CHAPITRE III

Les mathématiques, quand elles sortent du domaine restreint de l'analyse et de la géométrie, ne changent pas leur méthode. Mais alors l'emprunt fait au monde de r expérience, qui sert de préface à chaque application, est clairement visible. La préoccupation de rattacher toute branche nouvelle au tronc primitif, de résoudre les données spéciales de chaque cas en éléments pouvant se définir à l'aide des notions abstraites déjà acquises est parfois peu apparente. La mathématique peut sembler perdre son originalité propre et manier dans ses équations ou ses formules autre chose que la quantité pure. Il importe donc d'insister sur ce point, que, là où elle pénètre, elle reste fidèle à sa méthode première.

Pour choisir un exemple se prêtant plus particulière ment à l'expression de notre pensée, portons notreattention sur la science du mouvement,

Tous les traités énoncent au début de la dynamique trois principes fondamentaux. D'abord la loi d'inertie: un corps persiste indéfiniment dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, si aucune force ne vient agir sur lui.

En second lieu, le principe de l'égalité entre l'action et la réaction : Si un point matériel A est soumis à une force émanant d'un second point B, réciproquement du point A émane une force égale et de sens contraire agissant sur B.

Enfin, le principe des mouvements relatifs : Lorsqu'un système de points est animé d'un mouvement de translation, une force venant à agir sur l'un des points du système lui imprime un mouvement indépendant du mouvement de translation.

Quelle est la nature de ces principes? Faut-il y voir des vérités intuitives qui puissent frapper par leur évidence tout être qui pense? Nous ne supposons pas que personne ait songé sérieusement à le soutenir, et, en tout cas, il nous suffira, pour dissiper tous les doutes, de constater la tardive apparition de ces principes dans l'histoire des idées Sans dire exactement qui le premier a énoncé chacun d eux (ce qui ne semble facile que pour le second, dû à Newton), il est permis d'affirmer qu'ils ne sont pas antérieurs à Galilée. Loin donc qu'ils constituent des vérités que notre entendement doive saisir d'un coup, ils ont exigé, pour apparaître, qu'après de longs siècles de méditation la pensée humaine eût atteint un degré suffisant de inatu ri té.

Tout au moins depuis que le génie de Galilée, de Kepler, de Huyghens, de Newton a inscrit ces principes au seuil d'une science qui progresse tous les jours, comment leur certitude s'impose-t-elle à notre esprit?

Sommes-nous capables de les démontrer par La seule force du raisonnement? À lire certaines méditations sur ce sujet, on croirait vraiment que cette illusion a pu quelquefois se produire.

« Soit un corps seul et en repos, dit Euler, on demande s'il demeurera en repos ou s'il commencera à se mouvoir. Comme il n'y a aucune raison qui le porte à se mouvoir d'un côté plutôt que d'un autre, on conclut

qu'il demeurera toujours en repos Donc, quand

nous voyons qu'un corps qui a été en repos commence à se mouvoir, nous pouvons être assurés que ce mouvement a été causé par une force externe capable de le mettre en mouvement, et que ce corps, s'il était seul et sans communication avec d'autres corps, serait toujours resté en repos (1). » — Voilà pour la première partie de la loi d'inertie, celle qui concerne la conservation du repos. Quant à la deuxième partie, celle qui vise la conservation de la direction et de la vitesse : « Examinons, dit Euler, si par la voie du raisonnement nous pouvons parvenir à la décision de cette question (2). » Et de fait, après avoir donné quelques définitions indispensables pour la clarté, il prétend bien résoudre la question par le raisonnement que voici : « On ne saurait concevoir pourquoi le corps se détournerait de sa route d'un côté plutôt que d'un autre ; donc, puisque rien n'arrive sans raison, il s'ensuit que le corps en question conservera toujours la même direction De la môme manière, on soutient aussi que la

vitesse du corps dont je parle ne saurait changer, parce qu'il faudrait qu'elle augmentât ou qu'elle diminuât, mais il n'y aurait aucune raison qui pourrait produire un tel changement, d'où l'on conclut que ce corps con-

(1) Euler, Lettres à line princesse d' Allemagne , 2e partie, lettre III.

(2) Euler, Lettre IV.

tinuera toujours à se mouvoir avec la môme vitesse et suivant la même direction. »

L'insuffisance de cette prétendue démonstration est trop frappante pour qu'il soit nécessaire de beaucoup

insister. « Il n'y a pas de raison pour que » ne

signifie en réalité que ceci : « Nous ne voyons pas de

raison pour que » Ce n'est même pas ici l'inconce-

vabilité de la négative qui déterminerait l'assentiment, c'est la simple difficulté de la démontrer, ou d'en donner une raison.

Mais alors, si la démonstration à priori de nos principes implique une illusion, à quelle source puisent-ils le caractère de certitude que nous leur accordons? La plupart des savants et des philosophes qui ont eu à se prononcer sur ce point ont affirmé que ce sont des vérités d'expérience. A propos de la loi d'inertie, Aug. Comte, par exemple, a écrit : « Elle ne saurait avoir de réalité qu'autant qu'on la conçoit comme basée sur l'observation. Mais, sous ce point de vue, Vexaetitude en est évidente, d'après les faits les plus communs, etc. (1) »

Il serait difficile de contester l'origine expérimentale des lois sur lesquelles repose la mécanique. Il est trop clair, et l'histoire le prouve suffisamment, qu'elles ont attendu, pour naître, le triomphe définitif de la méthode expérimentale. Si elles n'ont pas été tout d'abord énoncées avec une clarté parfaite, elles ont jailli spontanément, pour ainsi dire, des travaux de Galilée sur la chute des corps. Mais, en acceptant que l'observation les ait suggérées, nous n'admettons nullement qu'elle soit capable de les démontrer, et nous ne comprenons même pas comment cela serait possible. Il entre, en effet, dans les énoncés de ces lois, des notions dont la

(1) Cours de philosophie positive, XVe leçon.

réalité concrète échappe à toute observation. Sauronsnous jamais, en présence d'un point matériel au repos ou en mouvement, à quelles forces il est ou n'est pas soumis?

