CHAPITRE PREMIER

MATHEMATIQUES ÎM'RES

11 faut distinguer, quand on parle do l'évidence mathématique, deux sens différents dans lesquels on entend ces mots. Il s'agit ou bien de l'intuition immédiate qui nous fait apercevoir la vérité de certaines propositions, ou bien de la rigueur des déductions qu'impliquent les raisonnements mathématiques. En d'autres termes, on a en vue ou bien les axiomes, les vérités premières et fondamentales, — ou bien la longue chaîne de propositions qui semble s'en déduire.

Portons d'abord notre attention sur les axiomes. Des propositions comme celles-ci : Deux droites ne peuvent envelopper une portion d'espace; — par un point, on ne peut mener qu'une seule parallèle ix une droite, — etc., entraînent dans notre esprit une conviction absolue. Les faits qu'elles énoncent nous apparaissent avec une clarté et une certitude que rien ne semble pouvoir dépasser. C'est en somme dans les vérités de ce genre que Descartes plaçait le type de l'évidence la plus manifeste. Et c'est aussi l'universalité et la nécessité que semblent comporter de pareilles propositions qui ont donné lieu à la fameuse question de leur origine. Peu nous importe ici que cette origine soit expérimentale ou apriorique, que, de Kant ou de Mill, l'un ou l'autre ait raison. Un seul point nous intéresse : l'évidence des axiomes vient-elle du caractère contradictoire de leurs négatives ? La nécessité qu'ils comportent est-elle la nécessité logique, celle qui se réclame du

principe de contradiction? En vérité, la réponse ne saurait être douteuse : Les propositions qui servent de point de départ aux démonstrations mathématiques ne peuvent se démontrer, sans quoi le vrai point de départ se trouverait dans les prémisses de leur démonstration? et c'est à ces prémisses qu'appartiendrait la qualité d'axiomes. Elles n'impliquent donc nullement une nécessité logique; leur conclusion ne se trouve pas dans l'analyse du sujet.

Et quoi, dira-t-on avec M. Renouvicr, par exemple, n'est-il pas contradictoire que deux lignes droites enveloppent un espace? — Contradictoire avec quoi? Avec le fait que ce sont des lignes droites? mais en quoi consiste ce fait? Que, suivant l'école critique, mon esprit soit doué du pouvoir de se former luimême û priori l'intuition de la ligne droite, ou que celle intuition ait eu plus ou moins besoin de l'expérience, ce quelle nous montre de la droite est tout ce que nous en savons : la ligne n'existe que par cette image que nous en fait voir une aperception immédiate, commune sans doute h tous les hommes. Si l'impossibilité pour deux droites d'envelopper un espace n'est pas considérée comme l'énoncé pur et simple d'une propriété de cette image, et qu'on en cherche une autre d'où celle-là résulte, on pourra dire, par exemple, que deux droites qui ont deux points communs coïncident, ou qu'une seule droite passe par deux points Mais qui ne voit qu'au fond c'est la même idée, traduite sous une autre forme? Certes on peut établir une différence entre ces propositions, absolument comme on pourrait distinguer ces deux affirmations : une pointe de l'aiguille aimantée est dirigée vers le nord. — - l'autre est dirigée vers le sud. Mais qui songerait à dire que l'une des deux propositions, prise en elle-même, implique une nécessité logique,

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sous prétexte que l'autre pourrait s'énoncer la première?

Eufin, si on disait : deux droites ne peuvent envelopper un espace, parce que cela est contradictoire avec la représentation que nous possédons tous de la ligne droite, on ne ferait pas autre chose, sous apparence de logique, qu'énoncer simplement de celle représentation une propriété révélée par une intuition rapide. Le principe de contradiction n'interviendrait pas plus en réalité que si je croyais devoir déclarer ce papier, blanc, parce que toute autre couleur serait contradictoire a\er la sensation qu'il me donne.

Ainsi, saus prendre parti pour aucune théorie sur l'origine des axiomes, on peut affirmer, nous semblet-il, que l'évidence des propositions premières en mathématiques, si claire et si immédiate qu'elle paraisse, n'est pas celle qui relève du principe de contradiction. Elle est de même nature que celle qui accompagne l'observation, avec cette différence qu'ici l'intuition se substitue à l'expérience pour nous donner ces propositions, dés que nous sommes d'Age à les comprendre.

Ces considérations suffiraient à la rigueur pour qu'il fût permis de contester aux sciences mathématiques leur caractère de nécessité exclusivement logique. Mais le nombre des axiomes qu'elles énoncent à leur début semble très petit, et, si vraiment les mathématiques, jusque dans leurs développements extrêmes, n'étaient plus qu'une chaîne de déductions se rattachant à ces premiers anneaux, nous serions obligés de reconnaître que l'usage du principe de contradiction est pour l'esprit d'une fécondité merveilleuse. Essayons de montrer quelles restrictions il faut apporter à celle manière de voir.

