Donc, conclut-on, le monde a commencé, Furii

(1) J. Tannery. Préface de Y Introduction à la théorie des fonctions d'une variable.

G. Milhaud.

vers est borné, la matière est formée d'éléments indivisibles : voilà ce que nous n'admettons plus au nom du principe de contradiction. Cette conclusion n'est pas à nos yeux la conséquence rigoureuse de ce qui précède. Voyons de près en effet comment des dernières propositions négatives, qui se con tentaient de ne pas énoncer une chose absurde : A n'a pas un nombre infini, on peut logiquement tirer une conséquence aussi positive : A a un nombre fini.

Une première explication consisterait à sous-entendre, avant la conclusion, un axiome de ce genre : ce qui n'a pas un nombre infini a un nombre fini. Le raisonnement suit alors avec rigueur : A n'a pas un nombre infini ; donc A a un nombre fini. Mais quelle est donc cette majeure ? Que signifie-t-elle ? Il ne faut pas que les mots fini et infini fassent illusion, et qu'on assimile infini à non fini, en donnant un sens à chaque mot de la proposition. Nombre infini d'une part, nombre fini de l'autre, sont des couples de termes toutes formées, des expressions inséparables. Or, si d'un côté nombre fini ne signifie pas autre chose que nombre, comme nous l'avons remarqué, nombre infini ne signifie absolument rien. Ce prétendu axiome pourrait s'énoncer encore simplement : Ce qui n'a pas un X, a un nombre, — X, tenant lieu du terme le plus dépourvu de sens qu'on imaginera. Sous cette forme, l'axiome cesse si clairement d'en être un, qu'il est inutile d'insister sur la pauvreté du secours qu'il apporterait à la rigueur du raisonnement.

A défaut d'un postulat, on essaiera peut-être d'invoquer une définition. Quant il s'agira d'une pluralité concrète, c'est-à-dire d'une occasion fournie par la réalité de distinguer, et par suite de compter des parties, on pourra dire que ces parties sont en nombre infini, si la numération est inépuisable, c'est-à-dire ne conduit pas

à un nombre. N'est-ce pas là le sens de cette définition, que nous empruntons à M. Renouvier? « J'appelle infinie actuelle ou en acte une collection donnée quelconque dont on supposerait que les parties distinctes ou éléments, considérés dans leur assemblage numérique, ne répondent pas à un certain nombre n, et cela quel que soit n, ou à quelque grandeur qu'il puisse atteindre. »

Ce cas s'oppose nettement à celui où la numération peut se terminer, et où par conséquent un nombre correspond à la chose considérée. Il est bien clair alors que, par définition, si A est une chose où des parties se comptent, elle a un nombre fini ou bien un nombre infini, puisque cela veut dire, en somme : elle a un nombre ou elle n'en a pas, et le raisonnement semble devenir absolument rigoureux.

Mais cette fois ce n'est pas la majeure que nous contesterons : on a posé une définition d'où elle résulte. C'est la mineure que nous n'acceptons plus. Si nous avons accordé que A n'a pas un nombre infini, nous n'entendions nullement ces derniers mots dans le sens spécial qu'on leur donne maintenant. Nombre infini impliquait une simple contradiction dans les termes, car nombre et nombre fini ne font qu'un à nos yeux, et nombre fini infini ne représentait rien à la pensée. Nous avons donc énoncé cette mineure pour rejeter une absurdité. Il en est tout autrement dès que ces mots « avoir un nombre infini » signifient « n'avoir pas un nombre fini » ou plus simplement « n'avoir pas de nombre ». Rien dans nos premières affirmations n'autorise plus la conclusion qui niait lïnflnité de A, la démonstration n'est pas faite. Pour sauver le raisonnement, et rendre la rigueur à la conclusion dernière, il faut prouver que A ne peut pas être infini au sens qu'assigne à ce mot la définition nouvelle. Or c'est pré-

LA CKHTITl'DE LOGIQUE

cisémentce que semble avoir tenté de faire M. Itenouvier dans une page, rédigée à la manière d'un traité de géométrie, et à laquelle il nous faut recourir.