Auguste Comte nous semble mille fois plus clair quand il dit : « Tous les faits nous prouvent que, si le mouvement primitivement imprimé se ralentit toujours graduellement et finit par s'éteindre entièrement, cela provient des résistances que les corps rencontrent sans cesse, et sans lesquelles l'expérience nous porte à penser que la vitesse demeurerait indéfiniment constante, puisque nous voyons augmenter sensiblement la durée de ce mouvement à mesure que nous diminuons l'intensité de ces obstacles. »

Cette façon de parler : « nous porte à penser », implique le sentiment assez vif de l'impuissance à tirer de l'expérience une démonstration directe, et nous croyons inutile d'y insister davantage.

Que sont donc enfin ces principes de la dynamique? Ils sont cette expression spéciale d'idées suggérées par l'expérience, qui tient le milieu entre le sensible et l'intelligible, qui d'une part emprunte assez à l'observation directe des phénomènes pour faire pressentir la fécondité du principe, et d'autre part renferme assez d'éléments idéaux pour permettre à la mathématique pure de fonder sur eux, sans rien perdre de sa rigueur, un chapitre nouveau. Postulats de l'expérience, vis-àvis de cette mathématique à laquelle ils ont ménagé l'accès, ils vont être, disons le mot, de simples définitions.

Une fois posées les définitions de la vitesse et de l'accélération par des considérations purement géométriques, n'était la signification spéciale du paramètre t, le temps, quantité dont nous parlerons tout à l'heure, la loi de l'inertie énonce les conditions où on dira qu'un point matériel est soumis à une force.

Par définition, une force agira toutes les fois que le mouvement d'un point ne sera pas rectiligne et uniforme, c'est-à-dire toutes les fois que la direction ou la valeur de la vitesse varieront.

Le cas du mouvement rectiligne uniformément varie se trouve, en vertu des conventions déjà faites, correspondre à une force constante. La démonstration tirée de la loi des mouvements relatifs y ramène par un chemin si court, qu'on pourrait, sans changer grand'cliose à la suite des idées, énoncer ici une définition au lieu d'un théorème. Bref, la mécanique va procéder comme si on avait posé dès le début qu'un point, animé d'un mouvement uniformément varié, sera dit soumis à une force constante et proportionnelle à la vitesse imprimée après l'unité de temps. Le rapport constant de l'intensité de la force à cette vitesse, qui se trouve être ici l'accélération, est ce qu'on appelle la masse du point matériel.

Quand le mouvement d'un point est rectiligne, mais non plus uniformément varié, on dit qu'il est soumis aune force variable, dirigée clans le sens du mouvement, et égale à chaque instant à la force qui communiquerait à ce point de masse déterminée l'accélération correspondant a cet instant; en d'autres termes, si Ton tient compte de la définition de la masse, cela revient à définir l'intensité de la force : le produit de la masse par l'accélération. Enfin, dans le cas du mouvement curviligne, on arrive à cette double notion de l'intensité de la force (à savoir, le produit de la masse par l'accélération) et de sa direction (à savoir, celle de l'accélération), et cette double notion peut être envisagée comme contenant alors la définition de la force qui, dans le mouvement le plus général, agit à chaque instant sur le point matériel.

Nous sommes loin, on le voit, de l'idée métaphysique de la force, envisagée comme cause du mouve-

ment. Il est tout naturel que la science positive rejette au même titre que les autres ce noumène spécial et qu'ici, comme dans toutes les occasions où le principe de causalité semble jouer un rôle, elle exclue toute considération métaphysique. Et, en vérité, ce but est si complètement atteint, qu'un traité de mécanique, suivant la judicieuse remarque de M. Calinon, se comprend aussi bien dans les deux hypothèses où la force est cause du mouvement et où elle en est, au contraire, la conséquence (1). « La force, dit encore M. Calinon est, comme la vitesse et l'accélération, une circonstance du mouvement; il y a entre la force et le mouvement, non pas relation de cause à effet, mais dépendance, comme, par exemple, entre le rayon d'un cercle et sa surface. » On ne saurait mieux dire ; mais ce qui nous intéresse particulièrement et sur quoi nous voulons attirer l'attention, c'est le caractère mathématique de cette circonstance qui se nomme la force. Non seulement elle a perdu toute signification métaphysique, mais encore elle porte à un très haut degré la marque d'une création de l'esprit. Suggéré par l'observation des mouvements, cet élément n'en est pas moins défini par le mathématicien en direction et en quantité de telle manière que la notion en soit désormais adéquate à cette définition. Comme la vitesse, comme l'accélération, à propos des phénomènes de mouvement, comme la longueur de la circonférence en géométrie, à propos de la circonférence, l'idée de force, dès qu'elle pénètre1 dans le domaine propre du principe de contradiction, devient un concept délimité par l'esprit qui en dicte lui-même le contenu.