Il y a peu d'expressions dont on use plus dans l'en-

scigncment des mathématiques que de celle de rigueur. Cette démonstration, dira-t-on, manque de rigueur, celle-ci est plus rigoureuse, etc. Les mathématiciens seraient peut-être embarrassés pour définir les conditions d'une démonstration rigoureuse; mais du moins ils peuvent nous renseigner par la répugnance ou la satisfaction très variable que leur cause tel ou tel raisonnement.

Supposons qu'il s'agisse de cette proposition toute simple : Si une droite rencontre un cercle en un point, elle le rencontre généralement en un second. — Essayez de raisonner ainsi : puisque la droite rencontre le cercle en un point, elle pénétre en ce point dans l'intérieur du cercle ; puis, comme elle s'en va à l'infini, il faut bien qu'elle sorte du cercle, et qu'ainsi elle le rencontre une seconde fois. Soyez assuré que votre démonstration sera mal accueillie. Ce n'est pas mathématique, vous dira~t-on ; c'est de l'observation pure et simple, du domaine des sciences expérimentales ; de la géométrie, jamais! — Vous protesterez; les éléments sur lesquels vous raisonnez ne sont nullement empruntés, tels du moins que vous vous les figurez, au monde sensible. Ce rond parfait et au contour infiniment mince, que nous montre une intuition fort claire, n'eslil pas un être idéal, appartenant au monde des formes géométriques? — Sans doute; mais, si claire, si immédiate que soit l'intuition, si vous vous contentez d'énoncer les vérités qu'elle vous donne directement, c'est une constatation que vous faites et non plus une démonstration. — Vous insistez : une démonstration pourraitelle se passer de reposer finalement sur la constatation pure et simple de quelque vérité? Et n'y a-til pas avantage à diminuer, à supprimer, si c'est possible, la distance qui nous sépare de cette vérité initiale? — Certainement oui, mais le malentendu ne tient qu'au

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choix des vérités initiales. La méthode mathématique, vous dira-t-on, exige qu'on en réduise le nombre le plus possible et que toute proposition cesse d'élre considérée comme première si on peut la déduire logiquement d'autres propositions déjà admises. Or le géomètre a déjà accepté comme données irréductibles le point et la droite avec leurs propriétés intuitives. Si cela peut lui suffire pour en tirer toute la géométrie, il ne doit plus rien admettre.

Pour le théorème dont il s'agit, voici la démonstration que nous donnera un professeur de géométrie : abaissons du centre la perpendiculaire OU sur la droite qui, par hypothèse, passe déjà par le point A de la circonférence, et portons sur cette droite à partir de H une longueur HA' égale à HA, et de sens contraire.

OA' sera égal à OA à cause de l'égalité des triangles OHA, OHA'; A' est donc un second point de la droite situé sur la circonférence.

Voilà donc une démonstration parfaite? S'il disait toute sa pensée, notre géomètre répondrait peut-être non. N'importe, c'est plus rigoureux, vous affirmera-l-il. Mais vous, de vous récrier celte fois : qu'est devenu mon cercle? Je vois de tout dans celle démonstration géométrique, excepté le cercle dont il est question, ce rond, qui sépare le plan eu deux régions, Tune intérieure, l'autre extérieure.

— Précisément, toutes ces vues concrètes ont disparu, et se trouvent remplacées par la propriété qui sert de définition à la circonférence, à savoir que ses points sont à une distance constante du centre. La no-

lion de la distance de deux points, si elle n'est pas purement intelligible, et affecte encore un minimum de forme saisissable parla seule intuition, réalise du moins une simplification notable.

— Simplification est un admirable euphémisme! Dites plutôt substitution, escamotage, car enfin il faut s'entendre. Cet être géométrique qui, si abstrait, si idéal qu'on se le figure, reste une forme et participe de la qualité, ne peut ainsi se remplacer par une simple propriété de quantité. Les points de cercle, les points situés à une distance constante d'un point i\xc forment une donnée que je ne peux juger adéquate à celle du cercle. J'ai beau les multiplier, les resserrer, je ne fais nullement apparaître le cercle, à moins que, ayant beaucoup supprimé, on n'ajoute plus encore, et qu'on ne prétende créer le cercle de toutes pièces en douant le pDînt de cercle d'un mouvement continu...

— Mouvement, continuité! Notre géomètre s'en garderait bien ! Non ; il ne connaît et ne veut connaître que le point de cercle situé sur toute direction issue du centre. S'il prononce le mot cercle, c'est une façon de parler qui lui sert à désigner ces points, ou, comme il dit, le lieu de ces points. Si enfin vous avez besoin de vous figurer sous ce mot une forme déterminée, tant pis pour vous : ses raisonnements ont la prétention de s'en passer. Ils gagnent ainsi en rigueur ce qu'ils perdent en représentation sensible.