Après quelques définitions, et, entre autres, celle que nous venons de citer, nous lisons :

1. — « Une collection donnée inconcreto est toujours telle, qu'en vertu d'une loi de l'entendement sans laquelle l'exercice de la sensibilité et toute expérience sont impossibles, on puisse distinguer, nombrer et assembler les objets de cette collection : 1,2,3, etc.; et cela, soit que la numération doive se terminer ou ne puisse pas se terminer effectivement.

2. — « Dans l'hypothèse où la numération serait interminable, on peut toujours établir le parallélisme de la suite des concrets distincts avec la suite des nombres asbtraits 1, 2, 3, etc., puisque ces abstraits correspondent h ces concrets chacun à chacun nécessairement, et que la suite de ces abstraits est indéfinie et ne peut faillir, si loin que la multitude de ces concrets s'étende.

3. — « Il résulte de la proposition précédente que, au cas où l'on pourrait démontrer que l'hypothèse de l'infinité actuelle de la suite des abstraits est une hypothèse contradictoire en soi, il serait démontré par cela même que la suite des concrets est une hypothèse contradictoire en soi. En effet, l'infini des concrets ne peut devenir actuel que celui des abstraits ne le devienne pareillement. Si le premier s'accomplissait sans le second, si les deux suites n'arrivaient pas à se clore ensemble, après s'être constamment correspondu, c'est, dans notre supposition, la suite des abstraits qui, ne pouvant être donnée ad integrum, se prolongerait au delà de l'autre, et alors la suite des concrets répondrait à un certain nombre n, contrairement à la définition 2 (celle que nous avons citée plus haut).

4. — « L'hypothèse de l'infinité actuelle de la suite des abstraits est contradictoire en soi...

o. — « L'infinité actuelle de toute collection ou multitude de choses données, devant suivre le sort de l'infinité actuelle de la suite des abstraits, ne peut être supposée sans absurdité, »

Il est impossible de ne pas donner son adhésion entière aux deux premières propositions. Là où nous apercevrons des choses distinctes, nous pourrons toujours porter successivement notre attention sur chacune d'elles, disant 1, puis 2, puis 3, etc., et cela aussi longtemps que nous aurons des éléments sous les yeux, car nous saurons toujours énoncer un mot nouveau à l'occasion d'un objet nouveau. Le caractère indéfini de la suite des abstraits nous fait de même admettre sans réserve l'impossibilité du nombre infini.

Tout cela étant posé, nous voyons, à priori, deux cas possibles pour la numération qu'entreprend notre esprit, elle peut ou elle ne peut pas se terminer, et toute la question revient à déduire de ce qui précède que le second cas implique contradiction. Or, la démonstration qu'on nous propose tient alors tout entière dans cette idée : si l'infini des concrets s'accomplissait sans Finfini des abstraits, la suite des abstraits se prolongerait au delà de celle des concrets, laquelle répondrait à un nombre ??, ce qui est faux par définition.

Que signifient exactement ces mots : « Si l'infini des concrets s1 accomplit... » Pour les traduire fidèlement, retournons à la définition fondamentale cle l'infinité actuelle des concrets ; elle nous donne : « Si, quelque grand que soit n, il n'existe pas de nombre n répondant à cette série de concrets ; en d'autres termes, si la numération commencée sur ces concrets, /, 2, 3... est interminable... » Mais comment comprendre alors

cette étrange proposition : Si les concrets ne se laissent pas assigner un nombre n, si grand qu'on le cherche, la suite des abstraits se prolongera au delà de la suite des concrets? La deuxième partie de la phrase ne suit plus logiquement la première, elle énonce même quelque chose d'absurde, car, si les concrets ne se laissent assigner aucun nombre, si la numération est interminable, la suite des abstraits se continuera indéfiniment dans un parallélisme parfait avec la première.

Halte-là ! nous dira-t-on, vous n'avez pas vu tout ce que renferme la notion de l'infinité actuelle des concrets. Elle implique, outre l'absence de tout nombre n répondant à cette suite, l'idée d'un achèvement, d'un accomplissement, d'une clôture. L'infinité actuelle consiste dans cette double propriété que la suite se trouve achevée, sans qu'aucun nombre cependant y corresponde, si grand qu'on le choisisse. — Cela ne nous paraît pas signifier autre chose que ceci : L'infinité actuelle des concrets suppose leur suite à la fois terminée et interminable. Alors pourquoi entreprendre une démonstration quelconque de l'absurdité de cette hypothèse ? La contradiction' dans les termes est flagrante, et nous affirmerons à priori, aussitôt la définition ainsi posée, que cette infinité est une chimère irréalisable.