Mais nous n'avons rien dit jusqu'ici d'un élément dont dépendent les lois fondamentales de la méca-

(1) Revue philosophique, mars 1887.

ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SCIENCE GÉNÉRALE 9o

nique, et par suite dont dépend aussi la notion de la force. Le « temps » entre dans les définitions de la vitesse et de l'accélération. A. la vérité, il n'est pas nécessaire de donner un sens concret à la quantité désignée par t clans les équations de la dynamique pour qu'elles aient en elles-mêmes une signification. Il suffit seulement d'y voir une variable continue susceptible de prendre toutes les valeurs réelles positives et négatives. Mais ces équations ne devant s'écrire qu'à l'occasion de phénomènes concrets de mouvements observés, il faut bien indiquer le moyen de mesurer cette quantité variable. D'un autre point de vue, on peut dire que, si les lois fondamentales ont été suggérées par l'observation, il a bien fallu dans les phénomènes observés connaître chaque fois les valeurs de t. Le temps est, comme la force, une circonstance du mouvement, mais c'est celle qui, s'ajoutant aux circonstances purement géométriques, permet à la mécanique de sortir de la géométrie pure, et à la cinématique de naître et de s'appliquer. Il lui faut nécessairement une définition concrète. L'idée toute naturelle de mesurer le temps d'après un mouvement périodique facilement observable, dont les phases successives représentent par convention des temps égaux, est certainement fort ancienne, et le mouvement diurne s'est sans doute offert de lui-même aux premiers penseurs qu'a préoccupés cette question. Une nouvelle convention, à savoir que les oscillations du pendule ont des durées égales, a conduit à l'horloge à secondes, c'est-à-dire au pendule qui donne un nombre déterminé d'oscillations pendant une rotation terrestre. Et c'est finalement un certain nombre de battements de ce pendule qui représente, dans toute observation, la valeur du temps. Il importe de voir ici clairement la part de la fiction. Dirat-on que la rotation terrestre est certainement uniforme*

LA CERTITUDE LOGIQUË

ou que la terre tourne du même angle en des temps égaux? Dira-on ensuite que les oscillations du pendule ont certainement môme durée ? Comment pourrait-on établir de semblables propositions, quel sens seulement pourrait-on leur donner avant d'avoir défini des durées égales ? Selon quelques auteurs, il faut entendre par là des intervalles de temps dans lesquels se produisent, à des époques différentes, des phénomènes identiques. Mais que signifient ces mots « phénomènes identiques » ? Si l'identité doit porter sur toutes les circonstances du phénomène, l'idée est une chimère incompréhensible. Si elle doit se limiter à quelques circonstances déterminées, il faut dire lesquelles, et la fiction réapparaît alors tout entière. — On ne songerait jamais à invoquer un sens de la durée qui nous ferait apprécier une certaine égalité impossible pourtant à définir. Il faut bien se résoudre alors à voir, dans l'égalité des durées et dans la mesure du temps fondée sur la périodicité de certains mouvements, une part de convention.

Si maintenant nous revenons à la notion mécanique de la force, dont nous avons reconnu déjà le caractère fictif quand nous laissions encore de côté la signification de la quantité t, nous sentirons sans peine combien s'augmente la fiction, lorsque l'élément nouveau, que nous avons associé à d'autres pour former le concept, implique lui-même une certainê part d'arbitraire.

Qu'en présence d'un mouvement matériel offert par l'expérience nous énoncions une relation quelconque entre les concepts de temps, de vitesse, d'accélération, de masse, de force, qu'exprimerons-nous au fond sinon une vue spéciale de l'esprit, quelque chose de purement intelligible, non pas même impliqué clans le phénomène observé, ce qui n'aurait aucun sens, mais seulement

pensé par nous à l'occasion de ce phénomène ? Ce sera, si l'on veut, une façon de penser et déparier correspondant à la chose observée ; disons le mot, ce sera un langage spécial, créé par l'esprit pour la désigner. Si les phénomènes de mouvement se prêtent désormais à la méthode mathématique et à des raisonnements rigoureux, c'est qu'ils pourront se traduire dans une langue parfaite.

Une question se pose alors. Fictive ou non au début, suggérée d'abord par des conceptions plus ou moins naturelles, mais en tout cas hypothétiques, cette langue ne va-t-elle pas nous conduire à des lois dont la vérification expérimentale, en prouvant leur portée objective, établira en même temps la valeur réelle des conventions premières ? C'est poser en question, à propos de la mathématique appliquée, l'impuissance du principe de contradiclion à nous faire sortir de l'intelligible pur.

Pour répondre plus clairement et prendre un exemple bien connu, rappelons la genèse de la loi de l'attraction universelle.

Les observa tions de Tycho-Brahé sur les mouvements des planètes permettent à Kepler d'énoncer les lois suivantes : 1° les planètes se meuvent clans des courbes planes, et leurs rayons vecteurs décrivent des aires proportionnelles aux temps ; 2° les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer ; 3° les cubes des grands axes de ces ellipses sont entre eux comme les carrés des temps employés aies décrire.