— Vous voilà cette fois édifié : la forme, la qualité, qui faisaient du cercle un être de l'intuition, semblent bien avoir disparu. Mais alors n'était-il pas juste de dire que le cercle avait disparu lui aussi? Cette propriété qui le remplace, par définition, dans 1rs déductions du géomètre, et par laquelle celui-ci s'éloigne du domaine de 1 imagination et des sens pour pénétrer plus avant dans celui de l'intelligible pur, savons-nous seulement

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dans quel rapport elle est avec l'objet dont elle lient la place? Ne sera-ce pas l'ombre, l'illusion, au lieu de la chose ellc-môme ?

Du moins, est-ce que, pour avoir substitué ainsi des fantômes aux êtres de l'intuition, le mathématicien va se déclarer complètement satisfait ? — Ne le croyez pas. Il a laissé subsister dans son raisonnement les notions de point, de droite, de distance, qui sont instinctivement pour lui une gêne dans sa poursuite de la rigueur idéale. N'y a-l-il pas là encore un ensemble d'éléments donnés dans l'intuition qui échappent à toute analyse, à une claire compréhension, qui l'empêchent par conséquent de se rendre un compte 1 précis de la légitimité de la suite de ses déductions ? Au fond, nous insistons ici plus qu'il n'insisterait lui-même, et ce n'était d'ailleurs pas une consultation de logique que nous lui demandions, c'est à son sens de la rigueur, à son flair de mathématicien que nous nous adressions. Le point essentiel à noter pour nous, c'est, sans en trop chercher la raison, qu'il se refuse à parler de rigueur absolue tant qu'il manie encore le peu d'éléments sensibles qu'il n'a pu éliminer. Et, si vous le pressez enfin, il ne sera pas à court de vous proposer mieux. — Soit : x* -h y*— R*, dira-t-il, l'équation du cercle ; i/ = m.i + p, celle de la droite. En remplaçant t/ par w.r -f- p dans la première, nous formerons l'équation ./••' -f tmx ■+■ pY = R* dont les racines sont les abscisses des points de rencontre des deux lignes. Par hypothèse, l'une des racines est réelle, donc l'autre l'est aussi ; et il y a un second point de rencontre, dès qu'il y en a un premier.

Cette fois, nous voilà bien loin de tout ce qui formait l'objet même de la question. Ce n'est pas seulement le cercle qui disparait, c'est toute ligure, toute droite, tout point. Ces équations, direz-vous, ne servent à la démonstration que parce qu'elles correspondent aux

cléments géométriques, droite et cercle, que parce qu'elles traduisent, en un certain langage, les propriétés de ces lignes ; jr, y, R, ont dû représenter des longueurs pour que les équations fussent justifiées.— Sans doute ces transformations algébriques ont élé suggérées par des problèmes concrets, et, pour les interpréter concrètement, il faut rappeler leur origine, mais qu'importe? En elles-mêmes, isolées de cette interprétation, elles satisfont largement le besoin de rigueur du mathématicien, parce qu'il a le sentiment de pouvoir établir tout ce qui touche à ces transformations par identités successives. Son instinct l'a amené à séparer, aussi nettement que possible, la matière à propos de laquelle quelque chose est à démontrer, et une sorte de cadre, une forme faite de démonstration pure, où peut mieux s'exercer le contrôle du principe de contradiction. La matière, il l'oublie, et, si vous vouliez la lui rappeler absolument, en observant qu'il parle lui-même encore de cercle, de droite et de point, il vous répondrait ceci: Libre à vous de voir sous mes expressions des images concrètes; pour moi, un point, c'est un groupe de deux valeurs attribuées l'une à la lettre x, l'autre à la lettre y ; un cercle, c'est l'ensemble des couples de deux valeurs qui substituées à a: et y, satisfont à telle équation ; une droite, de même. Les points de rencontre de mes lignes, ce sont les couples de valeurs de x et de y convenant simultanément à mes équations ; autrement dit, ce sont les solutions d'un système d'équations simultanées. — À cette condition enfin, notre géomètre sent-il qu'il atteint la rigueur absolue dont il a soif? Il faut reconnaître que le plus souvent, s'il n'y réfléchit pas quelque peu, il se déclarera idéalement satisfait. Et, à la réflexion, s'il aperçoit à la base même de son analyse algébrique quelques notions irréductibles s'imposant synthéliquement, ce sera là si peu

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de chose près des données concrètes qui donnent lieu d'utiliser cette analyse, que sa quiétude n'eu sera pas fortement troublée. Du moins, il aura le sentiment d'avoir atteint les limites extrêmes delà rigueur qui lui eslaccessible, quand il aura épuisé, autant que cela est possible, la malien; objective, concrète, synthétique, des idées qu'il manie dans son langage.

