C. — Fonction

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est fonction du nombre des ouvriers employés, du nombre d'heures dont se compose leur journée, de leur force musculaire, de la nature plus ou moins résistante du terrain, etc. On prévoit quelle va être la première transformation qu'imposera l'analyse à cette idée: tout phénomène, toute grandeur concrète vont disparaître. Une quantité y sera fonction d'une autre, x, si y est donné comme expression algébrique où entre x, c'est-à-dire comme résultat d'une suite de calculs à effectuer sur des nombres quelconques, parmi lesquels se trouve x. Exemple, y =x-t •

Les opérations peuvent d'ailleurs sortir du cadre des calculs algébriques proprement dits. C'est ainsi que viennent s'ajouter les fonctions dites transcendantes, telles que, y = ax, y — log\r, les fonctions trigonométriques, sinus, cosinus, etc. C'est ainsi encore qu'aux opérations ordinaires s'ajoutent celles de différenliation et d'intégration.

La fonction exponentielle, y = ax, s'introduit tout naturellement. L'arithmétique définit le sens de a°° {a > o) six prend une valeur entière : l'analyse donne une signification à ce symbole pour x fractionnaire, incommensurable, négatif. La fonction logarithmique, y —\o^x, se pose comme Tin verse de la précédente, c'est-à-dire que, si Ton ay = ax,x sera, par définition, logarithme de y.

Les fonctions trigonomélriques ont leur origine dans l'intuition géométrique. Elles désignent d'abord des rapports de longueurs servant à introduire les angles dans les calculs. Mais toutes ces fonctions sin#, cos^, etc., se développent en séries convergentes, dont chaque terme est de la forme a X et l'analyse n'a pas de peine à les faire siennes, à les reconstruire sans préoccupation intuitive, en partant de ces séries pour les définir. Le calcul des séries convergentes per-

met ensuite de retrouver les relations fondamentales que la considération directe des arcs de cercle avait d'abord fait connaître; et finalement les fonctions trigonométriques se trouvent venir après les autres, sans qu'aucune trace de discontinuité se laisse voir dans l'écbaufage ainsi construit.

La différentiation d'une fonction, quoique trouvant son interprétation intuitive dans le problème de la tangente à une courbe, ou de la vitesse dans un mouvement non uniforme, se définit aisément par la résolution d'un problème d'algèbre pure : recherche de la limite d'un rapport dont les deux: termes tendent simultanément vers zéro.

^intégrale définie, d'abord apparue comme exprimant une aire limitée par un arc de courbe et certaines droites, finit, elle aussi, par se dégager de tout élément concret. Elle se prête aujourd'hui à une définition purement symbolique et se pose comme la limite d'une somme de termes dont le nombre croît indéfiniment, tandis que chacun tend vers zéro; toutes les propriétés de l'intégrale peuvent s'établir sans qu'on revienne jamais à la représentation concrète.

Bien d'autres fonctions naissent de la considération de certaines intégrales, bien d'autres se formeront à l'avenir : quelle que soit leur origine, quelle que soit l'occasion que l'expérience offre de les envisager, leur définition, par l'analyse et pour l'analyse, se fait de telle sorte qu'elles continuent naturellement la construction abstraite qu'édifie le mathématicien.

Dans la définition nouvelle de toute fonction, x est d'abord un nombre positif ou négatif : par une généralisation naturelle, la signification purement symbolique s'étend aisément au cas où x prend une valeur imaginaire.

Enfin, l'idée de fonction subit une dernière transfor-

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motion : s'éloignant encore davantage, si c'est possible, de tout lien impératif entre une donnée, fût-ce une formule, et la signification qui en résulte, supprimant toute espèce de signe permanent de fonction, l'analyse reconnaît y pour fonction de x, si seulement il plaît à l'esprit de décider que y prendra telles ou telles valeurs pour telles ou telles valeurs de x. Exemple : décidons que y sera égale à i, lorsque x prendra une valeur entière quelconque, n, que y sera pour toute valeur fractionnaire de x, égale à 1 pour x = 0. L'ensemble des valeurs de y que nous venons par décret, pour ainsi dire, de faire correspondre à x, forme une fonction. On sent ici d'une façon saisissante, quelle évolution a subie la notion depuis son origine concrète jusqu'à cet état de construction artificielle et arbitraire.