Ces lois expriment, entre des faits géométriques et des faits de durée, des relations qui, se trouvant correspondre à un certain nombre de phénomènes observés, sont données par induction comme devant correspondre à toute une espèce de phénomènes. Le mode de correspondance est lui-même défini d'une façon précise. A propos de telle planète, on sait comment mesu-

G. MlLHAUD.

rer tous les éléments qui entrent dans ces relations. Il est donc aisé de comprendre comment, d'une part, les observations particulières ont pu se traduire en ce langage, et. d'autre part, comment désormais des données intelligibles, fournies par la loi dans un cas particulier, on passera au phénomène correspondant. Que les lois de Kepler nous permettent donc de fixer, à une époque quelconque, la position d'une planète dans le ciel, et que l'observation confirme la prévision : dira-t-on qne les lois elles-mêmes se trouvent objectivement vérifiées? que l'on doit attribuer désormais aux éléments géométriques envisagés une existence concrète, et que la durée quantité cesse d'être une fiction? Nullement. Ce qui est vérifié par l'observation, c'est d'abord, à l'égard des phénomènes, une induction ordinaire : un phénomène nouveau est à rapprocher d'autres déjà observés ; et ensuite, c'est l'accord de la pensée avec elle-même, c'est la rigueur du langage qui, dans l'interprétation, a su rester conséquent avec lui-même. Mais quant au caractère de nécessité de ce langage, dont on voudrait trouver la preuve dans la vérification expérimentale des lois, il faut y renoncer. Qu'un seul des éléments fictifs qui le composent soit changé ; que, par exemple, la durée ne se calcule plus de la même manière, qu'en d'autres termes on choisisse, pour définir et compter des temps égaux, les phases d'un autre mouvement que la rotation terrestre, et voilà la première et la troisième loi complètement changées (1). Les phénomènes célestes qui reliaient entre eux les anciennes lois seront reliés par les nouvelles. L'avenir sera prévu tout aussi bien, les vérifications expérimentales ne feront pas défaut. Elles continueront à justifier une induction naturelle et à prouver que nous ma-

(1) Voir Calinon, Revue philosophique, 1887.

nions pour notre usage une langue qui ne se contredit pas.

— Newton vient après Kepler et dit : « Les planètes ne se meuvent pas en ligne droite, donc une force agit sur elles, dont il y a lieu de chercher la direction et l'intensité. » Traduisons : Il nous plaît, à propos du mouvement des planètes, de considérer, en outre des éléments géométriques et de durée, cette quantité dirigée que définit la mécanique et qu'elle appelle une force. En vertu de sa définition même, cette quantité est ici différente de zéro, et elle a une direction et une intensité variables.

Par une démonstration purement mathématique où n'entrent que des éléments géométriques, et où le temps lui-même n'est autre chose qu'une variable continue t, sans signification concrète, dont dépendent la vitesse, l'accélération, la position du point matériel sur sa trajectoire, on établit le théorème suivant : Si la trajectoire d'un mobile est plane, et si les aires décrites par le rayon qui joint le mobile à un point fixe sont proportionnelles à t, la direction sur laquelle il faut porter l'accélération, et par suite la force, est, pour toute valeur de t, celle qui va du mobile au point fixe. Or la première loi de Kepler exprime précisément que les hypothèses de ce théorème sont réalisées pour le mouvement des planètes, si on prend pour t le nombre des oscillations du pendule à secondes. A cette condition on pourra clone énoncer cette proposition nouvelle : La force qui agit sur les planètes est dirigée vers le Soleil, ou, comme on dit, les planètes sont soumises à une force attractive. La notion de force étant ainsi surajoutée à celles qui entraient déjà clans les lois de Kepler, il en résulte une modification du langage. Ce qui s'exprimait d'une certaine façon, à l'aide des premières notions, s'exprimera autrement en fonction ed

termes nouveaux. Et on sera autorisé à remplacer une partie au moins des lois primitives par cette loi de la force.

Il serait puéril d'insister sur l'absence complète de signification métaphysique de la loi nouvelle. Mais il y a plus, et ce que nous cherchons à rendre manifeste, c'est l'absence de toute signification absol ue relative aux phénomènes. Elle ne dit rien de plus au fond que les lois de Kepler, lesquelles avaient simplement présenté sous un jour spécial à l'esprit, dans un langage fait par lui et pour lui, le contenu des observations de Tycho-Brahé. Si nous disons : les planètes sont attirées par le Soleil, nous ne sortons pas de l'intelligible, nous n'énonçons même pas une propriété nouvelle sensible des phénomènes.

Il y a une tendance à croire que, si la loi n'explique pas, malgré le grand mot d'attraction, la cause du mouvement de la planète vers le Soleil, du moins ce mouvement existe, sauf qu'il est contrarié par un autre, d'où résulte le mouvement observé. Et précisément, en raison de l'impossibilité d'observer directement le mouvement atttractif, la mécanique céleste, en nous en apprenant l'existence, nous ferait réaliser un progrès notable dans la connaissance des phénomènes. Une s'agit plus ici de fantômes métaphysiques à écarter, mais bien d'une confusion entre l'intelligible et le monde des phénomènes.

Un mot suffira pour détruire toute illusion. Qu'on se rappelle la condition toute particulière relative à la mesure du temps que sous-entendait la loi de Kepler, et qu'on suppose seulement changée la définition de la durée, c'est-à-dire le nombre qui, clans les observations, doit se substituer au paramètre t de la mécanique rationnelle, ~- l'accélération, etpar suite la force, que nous disons agir sur les planètes, ne passe plus &r le Soleil. Le mouvement attractif disparaît. Delà

nouvelle loi qu'il faudrait substituer à celle de Kepler se tirerait encore logiquement une loi relative à la force, et, suivant les définitions adoptées, l'énoncé pourrait différer plus ou moins du premier, la force aurait telle ou telle direction. Que devient dans tout cela la propriété sensible révélée par la loi?