Que conclure maintenant de celle consultation?! nous fier à l'instinct du mathématicien, la condition de la rigueur est nettement saisissable. Il faut que l'intuition s'efface le plus possible, que les éléments sensibles disparaissent, ainsi que toutes les notions qui s'en dégagent pour nous directement. L'esprit sent que ces données lui échappent, <|uïl ne saurait les faire entrer dans un raisonnement où chaque proposition doit être sinon identique, du moins analytique ; et, acceptant décès données un minimum qu'il ne pourrait rejeter sans renoncer à toute science, il s'efforce de diminuer sans cesse le rôle de l'intuition, de voir le moins possible, afin de mieux démontrer.

Mais comment pourra progresser une science dont telle est la prétention? Fondée sur certaines données, quelles quelles soient, elle aura vile, semble-t-il, épuisé les conséquences des axiomes qui les expriment, et bientôt parcouru sa carrière, si elle se refuse désormais h ne rien emprunter au monde de l'expérience ou de l'intuition: tel n'est pas le cas des sciences mathématiques, qui se continuent sans trêve au cours des siècles avec une vigueur et une fécondité toujours croissantes. Qu'est-ce donc qui entretient et prolonge sans cesse leur existence? — A en juger par la seule lecture d'un traité de mathématiques, ce sont visiblement les « définitions ». Avec chaque définition s'introduit dans la suite des déductions un élément nouveau, et il s'y introduit sans la rompre. Cet élément est, en effet, un

concept construit à l'aide d'éléments anciens, déjà admis dans les raisonnements antérieurs, il se trouve constitué de par la volonté et le choix arbitraire de notre esprit, comme une somme de propriétés déterminées devant seulement remplir cette double condition de ne point se contredire, et de se résoudre chacune en notions que pouvait exprimer jusque-là le langage mathématique. Ces propriétés s'énoncent en propositions évidemment analytiques, puisque le sujet y représente, par définition, la synthèse d'éléments qu'énumôre la série des attributs. Rien n'empêche la notion ainsi créée d'entrer dansunesuite de déductions; elle est toute prête à prendre place dans l'engrenage des raisonnements mathématiques.

Certes, quand l'esprit se plaît à créer lui-même les êtres sur lesquels son activité va s'exercer, il ne se livre pas à un simple jeu. Ce n'est pas la fantaisie pure qui lui sert de guide. L'intuition ou l'expérience ont suggéré quelque objet d'étude ; ou bien des vérités sont apparues d'elles-mêmes, dont un instinct plus ou moins exercé fait pressentir l'importance et la fécondité. Au début, ces notions peuvent s'introduire avec leur nature complexe, elles chercheurs n'attendent pas, pour s'y appliquer, qu'un travail d'épuration vienne garantir la continuité parfaite de la chaîne de déductions logiques. Peu leur importe que leurs raisonnements présentent un mélange de propositions analytiques et de postulats. C'est généralement plus tard que, par besoin de rigueur, les postulats deviennent des vérités de définition.

S'agit-il de cette notion : « la longueur d'une circonférence », Pintuition du cercle la fournit d'abord dans sa complexité, et avec son caractère concret ; un postulat permet de la faire entrer dans le domaine des recherches géométriques, à savoir: la longueur du cercle

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est la limite des périmètres des polygones inscrits dont tous les côtés tendent simultanément vers zéro. Enfin, les recherches relatives à cet élément acquièrent leur forme définitive, et se présentent comme la suite toute naturelle des recherches antérieures, sans solution de continuité dans l'enchaînement logique des proposi- . tions, du jour où cette longueur de la circonférence est par définition ce que le postulat primitif demandait qu'elle fût.

C'est évidemment simplifier beaucoup les choses que de réduire ainsi la formation d'un concept à deux moments déterminés. Les phases du travail d'élaboration, s'exerçant sur des données concrètes pour en tirer des notions intelligibles, peuvent être infiniment variées. Qu'il nous suffise ici de dénoncer ce travail, dont le besoin de rigueur impose la nécessité.

Du reste, au lieu d'époques successives auxquelles correspondent des interprétations différentes de la même notion, on peut parler de points de vue distincts, d'où l'envisagent les penseurs, suivant l'idée qu'ils se font des sciences mathématiques. Pour les uns, la forme ne se sépare pas de la matière, la science théorique de la science concrète ou appliquée, ils n'en connaissent qu'une, s'appliquant directement aux objets de l'intuition ou du monde physique. Derrière les définitions, ils ne cessent pas de voir les axiomes ou postulats auxquels elles ont essayé de se substituer. Les autres, au contraire, laissant de côté l'origine des idées, s'attachent à isoler, à séparer des éléments plus ou moins concrets qui lui servent de gangue, une science pure de l'esprit, et c'est elle seule qu'ils veulent voir dans les sciences mathématiques.

Les premiers contesteront à celles-ci leur certitude logique, et, trouvant dans une suite innombrable de postulats l'aliment qui sans cesse vient y exciter l'acti-

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vite de l'esprit, ils ne verront que dans la nature de leur objet une raison de les distinguer des autres sciences. — Les seconds croiront à un domaine intellectuel tout spécial, d'où la synthèse est exclue, où toutes les vérités se résolvent en jugementsanalyliques, cl résultent naturellement et rigoureusement les unes des autres.

