CONDITIONS DE LA CERTITUDE LOGIQUE EN MATHÉMATIQUES

Nous avons essayé d'établir qu'en dehors du domaine de l'observation nous sommes incapables d'affirmer, au no m- du principe de contradiction, une vérité dont l'objet ne soit pas limitation de notre esprit. Or il est un ordre d'idées spécial, jouant un rrtle déplus en plus important dans la science générale,ou chaque proposition nouvelle s'énonce et se démontre, semblc-t-il, uniquement sous le contrôle du principe de contradiction. Les mathématiques, dont nous voulons parler, viennentelles par leur seule existence et par leurs progrès constants dénoncer l'erreur de notre thèse ? — Car si, d'une part, elles ne procèdent que par déductions logiques, condition nécessaire à cet idéal de rigueur qui semble caractériser leurs démonstrations, et. si, d'autre part, elles pénètrent chaque jour plus avant dans tous les domaines de la connaissance, au point que le rêve de Descartes semble proche de se réaliser, et la science en voie de devenir une mathématique universelle,

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comment croire qu'en dehors du domaine de l'observation et de l'expérience l'esprit soit incapable de parvenir à quelque vérité d'une certitude rationnelle ?

Nous allons tâcher de montrer que la rigueur absolue dont les sciences mathématiques nous donnent l'impression appartient à une mathématique idéale dont elles participent plus ou moins, ù une sorte de logique pure, qui se trouve au fond de tous leurs raisonnements, tout en étant distincte de ce qui fait leur objet. Ce <iui la caractérise avant tout, c'est de n'admettre, dans le champ où elle s'exerce, que des créations de l'esprit; de sorte que, pour s'en rapprocher, les mathématiques perdent en objectivité ce qu'elles gagnent en rigueur; qu'il leur faut renoncer à cette prétention d'accroître notre connaissance du réel par une série de démonstrations purement logiques, et qu'alors leur exemple, loin d'affaiblir notre thèse, lui apporte, au contraire, une éclatante confirmation.

Nous envisagerons d'abord ce qu'on est convenu d'appeler les mathématiques pures, et, cherchant les conditions de leur rigueur logique, nous les verrons se présenter sous un double aspect, fictif ou concret, suivant qu'elles veulent être plus ou moins rigoureuses. — portant ensuite notre attention sur les applications des mathématiques au monde physique, nous reconnaîtrons qu'elles ne sortent pas, dans leurs démonstrations, du domaine de la fiction, et que, vis-ft-vis du réel, elles ne cessent jamais de jouer le rôle d'une langue bien faite.

MATHÉMATIQUES PURES