Nous en revenons purement et simplement à la contradiction du nombre infini, du nombre fini et non fini tout à la fois, qui entraîne évidemment l'impossibilité d'une collection d'un nombre infini d'objets. Mais, en rendant à ces mots le sens qui met par lui-môme en évidence la contradiction, et qui seul, nous semble-t-il, permet de comprendre la démonstration de M. Renouvier, nous nous écartons de celui qu'il fallait leur donner, pour accepter cette majeure : « A a un nombre fini ou un nombre infini. » Nous sommes de nouveau

oblige de renoncer : A a un nombre ou un X, et le raisonnement auquel nous pensions trouver un fondement logique dans une définition où le nombre infini eût été posé comme équivalent de « absence de nombre », s'écroule de nouveau. On ne nous donne pas jusqu'ici le moyen d'échapper à ce dilemme :

Ou bien nous définissons le nombre infini, comme un nombre à la fois déterminé, fini, et comme cependant échappant à toute assignation de nombre, et alors la contradiction de cette notion est flagrante, l'impossibilité de donner cet attribut contradictoire, qui est un rien pour la pensée, à toute chose concrète, n'est pas môme à démontrer : quel que soit le sens de A, A ne possède pas cette qualité chimérique qui serait le nombre infini ; mais il n'est permis d'en tirer aucune conséquence logique, car aucun attribut ne pourra être posé comme le négatif de ce rien.

Ou bien nombre infini signifie absence de nombre, impossibilité pour une suite de concrets de se prêter à une numération qui se termine, et alors la majeure s'impose par définition, puisque évidemment à priori toute chose a ou n'a pas un nombre; mais, pour conclure rigoureusement à l'affirmative, il nous manque jusqu'à présent la démonstration de la mineure : « 11 est contradictoire que A n'ait pas de nombre. »

Cette démonstration, nous dira-t-on, a été faite et refaite, et il suffit de lire attentivement la Critique philosophique pour la trouver exposée avec une entière clarté.

Le nombre est indépendant de toute opération de la pensée. Les unités d'une collection donnée existent avant que l'esprit les distingue, leur tout ou leur

ensemble existe également, et l'esprit numérateur, par l'opération qu'il exécute, ne fait que nommer, sans le créer, le nombre, jusque-là inconnu. Ainsi, qui dit collection donnée, dit ensemble numérique, ou nombre d'unités, et par suite une collection donnée sans nombre (connu ou inconnu) est une absurdité. Tel est l'argument résumé, croyons-nous, aussi fidèlement que possible. Est-il décisif ?

1° Si, après avoir compté les billes contenues dans un sac, je déclarais que le nombre trouvé, douze par exemple, est une pure création de mon esprit, qu'il n'a rien d'objectif, je méconnaîtrais une vérité par trop évidente. La collection que j'ai sous les yeux contenait bien douze billes avant que je me misse à les compter. Qu'un autre vienne à ma place se livrer au môme calcul, il trouvera douze billes, absolument comme il les verra sous la couleur grise ou bleue où elles me sont apparues. Que personne môme n'ait plus jamais la fantaisie de les compter, et que je disparaisse, moi seul qui en ai connu le nombre, je peux bien affirmer que ce nombre douze restera une de leurs propriétés, au môme titre que leur poids, leur volume, leur couleur, leur forme sphérique, etc. comme il l'était avant que je le connusse.