A ces deux points de vue distincts se rattachent la plupart des discussions que peut susciter la méthode des sciences mathématiques.

S'agit-il de justifier l'application de ces sciences au monde physique ? D'un coté, la question ne se pose même pas, car les objets mathématiques sont empruntés à la réalité sensible, soit que l'esprit les en tire par sou procédé habituel d'abstraction, soit qu'une intuition directe les lui donne, et, dans le second cas, peu importe la nature de cette intuition. Pour St. Mill qui ne voit pas dans cette intuition un domaine spécial de représentations abstraites, et pour Kant, aux yeux de qui elle nous fait connaître à priori les rapports d'espace et de temps, conditions formelles de toutes représentations sensibles, les conclusions d'une science qui lui emprunte sa matière s'appliqueront d'elles riiêmcs au monde de l'expérience. L'accord s'expliquera d'un côté par la nature expérimentale des mathématiques, de l'autre, par l'impossibilité où se trouve l'expérience d'échapper aux lois de 1'inftiition ix priori.

Au contraire, ceux qui veulent suivre la mathématique pure dans sa tendance projeter toute donnée de l'intuition ou des sens, ceux qui, après avoir accepté un minimum irréductible d'éléments concrets, s!efforcent de construire ensuite sur celle base un échafaudage purement logique où n'entrent que des étrejs intellectuels, pour ainsi dire, que des fantômes d'idées, ceuxlà se trouvent en présence d'un difficile problème, dès

qu'il faut justifier la moindre application physique. Ils ont sacrifié au souci de la rigueur celui du caractère objectif de leurs études. Et n'est-ce pas à eux que s'applique celte remarque de Mill : « Je crois que le caractère de nécessité assigné aux vérités des mathématiques, et même la certitude particulière qu'on leur attribue sont une illusion qui ne se maintient qu'en supposant que ces vérités se rapportent à des objets et à des propriétés d'objets purement imaginaires. » Il n'y aurait illusion, i\ proprement parler, que du moment où cette mathématique croirait être l'expression même de la réalité. Par son caractère éminemment subjectif, elle ne peut franchir les bornes de la théorie pure : A moins qu'on ne demande d'admettre en un postulat unique, si l'on veut, mais d'une générolitéVHrangemcnl audacieuse, une sorte d'harmonie préétablie enlrc les choses et les concepts de l'entendement, entre le réel et l'intelligible.

Est-il question du caractère analytique ou synthétique des jugements mathématiques, la différence des deux points de vue entraîne ici des réponses contraires, les uns n'acceptant que comme postulat ce que les au Ires énoncent par définition.

Enfin, de cette dernière question il faut rapprocher cette autre, si souvent débattue, des mies comparés de l'axiome et de la définition dans les démonstrations mathématiques. Les uns ont prétendu que les axiomes n'y interviennent pas et que les définitions sont leurs éléments essentiels; les autres ont au contraire voulu faire reposer les démonstrations sur les axiomes. Ainsi qu'on l'a fait remarquer (i), une première confusion empêchait qu'on se mit d'accord : les axiomes généraux ou communs, principes de pensée, dans tous les

(1) Cf. Liard, Des Définitions géométriques, et Radier, Logique,

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domaines où s'exerce l'intelligence, n'étaient pas suffisamment distingués des postulats spéciaux à chacune des sciences mathématiques. La question ne pouvait et ne devait être intéressante que pour ces axiomes d'un genre tout particulier, chargés dénoncer, en des propositions aussi simples que possible, les données naturelles qui leur servent de base. Mais en le faisant remarquer, et en essayant de dissiper ainsi tout malentendu, on n'a guère tenu compte d'ordinaire que des axiomes fondamentaux, de ceux qui se trouvent énoncés au début môme de chacune des sciences mathématiques. On semble alors avoir définitivement tranché le débat par cette conclusion : Au début, les démonstrations se fondent sur les axiomes, puis indéfiniment sur les définitions. Tout naturellement sur son chemin on se heurte à une conlestation de la part de ceux qui, refusant d'envisager la mathématique idéale, prétendent ne connaître que les sciences mathématiques appliquées. Ceux-ci démasquent les postulats cachés derrière les définitions des premiers, et concluent que le rôle prépondérant appartient aux axiomes.

Ces deux points de vue distincts, d'où résulte fatalement une divergence si nettement marquée d'opinion, sont-ils l'un et l'autre légitimes ? Aucun des deux ne nous semble avoir le droit d'exclure l'autre d'une façon absolue.

