complexe, apporté par celles-ci de toutes pièces, va, en se répandant dans des suites infinies de raisonnements, se réduire en traces impalpables, et se dissiper peu à peu ? Voilà vraiment ce qu'il serait difficile de concevoir. Aussi longtemps qu'on parlera de droites, de plans, de figures, toutes les mystérieuses propriétés, qui pour ces êtres géométriques se cachaient sous des mots inexpliqués, seront toujours là, servant indéfiniment de support véritable aux démonstrations. Et comment pourrions-nous

CONSÉQUENCES l»HIL0S. DE LA (iKOM. NON EUCLIDIENNE ifi\

déclarer la compatibilité ou l'incompatibilité logique de notions, que nous ne savons pas analyser, que notre esprit ne peut pas reconstruire pour lui, quand même un long exercice, une longue chaîne de raisonnements nous eût familiarisés avec elles, au point de nous donner l'illusion de les comprendre ? Certes, lorsqu'on se soumet au contrôle d'une certaine réalité expérimentale ou intuitive, on peut clairement parler de contradiction, même en dehors des associations absurdes de mots, si on veut entendre par là un désaccord avec telle ou telle impression connue, tel ou tel fait, phénomène extérieur ou image de l'intuition. Mais dans la question qui nous intéresse, il est plus qu'évident que ce genre de contradiction ne saurait exister. On se place au-dessus et en dehors de l'expérience et de l'intuition ordinaire (sans quoi le seul abandon de l'axiome d'Euclide serait un obstacle suffisant à l'existence de la géométrie générale). Il s'agit donc vraiment et uniquement de contradiction logique, de celle qui résulte de l'incompatibilité de notions définies, et on ne nous semble pas pouvoir échapper à ce reproche de déclarer non contradictoires, sans raison suffisante, sans plus de raison qu'au début, une suite innombrable de propositions.

Enfin, pour pouvoir dire que l'idéalisme profite des travaux de géométrie générale, il faudrait établir qu'il y a là une création bien déterminée de l'esprit, que, par sa nature, par sa définition, cette science, qui s'élève au-dessus des manifestations contingentes de l'expérience, est bien véritablement une. Nous ne comprendrons pas qu'elle soit indéterminée, qu'elle puisse se présenter sous une diversité infinie d'aspects, prenant son point de départ en telles notions plutôt qu'en telles autres. M. Calinon l'a bien compris, et il s'est efforcé de

montrer que, par ses caractères propres, la géométrie générale, telle qu'il l'a définie, se trouve bien déterminée et présente le maximum de généralisation qui soit permis à l'esprit, sans sorlir'eomplètcment du domaine de l'intuition, ficoutons-le plutôt : « Toute équation à laquelle nous pouvons ajouter une forme, pour nous concevable, nous ramène à la géométrie ; or, nous ne concevons nettement que les formes très voisines de celles que nous avons sous les yeux, et toutes ces formes sont au plus à trois dimensions. On a voulu, il est vrai, faire correspondre, en généralisant la géométrie cartésienne, aux équations i\ plus de trois variables des figures à plus de trois dimensions ; celte extension est en somme légitime et peut, dans certains cas, rendre des services ; nws ce serait une illusion de croire que l'on crée ainsi uik» véritable géométrie plus générale que la géométrie à trois dimensions ; au bout d'une pareille généralisation, on pressent en effet une géométrie aussi générale que l'analyse elle-même : Mais comme nous n'avons aucune idée d'une figure à plus de trois dimensions, il y a non seulement correspondance, mais identité absolue entre cette figure et l'équation qui la représente ; les figures à plus de trois dimensions ne sont donc que des noms nouveaux donnés aux équations sans aucune addition d'idée nouvelle.