D. — Continuité.

L'idée première a son origine dans l'intuition d'une étendue ou d'une durée. En quoiconsiste-t-elle au fond? Dans les discussions philosophiques, la continuité d'une grandeur concrète est le plus souvent la divisibilité indéfinie, ou la propriété de pouvoir descendre audessous de toute quantité assignable. La notion qui va pénétrer dans le domaine de l'analyse exige quelque chose de plus. Imaginons, en effet, une sorte de grandeur telle que, une fois choisi pour unité un état particulier de la grandeur, elle ne nous fournisse, en variant de toutes les manières possibles, que des états mesurés par des nombres de la forme où N est un entier. Si nous admettons que toute détermination delà grandeur, correspondant à un pareil nombre, existe, on ne saurait nier qu'elle puisse descendre au-dessous de toute quantité. Il suffira, en effet, de choisir N assez grand. Nous ne pourrons pas cependant attribuer à

celte grandeur la continuité mathématique, parce que,

entre deux valeurs consécutives que nous en con-

naissons, j^^qp-p nous en imaginons une infinité d'autres

qu'elle ne prend certainement pas. Faisons un pas de plus et supposons que notre grandeur passe par tous les états commensurables sans pouvoir jamais (toujours par rapport à l'unité spéciale) devenir incommensurable : La discontinuité persiste, quoique les trous, pour ainsi dire, nous paraissent moins considérables. On peut varier encore les hypothèses et admettre, par exemple, que la grandeur soit susceptible de correspondre à tout nombre entier, fractionnaire, incommensurable, sauf aux nombres fractionnaires de la forme-, ou encore sauf aux nombres incommensurables de la forme y/N, etc. Dans tous ces cas-là, nous ne pouvons pas faire correspondre la variation de la grandeur à celle d'une étendue rectiligne, par exemple, et nous avons la sensation de trous, de vicies, qui nous empêchent d'appeler la grandeur continue.

Est continue, dit-on quelquefois (1), toute quantité qui, entre deux états quelconques, peut passer par tous les états intermédiaires. Mais comment comprendre ces mots tous les états intermédiaires? S'il s'agissait seulement des états intermédiaires existant pour elle, toute quantité répondrait à cette définition qui ne postulerait aucune propriété spéciale. 11 faut évidemment entendre par tous les états intermédiaires tous ceux que peut prendre une grandeur continue, et alors la définition ne s'applique vraiment qu'aux quantités continues, mais ne nous apprend rien sur les conditions qu'elle exige. Elle revient à la suivante : Est continue toute quantité qui est continue. Cependant il suffira de se re-

(1) Duhamel, par exemple (les Méthodes dans les sciences de raisonnemcni) .

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portera une grandeur prise pour type de la continuité, telle que letendue rectiligne, et la définition deviendra plus claire. Mais elle repose sur une vue intuitive. Or l'analyse, en élaborant la notion du nombre, a abouti précisément à la substitution d'une échelle de symboles à la suite des états d'une longueur continue. Rien n'est donc plus simple que d'entendre par « tous les états in termédiaires » tous les états mesurés par les nombres commensurables ou incommensurables que l'analyse peut construire entre deux nombres donnés. Et ainsi non seulement nous ne nous fonderons plus sur la vue intuitive de l'étendue rectiligne, mais, par un renversement permis dans nos constructions logiques, les états de l étendue rectiligne elle-même seront, par définition, ceux qui correspondront aux nombres de notre échelle.

Supprimons enfin la quantité concrète variable et n'envisageons que le symbole x : nous dirons que la variation de x est continue, si x s'identifie avec le nombre algébrique, positif ou négatif, tel que l'analyse Fa créé et généralisé.