Fixons d'abord les différences. De part et d'autre on accepte que la méthode des sciences mathématiques soit démonstrative, mais on ne s'accorde pas snria façon dont s'introduisent dans l'engrenage des déductions les éléments nouveaux qui servent de point de départ aux développements successifs. D'un côté, c'est par une définition arbitrairement énoncée qu'on les crée, pour ainsi dire, en donnant en même temps la série de leurs propriétés; de l'autre, on énonce la môme série de pro-

priétés, sous forme d'axiomes synthétiques. D'un côté, par conséquent, on se donne l'illusion d'une seule et longue chaîne logique parlant d'un premier anneau, posé une fois pour toutes; de l'autre, on se condamne à briser la chaîne et à la partager en une série illimitée de morceaux. 11 nous semble possible de défendre chacune des deux manières de voir contre h i s partisans trop exclusifs de l'autre.

Stuart Mill prétend d'un côté qu'il est impossible d'échapper à la nécessité des postulats : les définitions n'y parviendraient qu'en apparence. Prenant pour exemple celle du cercle que donne Kurlide, * celle définition, dit-il, analysée, offre deux propositions, dont l'une est relative par hypothèse à un point défait, et l'autre est une définition légitime : il peut exister une figure dont tous les points de la ligne qui la termine sont à une égale distance d'un point intérieur ; toute figure ayant celte propriété est appelée un cercle. »

S'il devait être question, dans les démonstrations du géomètre, d'un cercle matériel emprunté au monde physique, St. Mill aurait cent fois raison : l'existence du cercle ne pourrait s'énoncer que sous la forme d'un postulattellemeiilévidciitft tous les yeux, que nous croyons inutile d'insister. Mais, d'abord, est-il besoin de dire que le géomètre rejettera absolument ce rond en bois ou en métal, par exemple, et refusera d'y w>ir l'être abstrait qu'il veut étudier? Que ce soit ou non l'expérience qui ail fourni, dans de nombreuses circonstances, l'occasion de percevoir des corps dont la forme ait suggéré l'image parfaite et infiniment mince de l'intuition, peu importe : c'est celle-ci d'abord qu'on doit substituer au cercle matériel, si on veut essayer de chasser les postulats. Mais aurait-on le droit de déclarer qu'on y aura réussi, en nommant cette figure « celle dont tous les points sont également éloignés du centre 1 » N'e^t-il

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LA CEHTITL'DE LOGIQUE

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pas évident au contraire que le postulat subsiste pour ne plus viser, il est vrai, qu'une chose de l'intuition? St. Alill n'affirme pas que son cercle a une existence matérielle ; il semble prévoir même le cas, sans le discuter, où le cercle serait fourni par l'intuition. « Si les postulats, dit-il. sont admis par l'intuition ou par preuve, c'est une matière à disputer, mais de toutes manières ils sont les prémisses des théorèmes. » Réduit à être une forme que notre imagination nous représente sans peine, si cet être d'intuition s'offre à nous comme un objet d'étude et que nous énoncions, comme proposition fondamentale, que tous les points sont également distants d'un point intérieur, nous formulons un postulat. C'est là une propriété qu'on pourra prétendre trouver dans l'examen analytique de l'image en question, tout comme on découvre, par une étude attentive, les propriétés chimiques d'un corps ; mais on ne saurait affirmer sans postulat que cette image coïncide avec une chose que caractériserait la propriété énoncée. Ainsi, il ne suffit pas, pour supprimer la nécessité d'un postulat, de substituer l'intuition à l'expérience externe.

Un pas de plus atténue la difficulté, c'est celui que l'on fait en définissant le cercle, non plus le rond abstrait dont la forme se dégage pour nous des ronds matériels qu'offre l'expérience, mais la ligne engendrée par une extrémité d'une droite de longueur constante, dont l'antre extrémité reste fixe, et qui tourne d'un mouvement uniforme autour de ce dernier point. Celte fois le postulat est-il supprimé ? Au fond, pour supprimer le postulat particulier du cercle, celle définition en implique d'autres, très généraux, il est vrai, mais terriblement complexes, celui-ci, par exemple : « Le mouvement d'un point peut engendrer une ligne continue. » Sans parler de la vérité d'une telle proposition, ne voit-

on pas que sa signification elle-même est des plus difficiles à entendre ?

Les notions de ligne et de continuité nesDnt pas nouvelles, dira-t-on, quand on aborde l'élude de la circonférence. N'a-t-on pas avant tout introduit la droite en géométrie, et la notion de la droite ne contient-elle pas déjà celle de ligne et relie de continuité ? Cela est indiscutable, mais il n'est pas moins certain que la définition du cercle par génération continue revient alors à la suivante : le cercle sera la figure obtenue par le déplacement d'un point assujetti à rester à une distance fixe d'un point déterminé, dans des conditions telles que quelque chose soit engendré, ayant eu commun avec la droite cette propriété d'être une ligne continue. Il est difficile de ne pas avouer qu'on admet alors la possibilité d'une génération semblable, et Sluart 5Iill ne demanderait peut-être rien de plus.