« C/est là l'illusion que nous voulons signaler. Au premier abord, l'objection que nous venons de faire à l'égard des espaces à quatre dimensions et plus parait s'appliquer également aux divers espaces à trois dimensions de la géométrie générale; mais d'abord nous concevons très bien les figures de tous ceux de ces espaces qui diffèrent très peu de l'espace euclidien, et par conséquent de notre espace expérimental; quant aux autres espaces qui s'écartent sensiblement du nôtre, ils peuvent toujours, comme nous l'avons vu, être décompo-

ses en éléments infinimont petits qui diffèrent très peu d'éléments euclidiens, de sorte que, si nous ne concevons pas, dans son ensemble, un espace de ce genre, nous en concevons très bien chacun des éléments. L'objection formulée plus haut contre un espace à quatre dimensions et plus perd donc ici toute sa valeur (I). »

En d'autres termes, aux yeux de M. Galinon, les espaces à trois dimensions, en dehors de l'espace euclidien, ne nous éloignent pas sensiblement de noire intuition habituelle, tandis que les espaces à plus de trois dimensions nous en font sortir complètement : Seule, la géométrie des premiers gardera donc le véritable caractère de géométrie, qui se distingue, par des notions de forme, de l'analyse pure, et parla une limite est nécessairement imposée aux généralisations.

Nous ne pouvons accepter cette manière de voir. Deux attitudes seules nous semblent raisonnables à l'égard de l'intuition, celle qui consiste à accepter l'intuition ordinaire avec ses exigences, ou celle qui s'en passe. M. Galinon consent à abandonner l'intuition euclidienne, et croit pouvoir se contenter d'une autre. Laquelle? C'est ici qu'il nous faut regarder de prés. On se rappelle Helmholtz essayant de créer idéalement une intuition factice, différente de la nôtre, à l'aide d'un ensemble d'impressions tirées du fonctionnement normal de nos organes et de notre esprit. M. Galinon fait en somme une tentative analogue en cherchant à composer l'intuition nouvelle d'éléments empruntés à l'espace euclidien. Mais nous ne pouvons voir là autre chose qu'une construction artificielle, que nous nous refusons absolument à identifier avec l'intuition véritable, celle qui s'impose à nous, et il ne nous semble

(1) Revue philosophique. Les espaces géométriques, t. XXXII, p. 375.

CONSÉQUENCES PHILOS. DE LA CKOM. NON ElCLiniENNE U)l\

pas possible de dire que la géométrie générale, qui s'en contente, conserve le véritable caractère géométrique, celui que deux mille ans ont consacré.

On contestera peut-être que la construction de M. Galinon soit artificielle. A considérer une portion d'espace non euclidien comme composée d'éléments euclidiens' infiniment petits, il y a quelque chose de comparable à ce que fait le géomètre qui couramment assimile un arc de courbe à une ligne brisée d'un nombre infini de côtés, ou une portion de surface à un ensemble d'éléments plans infiniment petits. Gerles oui, le procédé de M. Galinon est conforme à l'esprit mathématique, mais une différence capitale dislingue le cas habituel de celui qui nous occupe. L'arc de courbe, la surface, sont des êtres géométriques qui se posent au géomètre comme objets d'étude, et ce n'est que pour les examiner sous certains rapports, rapports de quantité et de mesure, qu'on introduit la considération des éléments plans ou reclilignes. Celle-ci vient donc simplement apporter un procédé spécial pour étudier des figures dont la définition était antérieure à l'application du procédé, ttien loin de là, au contraire, nous chercherions en vain dans le travail de M. Calinon une définition quelconque d'un espace ou d'une portion d'espace non euclidien ; il ne s'y trouve rien à cet égard qu'un recours à l'analogie avec les surfaces, ce qui ne suffit évidemment pas à constituer d'abord l'objet qui sera analogue. — Gomment donc, va-t-on demander, est-il possible de montrer qu'une portion d'espace non euclidien se compose d'éléments euclidiens infiniment petits? C'est bien simple. On convient d'appeler distances, angles, aire, volume, des éléments tels que celle condition soit remplie ; autant vaut dire : on convient quelle est remplie. Et cette remarque peut s'étendre à toutes les autres définitions. Les espaces généraux à trois dimensions sont dus le

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LA CEItTITUIiK LOGIQt'E

début, supposés avoir des points, des lignes, des surfaces, tout comme l'espace euclidien, etc. On ne saurait mieux dire qu'on va, à l'occasion de ces mois : espaces à trois dimensions, par un choix convenable de définitions, manier un langage qui rappellera sans cesse l'espace euclidien, et créera l'illusion <V\ma intuition nouvelle analogue à l'ancienne ! N'avons-nous pas raison de voir une construction purement artificielle dans cette prétendue intuition ?