— Continuons : La direction de la force une fois connue, quelle en est l'intensité? On établit en mécanique rationnelle, par de simples considérations de géométrie et d'analyse, une formule donnant l'expression d'une force qui passe par un point fixe, quand on connaît l'équation de la trajectoire plane. Delà deuxième loi de Kepler on déduit alors aisément que l'intensité de la force attractive relative à une planète a pour valeur où m est la masse de la planète, r le rayon vecteur, k une certaine constante. Et on dit : la force est en raison inverse du carré de la distance, etproportionnelle à la masse. Enfin, de la troisième loi de Kepler on déduit ce fait que la constante k est la môme pour toutes les planètes.

Voilà donc les lois de Kepler remplacées désormais par d'autres qui ne disent rien de plus sur les phénomènes célestes, mais qui disent autrement. Le passage des unes aux autres se faisant par des raisonnements rigoureux, il est clair que celles-ci recevront de l'expérience la même vérification que les autres, celle qu'une induction autorise quand elle se fonde sur les observations précises et correctes de Ïycbo-Brahé, et que rend plus facile la simplicité du langage.

On sait comment Newton fut conduit de ces lois particulières à la grande loi de la gravitation universelle. Les lois de Kepler vérifiées pour les satellites de chaque planète, par rapport à la planète, autorisent l'extension de la force attractive aux planètes avec une formule analogue pour l'intensité. On calcule l'accélération de

la Lune due à la force attractive de la Terre, et on constate qu'à la distance du rayon terrestre, substituée à celle des deux astres, elle devient justement égale à celle de la pesanteur. De là, la généralisation de cette force centrale s'exerçant sur tous les corps à distance quelconque. Puis cette remarque, faite à propos de la pesanteur, que la force attractive s'exerce également sur toutes les molécules d'un corps, et le principe de Faction et de la réaction donnent finalement la loi de la gravitation : Deux points matériels quelconques s'attirent mutuellement, proportionnellement à leurs masses, et en raison inverse du carré de leur distance. Loi vraiment admirable de simplicité, d'un maniement autrement aisé que les lois de Kepler, à fortiori que les faits qui leur servaient de base ! Loi dont la fécondité peut bien à elle seule justifier, à tous les yeux, les fictions qui ont servi de point de départ à la mécanique céleste, mais à la condition que cette justification soit comprise. Si nous avons su dans cette étude exprimer notre pensée, on jugera comme nous que les vérifications expérimentales de toutes sortes, qu'elle recevra, non seulement ne prouveront l'existence d'aucune attraction, au sens métaphysique du mot, mais encore n'établiront aucun lien nécessaire entre les phénomènes eux-mêmes et nos fictions; celles-ci forment un langage d'une perfection incontestable, mais ce langage ne cesse d'appartenir au domaine de l'intelligible, et de se former parallèlement à l'observation des faits, sans que jamais nous puissions juger objectivement nécessaire, sous prétexte de vérification, un seul des éléments dont il est formé.

Nous nous sommes borné à un exemple fourni par la mécanique. Des considérations analogues trouveront

leur place dans tous les cas où la mathématique pénètre dans le domaine des faits. On saura chaque fois montrer un certain nombre de fictions lui donnant accès, et lui permettant de jouer le rôle que nous avons tâché de définir. Mais les principes suggérés par l'observation, et qui fournissent entre ces éléments nouveaux les premières relations, les équations fondamentales, forment parfois ce qu'on appelle une hypothèse scientifique. Il semble qu'il y ait ici plus qu'un simple langage adapté à un ordre de phénomènes. Une tentative d'explication s'y ajoute, et la mathématique, en servant d'intermédiaire entre l'hypothèse et les faits, et permettant ainsi de la mettre à l'épreuve de l'observation, paraît capable d'en donner une démonstration, et de joueralors un rôle effectif dans la connaissance. Voyons de plus près ce qu'il en est.

Un certain nombre de faits observés suggèrent une théorie dont le premier caractère indispensable est d'expliquer ces faits eux-mêmes. L'explication consiste d'ailleurs à les relier, par l'intermédiaire du langage scientifique, à d'autres faits qu'elle donne comme antécédents. Quelle qu'elle soit, pour l'unique raison que des phénomènes d'un certain ordre y trouvent un rapport commun, il n'est pas surprenant que des phénomènes non encore observés se trouvent aussi répondre aux relations qu'énonce la théorie nouvelle. L'observation ne tarde donc pas à grossir le nombre des faits qui s'expliquent par elle. Il peut arriver que ce nombre devienne très grand, et qu'en même temps des conséquences prévues de l'hypothèse se réalisent. Dironsnous alors avec Cournot que « la probabilité de l'hypothèse peut aller jusqu'à ne laisser aucune place au doute dans un esprit éclairé ? » C'est là un jugement que nous ne saurions accepter sans réserves. Qu'on songe, par exemple, à l'hypothèse de laNébuleuse.