Enfin, on pourrait dire : le postulat qui énoncera la possibilité de la génération des figures par le mouvement d'un point n'a qu'à s'ajouter, dès le début, à la liste des premiers axiomes, et nous en voilà débarrassés désormais. C'est une erreur : ce postulat se contentera d'affirmer, sans rien expliquer: nous ne saurons jamais comprendre en quoi consiste celte création de figures, et, chaque fois que nous voudrons la supposer réalisée dans un cas particulier, nous devrons admettre que les conditions spéciales auxquelles est assujetti le point mobile, ne rendent pas impossible l'existence simultanée des autres conditions mystérieuses delà génération continue. Il n'y aura certainement aucune difficulté à le faire, mais l'essentiel est de savoir qu'on admettra quelque chose.

Non : pour se permettre de supprimer le postulat, il faut faire un pas de plus et renoncer à créer une ligne continue, de sorte que la question de son existence,

LA CERÏTITDE LOGIQUE

même intuitive, n'ait plus à se poser. Que la circonférence, cessant de correspondre A l'image intuitive, de vienne pour le géomètre un ensemble de points, un système de points, un lieu de points, assujettis à rester à une dislance déterminée d'un point fixe, — les mots ensemble, système, lien, impliquant une seule idée, à savoir que les points dont il s'agit ont une propriété commune, — que pourra- t-il y avoir d'impossible, non plus dans l'existence du cercle, mais dans la construction d'un point quelconque du cercle? Sur une direction quelconque issue d'un point fixe, je marque un second point à une distance donnée du premier; j'en obtiens ainsi autant que j'en veux. Ce sont là des constructions dont la possibilité résulte des notions déjà posées de droite, de point, de distance. C'est une vue nouvelle, une synthèse spéciale d'éléments déjà acquis, et non pas un être nouveau, que l'esprit se plaît à introduire à la suite des premières propositions sur la droite et le point. Il semble que quelque chose soit survenu seulement dans la forme et non dans la matière de la géométrie théorique. Un postulat nouveau paraît donc inutile. La possibilité d'existence pour la notion qui vient de se former, c'est uniquement l'absence de contradiction. Or les éléments que l'esprit groupe à son gré sont déjà posés en petit nombre, soit par des axiomes, soit par des définitions, l'absence de contradiction ne semble pas devoir s'exprimer en un postulat spécial.

Certes, à rigoureusement parler, quelque hésitation pourrait provenir de la nature inconnue, incomplètement analysée, des premiers éléments que l'on groupe à son gré. Un postulat n'est-il pas nécessaire pour assurer la compatibilité du groupement nouveau des éléments avec In part d'inconnu qu'implique leur notion? Sans doute, mais le géomètre rationaliste peut diminuer encore la difficulté en déclarant que la notion

MATHEMATIQUES PURES ♦)

utilisée se réduit pour lui, par définition, à l'ensemble des propriétés par lesquelles il a eu l'occasion de la faire intervenir : Ce ne sera pas une chose dont il aura entrevu certaines propriétés, et qui en comprend d'autres à découvrir, c'est un être qui n'a de sens que par les propriétés énoncées à son occasion. Que par un point donné quelconque passent autant de droites qu'on voudra, que sur une direction, à partir d'un point, il existe toujours un second point situé à une distance donnée du premier, ce seront des faits compris dans la définition des points, droites et dislances. — Enfin, il est certain que le besoin du postulat se ferait moins sentir si, à l'exemple du géomètre, dont nous avons exposé les idées au début de ce chapitre, nous laissions définitivement de côté toute donnée géométrique pour nous transporter dans l'analyse pure.

Mais, sans sortir de la géométrie proprement dite, il nous semble que, réduit au lieu des points situés à une distance constante d'un point donné, — - les idées de mouvement, de continuité et de ligne étant exclues, — le cercle se trouve suffisamment dépouillé des qualités concrètes de son image intuitive, pour que StuarlMill lui-même ne postulât plus la réalité de l'existence, et pour qu'il n'eût cette fois qu'un seul reproche à adresser à la définition, à savoir, non plus de dissimuler un postulat, mais de supprimer toute chose réelle au sens où il entendrait ce mot. Et sur ce point il n'y aurait qu'à lui donner raison. Mais la question n'est pas de savoir si la science théorique ainsi constituée, avec un minimum si ténu de données concrètes, eut pu lui plaire ou s'il l'eût traitée de chimère, il s'agit seulement d'établir contre lui la possibilité de cette science.

De leur côté, les philosophes conceptualisles sont trop exclusifs quand ils contestent le droit de dénoncer les postulats que cachent souvent les définitions.

