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jouenl leur rôle dans la constitution de ces notions, cela n'est pas douteux, et la discussion peut seulement porter sur le plus ou moins d'importance; de ce rôle. Mais, quanta leur association, ces lois ne paraissent nullement y contribuer ; on peut, en effet, la bouleverser de toutes les façons possibles, on peut y introduire certaines autres notions différentes, tout en maintenant au concept son caractère logique, qui lui permet (Vôtre l'objet d'une science. Rien ne reste donc du concept qui soit subjectivement nécessaire... Toute proposition sur l'espace est donc subjectivement contingente et ne diffère pas à cet égard des autres propositions qui peuvent être formulées comme lois de phénomènes extérieurs. Ces diverses conclusions peuvent-elles être mises d'accord avec la véritable pensée de Kant ?... Cela, à la rigueur, est possible.. . Montrer qu'elles n'ébranlent pas un point fondamental du système serait une tâche que je ne puis que décliner... (1) »

Le maître, dont nous donnons ici la pensée, ne s'estil pas fait illusion sur les difficultés de la Lâche qu'il décline? Où aboutissent eu somme les travaux qui nous intéressent fils cherchent à donner une définition de l'espace à l'usage de la science, à construire un concept de l'espace qui puisse servir de point de départ à la géométrie. La question consiste à dresser une liste de propositions qui, une fois posées, aient comme conséquence le développement que possède actuellement la géométrie. On sent d'avance l'indétermination du problème. Aucune restriction, aucune condition ne sont imposées ni au choix des propositions, ni au choix des éléments sur lesquels on b.Uira les fondements de l'édifice qui doit se confondre, après un certain nombre d'assises, avec notre géométrie. Les solutions de Rie-

(1) ite». Philos., 3, p. ?iï\.

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mann, de llelmholtz, de M. Poinearé satisfont à la question : tout se passe en géométrie comme si on eiU pris la série des postulats qu'elles nous offrent pour point de départ. Un mode de groupement curieux d'éléments empruntés h la perception, et de notions empruntées h l'analyse mathématique, se trouve réaliser un échafaudage qui, logiquement, pourra se substituera l'idée d'espace, au début des déductions géométriques.

Le procédé commun à toutes ces solutions est assez facile à saisir : il consiste à faire rentrer la notion d'espace dans des genres de plus en plus généraux. On redescend ensuite du plus général, auquel on a jugé à propos de s'élever, jusqu'au concept qui sert de base à notre géométrie, par une série de restrictions successives. Cela est fort intéressant, mais enfin croit-on vraiment qu'il nous fallait voir réalisée celle double m irche ascendante et descendante dans les travaux cit-s pour penser qu'elle était possible? Riemann choi>il, pour la différentielle de la distance de deux points, une expression plus générale que celle qui convient à notre géométrie euclidienne: elle ne se réduit à celle-ci que dans un cas particulier. Riemann. Helmhollz, et tous les néogéomètres d'ailleurs, substituent d'abord n dimensions aux :i de notre espace. Mais, en vérité, qui a pensé jamais qu'il y eût là quelque chose d'impossible ? Se trouve-t-on plus édifié par les travaux eux-mêmes, fondés sur de telles généralisations, que par la fantaisie qui eût pu en suggérer l'idée à quelque esprit spéculatif ? Supposez qu'on eût dit à Kant, avant la publication d'aucun des travaux dont il s'agit : « Introduisons n variables, au lieu de 3, dans les équations de la géométrie analytique, les résultats de celle-ci ne se présenteront plus que comme cas particuliers, correspondant à la valeur 3 donnée à h. » N'y eùt-il pas eu dans celle simple idée, ainsi exprimée, tout ce qu'on nous donne comme

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capable d'ébranler la croyance au caractère nécessaire de nos 3 dimensions? Or croit-on sérieusement que la pensée de Kant en eût été troublée et qu'il se fût aussitôt écrié : Si je peux considérer les relations géométriques habituelles comme cas particuliers de relations plus générales dépendant de a dimensions, c'est donc que mon esprit n'est pas obligé de ne donner que 3 dimensions à l'espace ? Supposez encore qu'on eût allire son attention sur ce fait que la notion d'espace n'est pas étrangère à celle de quantité, puisque la géométrie analytique, depuis Descartes, ne fait pas autre chose que de substituer de plus en plus la quantité pure à l'intuition géométrique : n'y eût-il pas eu dans celle remarque, que les connaissances mathématiques de Kant rendaient inutile, de quoi lui suggérer, bien avant Hicmann et Helmholtz, l'idée des rapports logiques par lesquels on peut relier les concepts de quantité et d'espace ï Kant savait bien la possibilité pour la science de ramener l'idée d'espace à celles de nombre et de quantité, et il ne semble pas qu'en lui l'analyste pût infirmer les conclusions du métaphysicien. Du reste, sans faire appel aux connaissances mathématiques du philosophe de Kumigsberg, rappelons seulement un des axiomes qu'il donnait comme nécessaires et à priori : la droite est le plus court chemin d'un point i\ un autre. N'entrct-ilpas dans cette simple proposition, qui contribuait pour lui à définir le concept d'espace, les idées de quantité {h plus court chemin), et de mouvement {chemin, parcouru par un mobile qui se déplacerait d'un point vers l'autre) ? Dira-t-on que cela avait pu échapper à Kant? Mais, bien au contraire, c'est parce qu'il sentait que dans un pareil postulai s'associaient des notions aussi diverses qu'il le disait synthétique.