Les mouvements des planètes qui s'effectuent dans des orbites presque circulaires, à peu près dans le plan de l'équateur solaire et dans le sens de la rotation du soleil, avaient suggéré à Laplace l'idée de leur attribuer une origine commune dans la nébuleuse solaire. Sa théorie rendait compte du mouvement des onze planètes et des dix-huit satellites que l'on connaissait de son temps. Les astronomes ont depuis découvert plus de 200 petites planètes entre les orbites de Mars et de Jupiter, une énorme planète, Neptune, au delà d'Uranus, et tous ces corps, sans compter de nouveaux satellites trouvés autour de Saturne, de Mars et de Neptune, circulent comme les premiers. Voilà donc un ensemble imposant de données dont tes unes ont suggéré l'hypothèse, et dont les autres semblent en être une merveilleuse confirmation. L'expérience de Plateau est venue mettre sous nos yeux une réalisation saisissante de cette hypothèse. En outre l'existence de plus en plus probable du feu central, sous l'écorce terrestre, est un des faits les plus significatifs en faveur de l'origine ignée de notre planète. Et enfin le spectacle de certaines nébuleuses à noyau central, qui depuis Herschell a sollicité la curiosité des astronomes, a pu passer pour un argument des plus décisifs. Aucune hypothèse semblera-t-elle jamais si près d'être démontrée qu'a pu le paraître celle de Laplace?

Voici pourtant des faits qu'il est difficile de concilier avec elle. Laplace avait observé que le sens de rotation des planètes est direct, identique à celui de la rotation du soleil, et il avait même fait entrer dans son calcul les rotations des planètes et de leurs satellites au même titre que les circulations, lorsqu'il trouvait « qu'il y a plus de quatre milliards à parier contre un que la disposition du système solaire n'est pas l'effet du hasard». Or, dans son hypothèse, la rotation directe d'une pla-

ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LA SClEiNCE GÉNÉRALE 105

nète, loin d'être un fait de môme ordre que sa circulation directe, semble au contraire s'expliquer difficilement. On peut, il est vrai, en se reportant à Laplace lui-même, essayer de faire disparaître cette difficulté, mais alors on se heurte à une contradiction nouvelle: les satellites de Neptune et cl'Uranus tournent dans le sens rétrograde, et les astronomes nous disent que, selon toute probabilité, c'est aussi le sens de rotation de ces planètes. Dans les deux cas, nous sommes en présence d'unécueil, contre lequel semble se briser l'hypothèse de Laplace. — Ce n'est pas tout: le mouvement d une planète devenant plus rapide après l'abandon de l'anneau, la durée de la rotation de la planète sera nécessairement moindre, dans l'hypothèse de Laplace, que celle de la révolution de l'anneau ou des satellites auxquels il a donné naissance ; de là une limite inférieure imposée à la durée de la révolution d'un anneau ou d'un satellite, à savoir la durée de rotation de la planète, et en même temps, d'après la loi de Kepler sur les temps des révolutions, un minimum imposé à sa distance au centre de la planète. Or, dîme part, on a découvert un satellite de Mars qui met moins de temps à circuler autour de sa planète que celle-ci n'en meta tourner sur elle-même ; d'autre part, l'anneau intérieur de Saturne est à une distance du centre de la planète inférieure à la limite prévue par le calcul.

On sait qu'une théorie nouvelle, due à M. Faye, répond, dans une certaine mesure, à toutes les difficultés soulevées par l'hypothèse de Laplace. Il est vrai que quelques savants ne l'accueillent pas sans restriction. Mais, de toutes façons, la conception de Laplace doit se modifier. Quelle que soitla forme nouvelle qu'elle doive revêtir aujourd'hui, l'avenir seul en fera connaître la durée. Et enfin les corrections ne seront peut-être pas toujours suffisantes ; rien ne nous empêche d'entrevoir

la nécessité de renoncer un jour, si les objections s'accumulent, à Fidée même de la Nébuleuse originelle.

En insistant sur l'hypothèse de Laplace, nous avons voulu surtout faire ressortir le caractère éminemment provisoire, malgré les plus éclatantes confirmations de l'expérience, de pareilles théories. Jamais un esprit éclairé n'aura le droit de déclarer une hypothèse définitive. Mais allons plus loin : supposons-nous, par une audacieuse fiction, certains de l'avenir, et acceptons qu'aucun fait nouveau ne doive jamais contredire l'hypothèse ; nous n'aurons rien appris sur sa réalité objective. Que saurons-nous en effet ? C'est qu'une suite de phénomènes, imaginée par nous et substituée aux phénomènes réels, inobservables, et, par suite., éternellement inconnus, aurait pour conséquence les mêmes événements futurs, en vertu des relations spéciales que notre esprit établit lui-même entre les phénomènes.

Nous opposons ici l'avenir au passé, comme nous y a conduit l'hypothèse de Laplace. Sans rien changer aux idées, nous pouvons de même opposer aux phénomènes d'autres phénomènes simultanés, inobservables, mais explicatifs des premiers, comme dans la théorie de l'éther et de ses vibrations. Si, pour de semblables hypothèses, nous étions assurés que l'avenir ne nous fera connaître aucune contradiction, nous saurions simplement que certains rapports nouveaux entre les phénomènes étant créés par nous {ceux qu énonce justement l'hypothèse), les phénomènes d'un certain ordre sont exprimables à l'aide de ces rapports. Qu'est-ce à dire sinon que nous aurions imaginé un langage s' adaptant à merveille avec ces phénomènes?