LA CKIITITimK LOGIQUE

Souvent en effet iiiio définition nouvelle est construite avec le souci d'affubler l'être fictif des propriétés caractéristiques de l'objet concret (i), et, de la sorte, rien n'est changé dans la marche de la science, parce qu'au postulat qui énonçait ces propriétés on aura substitué la définition qui les pose. Cela est si vrai, que, lorsqu'il s'agit des axiomes primitifs, ou n'a aucune peine à le reconnaître : « La géométrie débute, dit M. Liard, par l'intuition des figures et de leurs propriétés élémentaires ; l'aperceplion de ces propriétés, voilà la source des raisonnements géométriques. Mais nous pouvons exprimer ces propriétés par des axiomes ou des définitions, sans introduire aucune différence dans la nature de nos démonstrations... II semblerait alors possible de ramener tous les axiomes à des définitions, puisque axiome et définition énoncent des propriétés intuitivement connues. On peut le faire; mais ce serait compliquer outre mesure et sans profit réel le système des définirions. •>

Ainsi, à propos des axiomes du début on n'ajouterait pas une importance extrême à l'échange de ces deux choses, postulat et définition. Pourquoi. donc se borner à un groupe spécial d'axiomes? Quand on appellera longueur de la circonférence la limite des périmètres des polygones inscrits, et qu ainsi on dissimulera ce postulat intuitif : la longueur de la circonférence est la limite des polygones inscrits, en quoi cette façon de procéder s'écartcra-t-cllc de celle qu'on admet au début s de la géométrie? Puisqu'ici on parlait de définition

(!) Il n'eu est pas toujours ainsi : l'artivité de l'esprit peut créer des notions où il n'y a lieu de chercher l'expression directe d'aucun objet concret réel ou même possible. Mais alors il f.iut indiquer un certaiu mode de correspondance entre cette nul ion et les choses, et, pour cela, énoncer des propositions qui pourront être engagées comme de véritables postulats.

MATllfeMATÎOlîES TIRES

substituée à l'axiome, pourquoi là ne voudra-t-on plus voir que la définition?

Bien plus, si cette sorte d'équivalence îles axiomes et des délimitons peut manquer de clarté, ce n est qu a propos des premiers axiomes. Une définition s exprime in effet, nous lavons dit, à laide d'éléments unimeumll(îllt l)() sés. Au cours du développement des sciences malbémaliqiies, rien n'est plus facile a coinprendre, mais au début même de ces sciences, il faut bien apporter en des propositions synthétiques des éléments premiers qu'on ne définit pas. Sans doute, on peut essaver de donner, comme définition de ces éléments/ l'ensemble des propositions premières, en convenant de supprimer le sens intuitif des mots, et d'énoncer des définitions verbales. Klles seraient en tout cas d'un genre nouveau, servant à définir simultanément le sujet et l'attribut. Il vaut mieux avouer nue la substitution des définitions aux postulats ne doit pas aller jusqu'aux points de départ eux-mêmes des sciences mathématiques. Mais du moins si cette difficulté n'cmpôche pas d'en entrevoir la possibilité des e début, à plus forte raison doit-on l'admettre dans la suite des développements.

Ainsi, à nos yeux, les deux points de vue qu on pourrait appeler conceplualiste et réaliste sont 1 un et Vautre justifiés dans certaines limites. Les philosophes qui ont préféré l'un, dans leur manière d'eimsager les mathématiques, ont eu le tort d'exclure l'autre. > ont-ils pas d'ailleurs chacun sa raison d'être? Nous rejetons volontiers la répartition adoptée d'ordinaire des sciences mathématiques en sciences pures cl appliquées : celte distinction se retrouvera, non plus entre deux catégories de sciences, mais entre les deux cotés, les deux faces de toute science mathématique. D une part, elle a pour matière une suite d'objets empruntes

à riiitiiilion ou à l'expérience; c'est une brandie <le la science générale dont le but est la connaissance d'un domaine particulier. De l'autre, c'est une méthode spéciale, une voie déterminée par laquelle l'esprit procède dans la recherche de la vérité. Par son premier caractère, elle reste ouverte sans cesse à des données nouvelles qui viennent faciliter ses progrès et accroître sa fécondité. Par son second, elle soumet ces données, avant de les accueillir, à une élaboration spéciale, elle exige de pouvoir les construire elle-même à l'aide de ses propres ressources, de pouvoir les définir.

Et maintenant, si Ton cite les mathématiques comme l'exemple d'un prodigieux accroissement de connaissances sortant en apparence les unes des autres, sous la garantie du principe de contradiction, nous sommes en droit de répondre : De quelles connaissances s'agitil? S'il est question des vérités énoncées dans cette mathématique rationnelle idéale qui plane au-dessus des sciences mathématiques proprement dites, essayant de les recouvrir le plus complètement possible de sa traîne ininterrompue, il est certain que plus elle y réussit, plus aussi s'accentue le caractère fictif des notions qu'elle étudie. Tout se démontre, soit : rien alors, en dehors des conceptions de l'esprit, ne se trouve établi. Que s'il s'agit des progrès réalisés dans la connaissance d'une Inaltéré, fournie, suivant les uns par une intuition directe, tirée, suivant les autres, des données des sens par une abstraction de l'esprit, il ne faut plus alors parler de certitude logique Jti de celte rigueur qui prétend ne relever que du principe de contradiction.

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