Ensuite pourquoi nous refuserait-on le droit de nous arrêter en si beau chemin ? Serait-il donc bien difficile de parler de formes à propos des espaces à n dimensions? Aux figures de l'espace euclidien à 3 dimensions on sait faire correspondre de mille manières certaines figures du plan fprojection, perspective, etc.) Eh bien, qu'est-ce qui empêcherait de faire correspondre certains éléments géométriques convenablement choisis aux équations qui dépendent de n variables? Si n est < ; gal à A, par exemple, il suffirait de considérer les surfaces représentées par les équations, quand trois des variables deviendraient les coordonnées d'un point, la quatrième prenant toutes les valeurs de — a> à-f oo; ou, si on préférait, on pourrait faire correspondre aux équations certaines surfaces, enveloppes de celles-là, de sorte que chaque équation représenterait une surface. Ou encore, une équation pourrait représenter un complexe de droites, c'est-à-dire l'ensemble des droites euclidiennes satisfaisant à une condilion (une droite dépendant, dans l'espace, de \ paramètres) ;dela même manière l'espace à 6 dimensions pourrait fournir les complexes de cercles, etc. Ces correspondances d'équations à des formes n'ont peut-être rien d'intéressant en elles-mêmes, mais qu'importe ? Nous ne nous écartons pas, en les posant, du procédé fondamental en géométrie, qui consiste à établir un lien entre des êtres

CONSÉQUENCES PHILOS. DR LA GÊOM, NON IXCLIMENNE IfiS

géométriques et des relations, c'est-à-dire non pas à représenter les formes par des équations, à mettre la forme dans les calculs, ce qui n'a aucun sens, mais à l'ajouter aux symboles par une convention. Qu'importe le caractère de la convention ? Qu'importe qu'elle cesse d'être la même, quand on passe aux espaces à plus de trois dimensions? Que la notion déforme puisse s'y ajouter encore, cela suffit pour ôler le droit de dire que la géométrie se fond avec l'analyse. Et enfin on reconnaîtra que nous nous éloignerons moins ainsi de la géométrie ordinaire, que la géométrie générale s'écartait de l'intuition euclidienne, c'est-à-dire de notre intuition.

Ainsi il nous parait impossible de délimiter, par aucune exigence relative à la forme, le degré de généralisation où on s'élèvera, dès qu'on aura accepté de dépasser les bornes de la géométrie ordinaire. Et dès lors, si notre esprit ne peut rencontrer, dans ses constructions, un cadre déterminé, où il puisse faire rentrer nos impressions habituelles de formes comme cas particuliers, A quoi nous servira d'appeler ces formes contingentes, de dire qu'elles pourraient être différentes si certaines circonstances eussent été changées ? Que devient la seule base solide du rationalisme, dont parle M. Lcchalas, si la science qui devait jouer ce rôle, pour ne plus pouvoir se délimiter dans sa forme, échappe elle-même à toute définition, à toute règle de détermination ?

Concluons donc : l'idéalisme pas plus que l'empirisme ne doivent se flatter de trouver, dans les travaux mathématiques de géométrie non euclidienne quelque argument décisif qui leur soit favorable. Tout au plus, à la base de ces travaux, se trouvent des notions qui peuvent fournir le prétexte ou l'occasion à des disputes

LA CEHTITUDE LOtilftUE

sur la théorie de la connaissance. Mais lus arguments qui profileraient à ces disputes sont à priori dans l'opinion préalable de chacun, dans ses habitudes d'esprit, dans la solution qu'il apporte «l'avance aux questions déballues, et nullement dans l'cxislenee ou dans les résultais des géométriesnon euclidiennes.