Mais il s'agit jusqu'ici de ce qu'on pourrait appeler la continuité absolue, la continuité de la variable arbitraire. La notion la plus féconde en analyse est celle de la continuité relative, ou de la continuité de la fonction. Considérons une fonction y de x. La continuité dey est tout naturellement la continuité de la suite des valeurs qu elle prend, lorsque x varie d'une manière continue, la propriété, si on veut, dé passer par toute valeur comprise entre deux de ses valeurs particulières. Mais il reste dans cette notion comme un vague appel à la représentation concrète de la quantité qui devient, qui s'écoule, donnant naissance à une suite d'états. L'analyse a transformé cette définition, et voici comment s'expriment les traités actuels : On dit que la fonction de x, f{x) est continue pour une valeur a donnée à x9 s'il

existe un nombre a tel que, pour toute valeur h moindre en valeur absolue que a, la différence f (a-\- h) — f(a) soit elle-même inférieure, en valeur absolue, à un nombre fixé d'avance, aussi petit qu'on veut. — x prenant ensuite toute valeur comprise entre 1 et 3, par exemple, la fonction est continue dans cet intervalle si elle l'est pour chaque valeur de x, Il est aisé de voir que toute fonction continue dans ce sens nouveau, prend bien toute valeur comprise entre deux particulières quelconques.

On sent avec quel soin l'analyse résout, décompose le continu, avec quel soin, pourrait-on dire, elle le supprime. Elle détruit tout ce qui, de près ou de loin, ressemble à une suite, à une trame ininterrompue* Si on y emploie parfois cette expression : toutes les valeurs comprises entre a et b, toutes les valeurs de la fonction, etc. , c'est une façon de parler signifiant seulement: une valeur quelconque comprise entre a et b, une valeur quelconque de la fonction, etc. Non seulement le concept de tout nombre, ou d'un nombre quelconque parmi une infinité de possibles, est absolument clair par lui-même, mais encore, à mesure que s'affine le sentiment de la rigueur, il s'impose pour être substitué à la notion confuse de suite ou d'ensemble.

E. — La limite.

Nous avons déjà parlé de limite : il convient de revenir sur cette notion fondamentale, qui sert de base au calcul de l'infini.

Elle est primitivement empruntée à des phénomènes naturels, où une suite graduée de changements se présente comme aboutissant à un terme final, comme limitée par ce terme. La nuit absolue qui succède au crépuscule peut se poser comme terme de la décroissance de la lueur du jour. Le débit d'une source diminuant

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jusqu'à épuisement, le tarissement de la source se présentera comme la limite de cette diminution, etc. La notion, pour passer de ce premier degré naturel et concret à l'état où l'utilise la mathématique déductive, se dépouille de tous les éléments intuitifs.

L'idée de limite ne s'appliquera d'abord rigoureusement qu'à la quantité. On pourra dire, dans un langage imagé, que le polygone inscrit dans un cercle, dont les côtés tendent simultanément vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment, a pour limite la circonférence ; qu'une ellipse dont les axes croissent indéfiniment, dans des conditions déterminées, a pour limite une parabole, etc. Ce sont là façons de parler exprimant que telles quantités ont telles limites, et les quantités sont ici celles dont les figures ouïes formes sont l'occasion; ainsi, l'aire du cercle, la longueur de sa circonférence, son rayon, etc. C'est, par exemple, la longueur du périmètre du polygone inscrit qui a pour limite la longueur de la circonférence ; c'est l'aire du polygone qui a pour limite l'aire du cercle ; c'est la longueur de l'apothème quia pour limite le rayon. De même, dans le cas de l'ellipse variable, c'est, par exemple, l'ordonnée correspondant à une abscisse déterminée qui a pour limite l'ordonnée de môme abscisse dans la parabole, etc. Cette première restriction, imposée à la limite, supprime d'un coup ce qu'il y aurait évidemment d'inintelligible dans la transformation qualitative d'une chose, d'une forme, par exemple, en une autre d'espèce différente. La mathématique rigoureuse n'envisage nullement des lignes briséesiendant à devenir courbes, pas plus que des ellipses tendant à devenir paraboles. Le langage peut subsister sous cette forme, l'idée que traduira l'analyse sera complètement exempte de la variation qualitative.