Eh bien, ce cas, en apparence irréalisable, peut très bien se produire, et c'est alors que, l'hypothèse se fondant en un langage mathématique, celui-ci vient tout simplement jouer son rôle habituel.

Expliquons-nous.

Qu'au début de la mécanique, au lieu d'énoncer des principes suggérés par l'expérience, on fasse l'hypothèse suivante : La matière est constituée dé telle sorte qu'elle conserve indéfiniment l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, si aucune force n'agit sur elle; et ainsi de suite, de façon à énoncer, sous une forme particulière, les postulats fondamentaux. En somme, cela ne différerait pas beaucoup de ce qu'on fait d'ordinaire. Nous nous trouverions alors en présence d'une véritable hypothèse explicative. Dira-t-on que l'observation des faits la confirme juqu'à ce jour seulement et qu'elle a un caractère provisoire ? On n'y songera pas. Si une conséquence quelconque de cette hypothèse, par exemple la prédiction d'un phénomène astronomique, à laquelle conduirait la mécanique céleste, ne se trouve pas réalisée, on n'aura jamais envie d'en accuser la mécanique rationnelle qui se fonde sur cette prétendue hypothèse. On se dira seulement : Quelque fait jusquici inconnu, la présence dans le ciel de quelque corps céleste ignoré, par exemple, et dont il n'a pas été tenu compte dans les calculs, peut jouer un rôle dans le problème et changer toutes les conclusions. Nous ne doutons pas un seul instant que jamais aucun fait ne viendra infirmer les postulats de la mécanique rationnelle. Et pourquoi cette certitude ? La raison en est dans la possibilité de transformer ces postulats en définitions, et clans cette circonstance que toute hypothèse a disparu pour laisser place à un langage spécial. Certes ce langage ne pourra pas s'adaptera tous les phénomènes ; il y aura lieu d'introduire pour certains cas de nouvelles notions. Mais, de toutes façons, la question de la validité de l'hypothèse n'a plus à se poser.

A quelles conditions une hypothèse pourra-t-elle pré-

senter ce caractère dépasser désormais pour définitive? La réponse- est tout indiquée maintenant.il faut et il suffit qu'elle puisse se formuler en définitions ; en d'autres termes, il faut et il suffit que le nombre des propositions qu'elle énonce sur les éléments nouveaux, dont elle fait connaître les rapports, soit tel que chacun de ces éléments se trouve défini. Il est difficile de fixer ces conditions avec plus de précision ; tout au moins on peut dire, par exemple, que, plus est considérable le nombre des notions nouvelles, plus l'hypothèse a de chances de subsister jusqu'à ce que le nombre des postulats soit devenu suffisant pour lui permettre de se transformer en définitions. On peut dire encore que plus est fictive, plus est d'apparence métaphysique, en dehors des phénomènes observables, la nature de ces notions nouvelles, moins l'hypothèse risque d'être ébranlée par l'observation, et plus elle a de chances de devenir une conquête définitive de la science. Il faut qu'on ait suffisamment compris le sens de ce caractère définitif, pour que cette dernière proposition ne soit pas un paradoxe effrayant capable de troubler la mémoire d'Auguste Comte.

Pour l'hypothèse des ondulations lumineuses, par exemple, en dehors de ce qu'elle s'harmonise jusqu'ici avec tous les phénomènes lumineux connus, n'est-il pas permis de dire qu'un gage de sa durée, et une présomption en faveur de son caractère définitif, se trouvent d'abord dans la nature absolument inobservable des notions qu'elle apporte, et ensuite dans le nombre des éléments qu'elle implique, et dont quelques-uns restent encore indéterminés, à la disposition, pour ainsi dire, de quelque fait nouveau à expliquer ? Tel est, par exemple, le mode de répartition des vibrations dans les directions diverses du plan perpendiculaire au rayon lumineux ; telle est encore la forme des trajectoires par-

courues parles molécules d'éther durant une vibration, et que, jusqu'à nouvel ordre, il est naturel d'admettre rectilignes, etc. Il ne faudrait pas s'étonner outre mesure de voir un jour tout l'échafaudage de l'hypothèse des ondulations se fondre en un langage définitif qui, peut-être, s'appliquerait ensuite aisément aux phénomènes lumineux, calorifiques, électriques et autres. Le nouveau chapitre de mathématiques qui en serait le développement commencerait alors par des définitions du genre de celle-ci : Étant donné qu'une chose se propage, que les rayons émanés de deux sources viennent en un certain point, où ils concourent, donner lieu à une augmentation ou à une diminution d'intensité, si la mesure des chemins parcourus établit les faits suivants : « a une différence de chemin égale à un multiple pair d'une quantité fixe K correspond une augmentation d'intensité ; à une différence égale à un multiple impair de la môme quantité correspond une diminution d'intensité », on dira que la propagation dont il s'agit se produit par ondulations de Vêther. La quantité fixe 2K sera la longueur d'onde, etc. Si cette prédiction se réalisait, l'hypothèse aurait atteint cet idéal d'être désormais à l'abri de toute contradiction cle fait, elle serait bien définitive pour certaines catégories de phénomènes.

Mais qu'on y prenne garde. Pour en arriver là, non seulement elle perdrait toute signification métaphysique, mais môme elle renoncerait à rien représenter du monde des phénomènes sensibles ; elle se transformerait en une expression purement formelle de certains faits [V.