2° Soit encore un sac donné, qu'on placera devant moi, en me disant simplement qu'on l'a rempli de billes. Sans les compter (ce sera la différence avec le cas précédent), j'affirmerai que cette collection donnée est un nombre. Dans les deux cas j'admets l'identité de collection et de nombre, parce que d'une parties objets de la collection sont donnés, ils sont chacun nettement définis à l'aide des propriétés qui distinguent les objets concrets les uns des autres : poids, épaisseur, etc., et d'autre part leur ensemble est donné également, il forme lui-même un objet concret clairement séparé de tout autre, ayant un contour délimité, un volume, etc. A

LA SOLUTION NÉOCRIT ICISTE DES ANTINOMIES 177

L'extrême rigueur, l'identité entre collection et nombre ne paraît évidente que dans le premier cas ; clans le second, un raisonnement peut trouver place pour établir rigoureusement à priori que le sac contient un nombre de billes. Soit Fie volume du sac, et v le volume d'une bille, ou, si elles sont d'inégal volume, soit vun volume moindre que celui de la plus petite bille, le sac ne peut contenir plus de n billes, n étant le quotient entier de V par v ; la numération ne dépassera clone certainement pas n et par suite elle s'arrêtera à un nombre (inférieur ou au plus égal an).

3° Poursuivons : Les hommes vivant à la surface du globe forment une collection que nous pouvons bien appeler nombre. Chacun d'eux est donné, et leur ensemble l'est aussi, car l'épaisseur d'espace qui les contient nous est connue. Mais les hommes vivant actuellement n'importe où dans l'espace vont-ils former une collection donnée identique au nombre ? Chacun d'eux est donné, dans ce sens qu'il existe et qu'il est distinct, cela est clair, mais leur ensemble n'est-il pas une chimère? Libre à vous d'identifier toujours nombre et collection, nombre et pluralité, nombre et ensemble, nombre et totalité, c'est affaire de mots. Si collection et nombre ne font qu'un, nous ne demandons plus si la collection des hommes vivants a un nombre, mais s'il y a une collection des êtres vivants, si la totalité des êtres vivants a un sens.

Chaque homme est réel, nous dira-t-on, et vous ne voulez pas qu'ils forment tous un ensemble réel? Qu'entend-on par « former tous un ensemble réel? » Si nous consentons à énoncer cette proposition comme conséquence évidente de ce que chacun d'eux est réel, c'est que nous ne ferons signifier à ces mots rien de plus qu'à ceux-ci : « chaque homme est réel. » Ils n'impliqueront pas l'idée d'un tout ou d'un nombre.

Que si, au contraire, vous voulez qu'ils l'impliquent, nous ne voyons plus comment, en bonne logique, vous déduisez, de ce que chacun est réel, qu'ils forment un nombre, et c'est pourtant ce qu'il s'agit d'établir.

Qu'on y réfléchisse, le tout n'est pas donné, la collection n'est pas donnée, les parties seules sont définies. 11 ne suffit pas de déclarer que toute collection d'objets donnés est un nombre, nous demandons pourquoi, — au nom du principe de contradiction, bien entendu, — dès qu'une partie quelconque est donnée, il y a collection, et il faut bien avouer qu'on ne nous répond pas. On considère cette vérité comme évidente, et M. Renouvier l'implique dans une définition initiale : « Une collection donnée, dit-il, est une collection de choses données (1). »

En réponse à M. Boirac, M. Pillon écrit, à propos des événements passés : « Si chaque événement passé est une unité réelle et donnée, comment la suite des événements passés ne formerait-elle pas un tout réel et donné? » Sans cloute « la suite » signifie pour lui l'ensemble, la suite complète, la totalité, c'est-à-dire le tout, et son affirmation, qui devient une identité, ne prouve rien, car nous demandons justement qu'on nous démontre qu'il y a un tout.

Les différentes expressions dont on se sert dans les discussions sur ce sujet sont de nature à faire illusion et à cacher la pétition de principes. On dira la multitude des hommes vivants, leur ensemble; ou tous les hommes vivants ou les hommes considérés « dans leur assemblage », et on parlera ainsi à priori, pour se proposer de montrer ensuite qu'ils forment un nombre. Vraiment, ce ne sera pas difficile, si chacun de ces mots implique pour l'esprit, comme le fait remarquer

(1) 6™c aimée, I, j>. 229,

M. Pillon, juste les deux mêmes idées que le mot nombre, à savoir : unités, et réunion ou assemblage en un tout de ces unités. Mais où est la nécessité de parler du tout, pourquoi ce tout s'impose-t-il à nous dès que les parties seules sont données ? Voilà la vraie question. On répond : parce que tous les hommes sont réels, parce qu'ils existent. Je ne comprends pas même le sens de ces mots : « tous les hommes ». Je ne peux le comprendre que lorsque j'aurai conçu les hommes formant une collection, c'est-à-dire lorsqu'on m'aura prouvé qu'ils forment un nombre, et ce que je refuse d'énoncer clairement, tant que la démonstration n'est pas faite, est justement le seul point de départ qu'on m'offre pour la démonstration ! Je ne peux reconnaître à priori comme existant réellement, comme donné en acte, que « chaque homme » pris individuellement.