Ce n'est pas tout. Le terme d'une variation quel-

conque, dans les phénomènes qui tombent sous nos yeux, est véritablement atteint; c'est môme ainsi qu'il est connu et se pose comme limite : Nous voyons, par exemple, le pendule ébranlé parvenir à l'état de repos, qui nous apparaît comme limite d'un mouvement oscillatoire de plus en plus faible. Il y ? dans ce fait d'une variation, décomposée en degr ' n . ^simaux, et parvenant cependant à son terme .. , chose d'incompréhensible. Entre la valeur b, ..9 (quel que soit le nombre des 9) et la valeur 1, on conçoit une série illimitée de nouveaux nombres, où la suite des 9 se prolonge de plus en plus, sans que la valeur 1 soit jamais atteinte. Entre un polygone inscrit de n côtés [quel que soit n] et la circonférence où les côtés sont tous nuls, on conçoit de même un abîme infranchissable pour l'entendement. Tous ceux qui ont reproché à la méthode des limites ce saut pour ainsi dire vertigineux par-dessus un abîme infranchissable, ont ils bien compris que l'analyse mathématique sait se mettre à l'abri de ce reproche ? Ce passage à la limite d une quantité variable, ce fait que la quantité parviendrait au dernier des états successifs qu'une variation illimitée nous donnerait à concevoir, est absolument étranger à la notion mathématique de la limite. Celle-ci porte exclusivement, par définition, sur ce que la différence entre la quantité variable et une certaine quantité fixe peut tomber au-dessous de toute valeur assignée arbitrairement. Ainsi,

dire que 0,99 9 a pour limite 1, quand le nombre des

9 augmente indéfiniment, cela signifie: Si petite que soit assignée d'avance une valeur numérique, je peux désigner un nombre de 9 à partir duquel la différence entre 1 et le nombre décimal reste inférieur à cette valeur.

Mais, objectera-t-on, lorsque d'une égalité entre variables X = Y on tire que la limite de X est égale à la

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limite de Y, ne passe-t-on pas vraiment à la limite ? Ne suit-on pas séparément les variables jusqu'à les voir atteindre leurs limites respectives, pour dire ensuite : Ce qui était vrai en général reste vrai à la limite î — Ce n'est qu'en apparence, ou pour exprimer parfois rapidement les faits, qu'on use d'un tel langage. Le raisonnement rigoureux est des plus simples : L désignant la limite de X, la différence entre X et L tombe au-dessous de toute valeur; mais X étant constamment égal à Y, cette différence n'est autre que la différence entre Y et L, et, puisque celle-ci tombe au-dessous de toute valeur, L est limite de Y.

Et quoi, dira-t-on encore, si d'une proposition relative aune sécante on déduit quelque théorème relatif à la tangente, en un point d'une courbe, ne suit-on pas la rotation delà sécante autour du point considéré jusqu'à ce qu'elle devienne tangente ? Nullement; toute quantité se rapportant à la tangente (l'angle, par exemple, que fera sa direction avec un axe fixe) est posée comme limite de la quantité analogue relative à la sécante, en ce sens que la différence entre les deux éléments peut devenir aussi petite qu'on veut.

Ainsi, il ne faut pas s'y tromper : la notion de limite sur laquelle raisonne l'analyse laisse complètement en dehors d'elle le fait de savoir si la variable atteint sa limite. Cette question, évidemment inséparable de tout problème concret ou objectif, où il s'agit de limite, disparaît dans la notion mathématique. Avec elle disparaissent aussi les chimères qui ont empêché si longtemps, et de nos jours encore parfois, les meilleurs esprits de reconnaître la rigueur des calculs fondés sur l'idée de limite.