Ainsi les généralisations logiques, qui, dans les travaux récents, font rentrer le concept de notre espace,

CONSÉQUENCES PI11L0S. DE LA (ÎÉOM. NON KrCLlIUKNMS 1 i7

et plus généralement le concept d'espace, dans des genres de plus en plus larges, ces sortes de rlassiticalions curieuses n'avaient pas besoin des travaux mathématiques eux-mêmes pour être envisagées comme possibles, et le langage de Kant n'est pas incompatible avec elles.

Soit, dira-t-on peut-être, mais ce que les travaux récents ont appris, c'est qu'on peut diversement effectuer ces classifications logiques, c'est qu'ils présentent sous différents aspects, dont aucun ne s'impose de préférence aux autres, le mode de dépendance du concept d'espace à l'égard des notions auxquelles on le rattache. La réponse», d'un idéaliste kantien est toute prêle : Ces groupements ont la même importance logique, en ce sens que l'on fait abstraction de |;i signification concrète des termes et qu'on ne se préoccupe que de l'enchaînement formel des propositions. Ils peuvent bien se substituer les uns aux autres, et aussi aux axiomes fondamentaux de la géométrie, sans rompre le lien logique qui rattache la chaîne des déductions géométriques à ses premiers anneaux, mais ce sont des jeux d'esprit, ils sont artificiels, arbitraires : l T n seul système est nécessaire, c'est celui qui se réduit purement et simplement à renonciation des axiomes de notre géométrie.

Si Ton conteste la légitimité de cette réponse, au nom de la géométrie non euclidienne, y* crains (pie ce ne soit encore parce qu'on ne s'entend pas sur le sens des termes. Les néogéomèlres objecteront qu'ils ne se placent qu'au seul point de vue de la nécessité subjective et qu'il leur suffit que l'esprit puisse édifier diverses constructions logiques aboutissant au concept d'espace, pour avoir le droit de déclarer ce concept subjectivement contingent et, par conséquent, pour rejeter son caractère à priori. C'est ici précisément qu'ils s'écartent

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du sons et du langage de l'idéalisme kantien. La nécessité qu'accorderait un disciple de Kant aux axiomes de la géométrie euclidienne, à l'exclusion de tous les autres systèmes de propositions qu'on veut y substituer, c'est bien aussi une nécessité subjective, c'est une nécessité qui résulte de la nature de notre esprit. Mais c'est une autre signification que les néogéomètres donneront à ce moi subjectif, et il n'est pas besoin d'aller très loin pour la trouver, c'est celle que nous avons précisément adoptée au cours de notre étude, quand nous avons voulu caractériser par ce terme ce qui est construit par l'esprit sans lui être imposé, ce qui est, en quelque mesure au moins, arbitraire, artificiel, fictif, en ce sens que l'esprit, en construisant, a conscience qu'il pourrait procéder autrement. Il est bien évident que dans ce sens la diversité des constructions est la marque môme de leur subjectivité, et que les termes nécessaire et subjectif sont contradictoires. Mais c'est affaire de définitions, et Kant n'adopte pas les mêmes. Déclarer nécessaires et subjectivement nécessaires les axiomes de la géométrie, c'est à ses yeux affirmer que, étant donné notre esprit tel qu'il est nous ne pouvons pas nous écarter dans l'intuition des relations exprimées par ces axiomes. Et, ainsi comprise, la position de l'idéalisme kantien ne nous parait pas être ébranlée par ce simple fait que des constructions logiques en nombre quelconque, oh l'on ne se préoccupe même pas de faire appel à l'intuition, peuvent indifféremment servir de point de départ aux déductions géométriques.

Mais, sur ce terrain véritable, le criticisme de Kant n'est pas sans avoir subi de rudes assauts de la pari des néogéomètres. C'est surtout Helmhollz qui uous semble avoir fait tes efforts les plus sérieux pour le combattre, non pas tant par les travaux auxquels nous