Certes, il m'estpermis de dire tous les hommes, mais dans le sens de « tout homme ». Pourquoi même n'utiliserait-on pas les mots multitude, pluralité, ensemble, sans leur faire impliquer l'idée de la réunion en un tout? — Ne dit-on pas en géométrie : « tous les points dîme ligue, ou l'ensemble des points d'une ligne, ou le lieu géométrique des points jouissant d'une propriété ? » Ces expressions ont un sens fort clair et n'impliquent nullement la réunion des points en un tout. — Il pourrait alors y avoir collection pour tels et tels individus pris ensemble, collection essentiellement variable au gré de l'esprit qui porterait, par exemple, son attention sur les hommes vivant à la surface de telle ou telle planète. La collection des hommes vivants serait ainsi une collection en puissance. Rien n'empêche d'en parler, sans préjuger la question de savoir si elle existe également en acte, à moins qu'on ne démontre que toute collection en puissance, quand il s'agit des concrets, est nécessairement une collection en acte* Or on

ne nous donne sur ce point, au lieu d'une démonstration, qu'une simple affirmation.

« J'accorde, écrit Leibnitz àBernouilli, une multitude infinie (de monades), mais cette multitude ne fait pas un nombre ou un tout. » Que répond M. Renouvier? « La multitude donnée qui n'est pas un nombre donné est une conception étrange. La seule manière de la rendre intelligible serait de regarder la multitude donnée comme donnée en possibilité seulement, tandis qu'un nombre donné est une multitude donnée de fait ou actuellement. » — Mais cette seule manière nous suffit largement. Elle revient à ne regarder comme donnés que les individus, que chacun des individus, et à ne pas déduire de ce que chacun est donné qu'ils forment une multitude donnée, au sens de tout ou de nombre. Si nous n'avons pas le droit de nous soustraire à cette nécessité, c'est cela qu'il faut nous montrer. M. Renouvier va-t-il nous donner satisfaction? « Cette distinction que Leibnitz indique lui-même serait applicable aux nombres abstraits, aux séries mathématiques indéfinies... Mais elle cesse de s'appliquer, s'il faut que les nombres correspondent constamment à des êtres effectivement donnés tous ensemble... Donnés ensemble et ne formant point des touts, ce sont termes contradictoires, car un tout est l'ensemble d'une multitude quand elle est donnée. » On le voit, M. Renouvier déplace dès les premiers mots le point de vue de Leibnitz, en parlant de la totalité donnée en acte, quand les individus seuls le sont. Aussitôt ce point admis, nous partageons entièrement sa surprise, et Leibnitz la partagerait aussi, de ne point voir assimiler cet ensemble à un nombre. Mais, quant à voir logiquement, au nom du principe de contradiction, que, chaque monade ayant une existence réelle, il y a nécessairement un ensemble ou un nombre de ces monades, nous

n'y réussirons pas à la lecture de ces lignes. Un peu plus loin M. Renouvier dit encore : « Autant que nous avancerons dans le compte imaginé des monades, autant nous poserons de nombres successifs de la série naturelle des nombres. Maintenant, que cette dernière série soit sans fin, alors que la série des monades est une série de données, cela est absurde. Des unités données forment un nombre et un tout, quelque immense qu'on le suppose. » C'est là une simple affirmation. Leibnitz a dit : les monades ne forment pas un nombre et un tout, et M. Renouvier répond : « Les monades forment un nombre et un tout. » — Il est vrai qu'il ajoute : « On se contredit en niant l'application d'une loi de l'entendement, sur le terrain môme, aux termes et aux idées mômes que celle loi seule est en possession de fournir. » Si la loi de l'entendement visée ici est celle qui m'impose la nécessité de croire qu'un ensemble d'unités données a un nombre, nous avons suffisamment montré, pensons-nous, qu'elle n'est pas en cause. S'il s'agit de la nécessité pour l'entendement de croire à l'existence d'un nombre, quand des unités seules peuvent se distinguer et se définir, pourquoi l'admettrions-nous ?