(1) A propos de l'hypothèse des ondulations lumineuses, signalons une discussion curieuse et fort suggestive que nous ont rapportée, il y a quelques années, les comptes rendus de l'Académie des Sciences. De fortes présomptions ont conduit Fresnel et, à sa suite, la plupart des

G. Milhaud.

MO

En résumé, la mathématique ne nous permet jamais de porter sur les phénomènes non observés une affirmation certaine, à l'abri du principe de contradiction. Quand, ayant pris son essor à l'occasion de quelques postulats suggérés par l'observation, elle se montre particulièrement utile et instructive, non seulement elle ne permet jamais qu'une prédiction probable, niais encore, les prédictions d'un certain ordre fussent-ellés indéfiniment réalisées, elle n'apprend jamais rien sur les postulats, envisagés non seulement dans leur signification métaphysique, mais même dans leur réalité phénoménale.

Lorsque enfin elle semble permettre la vérification

physiciens, à admettre que la direction de la vibration, dans la lumière polarisée, est perpendiculaire au plan de polarisation. Cependant on ne pouvait citer aucune expérience démonstrative à l'appui de cette opinion, et d'ailleurs des savants tels que Mnc-Cullagh et Neumann ont soutenu que la vibration est dans le plan de polarisation. Le 9 février 1891, M. Cornu annonçait à l'Académie des sciences qu'une expérience décisive, due à M. Wiener, donnait définitivement raison à Fresncl.

Une pellicule photographique extrêmement mince est déposée dans le voisinage d'une surface réfléchissante sur laquelle tombe, et se réfléchit à 45°, un faisceau polarisé. La pellicule qui a ainsi reçu deux faisceaux à angle droit est développée comme un cliché et laisse voir une série de franges. 11 y a donc dans l'onde résultante alternativement des maxima et des minima d'intensité ; autrement dit, les intensités s'ajoutent et se retranchent. Or, il faut pour cela que les vibrations soient parallèles et, par suite, perpendiculaires au plan d'incidence. — Haltelà! fait alors observer M. Poincaré. Qu'appelez-vous intensité lumineuse? Est-ce dans l'énergie cinétique ou dans l'énergie potentielle de l'éther que vous la faites résider ? En d'autres termes, est-ce dans le déplacement de la molécule ou dans la quantité qu'on nomme axe de glissement ? Si les deux faisceaux se coupent sous un angle très petit, les deux quantités interfèrent. Mais sous un angle droit, l'une des deux seulement sera d'amplitude variable. Si c'est le déplacement de la molécule, l'expérience de M. Wiener donne raison à Fresnel, si c'est l'axe de glissement, elle donne raison à Neumann. Et nous pouvons d'autant moins nous prononcer que nous ne savons pas du tout ce qui dans l'action photochimique détermine la décomposition. — Fort bien, répond à son tour M. Cornu, mais une autre expérience nous apprend que l'intensité lumineuse doit bien être placée dans l'énergie cinétique de l'éther. Qu'on suppose une surface plane, de pouvoir réfléchissant égal à l'unité, et

des grandes hypothèses et jouer ainsi un rôle immense dans la connaissance générale de l'univers, ou bien l'hypothèse porte directement sur des faits inconnus, et alors elle ne cesse jamais d'avoir un caractère provisoire, et de se présenter comme explication suffisante, non nécessaire ; ou bien l'hypothèse peut, sous une certaine forme, entrer décidément dans la science et fournir à la mathématique l'occasion de développements définitifs, mais c'est alors à la condition que celle-ci renonce à toute prétention objective et remplisse simplement sa fonction de langage créé par l'esprit pour l'esprit.

qu'on y envoie normalement un faisceau polarisé. La vibration réfléchie est égale et contraire à la vibration incidente. Les deux théories de Fresnel et de Neumann donnent alors la surface réfléchissante comme un plan Doclal, c'est-à-dire un plan d'intensité minima, dans l'onde formée par la superposition des faisceaux incident et réfléchi. M. Wiener a à peu près réalisé ces conditions avec une surface en verre, enduite d'une pellicule photographique. Il a vu sur celle-ci des anneaux concentriques, et au centre rien. Donc, concluent MM. Cornu et Potier, la pellicule n'a été affectée que par les déplacements vibratoires ou par l'énergie cinétique. — Mais, dit M. Poincaré, ici encore, entre l'expérience et l'interprétation se glisse une hypothèse. Pourquoi veut-on qu'avec une surface de pouvoir réfléchissant presque égala 1, mais non égal à 4, il faille admettre le plan réfléchissant comme un plan nodal, en vertu des deux théories de Fresnel et de Neumann ? C'est admettre une continuité qui n'est rien moins que démontrée. La limite d'une fouction continue peut très bien être discontinue.

Sans prendre parti dans une discussion aussi spéciale, n'est-il pas intéressant de mettre en évidence, sur cet exemple particulier, la difficulté de donner à une expérience quelconque une interprétation jugée nécessaire? Et encore il ne s'agit ici que d'une nécessité toute relative. Admettons que l'expérience de M. Wiener mérite d'être appelée décisive, comment faut-il l'entendre ? On aura démontré que, étant admis les premiers principes de la théorie des ondes lumineuses, ils ont pour conséquence telle direction du déplacement moléculaire ; on aura simplement fixé, de façon à interpréter avec précision une expérience nouvelle, un des éléments jusque-là indéterminés, qui, entrant désormais dans le langage spécial de la théorie, aidera à traduire les phénomènes lumineux.