Et c'est toujours d'ailleurs, nous le constatons, au même prix que la rigueur est apparue : la notion a dû se dépouiller, pour l'analyse, non seulement de toute

idée de variation qualitative, comme nous l'avions remarqué d'abord, mais encore d'un élément objectif qui échappait à une compréhensibilité suffisante, le

passage à la limite.

F. — Lignes et surfaces.

L'algèbre s'est appliquée à la géométrie dès que, les longueurs étant désignées par des lettres, il a plu à quelque mathématicien de traduire un théorème de géométrie par une équation. Cela ne suffisait pas pour qu'une géométrie analytique pût prendre naissance. Avant tout, il fallait que toute relation entre quantités géométriques pût s'exprimer algébriquement. Or, cette première condition exigeait elle-même un double progrès dans la voie qui mène de la forme intuitive à l'intelligible.

D'une part, les angles, qui figurent en même temps que les longueurs dans les relations, devaient trouver pour substituts ces éléments nouveaux qu'a introduits la trigonométrie, et qui sont des rapports de longueurs.

D'autre part, il fallait donner un sens aux expressions algébriques quelconques portant sur des longueurs. Expliquons-nous. Si a et b désignent deux longueurs, a-\-b , a — b représentent de nouvelles longueurs clairement définies. Que désignait le produit aX.b pour les prédécesseurs de Descartes? Le rectangle qui a pour côtés a, b. — a\a\a était le cube construit sur la longueur a. Jusque-là, c'est fort bien; mais à ne pas sortir de la représen tation intuitive de quelque être géométrique spécial répondant à l'expression littérale, on ne saurait aller bien loin. Que pourrait bien signifier, par exemple, le produit a X b X c X à ? Ce n'est pas un des moindres titres de Descartes à notre admiration, que d'avoir dispensé désormais toute expression, portant ainsi sur des longueurs, de la nécessité d'une interprétation concrète spéciale, en donnant le moyen de cons-

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traire, dans chaque cas, une longueur correspondante. Soit n la longueur égale à 1, c'est-à-dire l'unité choisie, a X b désignera la longueur x telle que l'on ait la proportion yt — le produit a X b \ c représentera une

nouvelle longueur y telle que l'on ait : j = - (x étant la longueur qui représente aXb)', et ainsi de suite. Il n'y aurait qu'à substituer aux longueurs les nombres qui les mesurent, et toute expression algébrique portant sur des longueurs pourrait devenir purement et simplement un nombre. Mais la conception de Descartes, pour qui en somme la longueur jouait le rôle de la quantité type, suffisait en tout cas pour que le passage d'une relation géométrique à une relation algébrique ne rencontrât plus de difficultés, et pour que la géométrie analytique prit naissance.

Après qu'on a choisi un système de coordonnées pour tout point du plan, par exemple ses distances à deux droites fixes, il devient possible de traduire par une relation entre ces coordonnées la propriété caractéristique du point qui décrit une courbe, ou inversement de concevoir une courbe, lieu des points dont les coordonnées sont liées par une équation donnée.

Ce progrès immense dans l'évolution des idées va profiter à la géométrie, mais bien plus encore à l'analyse. Celle-ci va s'assimiler les êtres géométriques, qui seront pour elles des représentations graphiques de fonctions. Dans la figure concrète, c'est la fonction et ses propriétés qui l'intéressent : aussi les lignes de la géométrie plane deviennent-elles pour elle des lieux de points dont les coordonnées sont l'une une certaine fonction déterminée de l'autre. Par des considérations analogues, trois coordonnées correspondant à un point de l'espace, une surface devient simplement un lieu de points, dont une coordonnée est une fonction déterminée des deux autres ; une ligne, dans l'espace, un lieu

de points dont deux coordonnées sont des fonctions de la troisième. — Il va sans dire qu à la distance où nous sommes de la quantité concrète, les points, les lignes et les surfaces imaginaires s'introduisent tout naturellement, ainsi d'ailleurs que se forme, par une généralisation facile, le concept de l'espace à n dimensions.