— Sans cloute en la contestant, nous dira-t-on, vous ne vous heurtez pas à la contradiction dans les termes; mais, si vous affirmez ainsi l'inintelligible, ce qui ne peut se penser, se définir, se concevoir, si vous violez l'entendement dans son exercice normal, ne démontrezvous pas par cela môme la nécessité absolue de cette loi? Y aura-t-il une différence au fond entre une pareille nécessité et celle que révèle la contradiction dans les termes?

— Soit ! mais qu'on nous montre alors que vraiment c'est essayer de penser l'inintelligible que de se refuser à voir dans tout homme vivant, pour revenir à notre

G. MlLHAUD. H

exemple, une unité d'une collection ou d'un tout. Qu'on ne dise pas que la démonstration résulte naturellement de l'impossibilité où nous sommes de définir, en supprimant l'idée de totalité numérique, la multitude des hommes, Vensemble des hommes. Nous avons donné à ces expressions un sens des plus précis, et la comparaison avec les lieux de la géométrie achève, nous semble-t-il, d'éclairer la notion. « Le concept d'homme vivant actuellement » a-t-il besoin d'explication? La pensée de « tout homme vivant » n'est-elle pas admise par l'entendement avec une clarté parfaite? Il suffit de ne pas ajouter à cette notion suffisamment définie Fidée delà collection, pour résoudre ce problème qu'on disait insoluble, à savoir : se passer de la totalité numérique, tout en ne renonçant jamais à expliquer son langage, et à définir ses concepts.

— Mais, va-t-on nous objecter encore, c'est un concept abstrait, une idée générale que vous nous offrez, quand il s'agit de réalités concrètes. Une idée générale n'a sans doute pas besoin de se lier à un nombre ; elle correspond même généralement à un nombre indéterminé. Mais il faut sortir ici de l'abstraction et du monde des idées générales, pour rentrer, de gré ou de force, dans celui des réalités concrètes. La définition de la propriété qui caractérise un point de cercle donne immédiatement autant de points qu'on en veut, et personne ne songe à dire que le cercle est la somme d'un nombre déterminé de pareils points, parce qu'il ne s'agit là que de fictions idéales. Mais il n'en est plus de même du concept de l'homme vivant : à moins de nous borner à n'envisager jamais qu'un seul individu, il nous est impossible de considérer les hommes vivants dans leur assemblage sans admettre qu'ils forment une collection donnée quoique incomplètement connue dans la réalité. L'union dans le concept devient ici nécessairement la collection.

Nous répondrons que nous ne songeons pas à confondre deux sortes de notions, dont Tune se dégage de fictions imaginaires, et Vautre de réalités concrètes. La comparaison des concepts « d'un homme vivant actuellement » et « d'un point quelconque du cercle » n'est destinée qu'à éclaircir nos idées. Il est bien évident qu'il s'agit, d'un côté, de tout être humain non seulement connu, mais existant. quelque part, et, de l'autre, d'un quelconque de ces éléments fictifs que j'appelle points de cercle, et qu'il me plaira de construire. Mais qu'importe? Ces deux notions ont quelque chose de commun : de part et d'autre, après avoir posé la définition d'un individu, on refuse de n'envisager que lui, on porte sa pensée surtout individu de même définition, — d'un côté, sur tout individu analogue que construira arbitrairement l'imagination, de l'autre, sur tout individu de même espèce, qui existe actuellement, qu'il soit d'ailleurs connu ou inconnu, — et cela n'est-il pas clair? Le lien qui unit un individu quelconque à un autre de même définition permet bien d'affirmer que l'esprit considère ces individus dans leur assemblage, c'est-à-dire à travers ce lien, sans qu'il soit indispensable d'impliquer dans le concept l'idée de totalité numérique. Ce lien logique ne vous suffit pas! mais prenez garde d'exiger, en somme, comme condition d'intelligibilité de notre langage, d'y voir justement la notion dont vous proclamez la nécessité! Ce serait là une singulière façon de raisonner. Oui ou non, quand je parle de tout homme vivant connu ou inconnu, sans vouloir parler en même temps de la totalité numérique des hommes, ces mots ont-ils un sens précis, expriment-ils une pensée claire ? Oui ou non, si je dis ensuite : tout homme vivant n'est peut-être pas une unité d'un tout ou d'une collection, y a-t-il un seul terme non défini dans ma proposition? Ne peut-elle s'entendre, se

concevoir, se penser ? Eh bien donc je conteste la nécessité qu'on voulait m'imposer, sans jamais sortir de l'intelligible, sans jamais violer l'entendement dans ses exigences fondamentales.

Dites-nous que vous avez une grande peine à séparer du concept de tout homme vivant actuellement l'idée d'un certain ensemble numérique, à former de ce concept une représentation qui n'implique pas cette idée : c'est possible. Vous ne voulez sans doute pas plus que nous appeler contradictoire ce que vous ne parvenez pas à vous représenter. Nous ne discuterons môme pas le point de savoir si vraiment il y a pour l'esprit une difficulté réelle : peu nous importe; nous irons jusqu'à admettre ici, si vous voulez, une inconcevabilité tenant à ce que les choses sont « soustraites aux rapports dont la propre nature de la pensée et son fonctionnement sont inséparables. » Qu'aurons-nous ainsi accordé si ce n'est que nous nous trouvons en présence non du contradictoire mais de l'incompréhensible, suivant la judicieuse distinction et les termes mêmes de M. Renouvier ? Or l'incompréhensible, pas plus que l'incroyable, n'imposent à la raison l'obligation de nier.

Nos adversaires seront-ils convaincus ? Nous n'osons l'espérer. Qu'ils nous permettent de rappeler une discussion, présentant une certaine analogie avec la nôtre, et capable, croyons-nous, par la position même qu'y prend le néocriticisme, de jeter ici une vive lumière.

Descartes s'arrête, dans son doute méthodique, devant cette affirmation : « Je pense, donc je suis, » jugeant cette vérité « si ferme et si assurée que toutes les plus extravagantes suppositions des sceptiques ne seraient pas capables de l'ébranler. » Mais il y a deux choses dans cette proposition : le fait de la pensée, évidemment impliqué dans le doute lui même, puis le fait de l'existence, qui, aux yeux de notre philosophe, résulte

nécessairement du premier. Comment passe-t- il du premier au second ? C'est là une objection soulevée déjà du temps de Descartes, et sur laquelle on ne semble pas encore complètement d'accord. Le Cogito, ergo sam est-il ou non la conclusion d'un syllogisme dont la majeure sous-entendue serait « tout ce qui pense est » ? Descartes, on le sait, a essayé de le nier. Mais peu nous importe de savoir s'il y est vraiment parvenu. Il nous semble voir là une question de forme : au fond, tout le monde s'accordera sur ce point que, pour Descartes, la pensée entraîne nécessairement l'existence, qu'on ne peut pas penser sans être, que penser est inséparable de être ; et qu'entend-il par existence, par être ? Aucune hésitation n'est possible: il veut parler de l'existence substantielle, de l'existence nouménale, substratum nécessaire du phénomène de conscience auquel est venu se briser le doute universel. Voilà certainement la pensée de Descartes. Il déclarera inintelligible qu'on puisse parler d'un état quelconque de la conscience, sentiment, représentation, idée, volition... sans concevoir du même coup le sujet substantiel qui sent, connaît, veut... Dans l'insistance, qu'on nous passe le mot, dans l'entêtement qu'il mettrait à rattacher ainsi tout phénomène psychique à un moi d'où il émane, sans donner d'autre raison que son impuissance à comprendre qu'il en pût être autrement, ne trouvons-nous pas déjà une analogie frappante avec l'exigence de ceux qui se refusent à concevoir « tout homme vivant actuellement » s'ils ne rattachent pas chacun d'eux à un tout, dont il soit une unité ? Mais l'analogie devient plus saisissante encore enlre notre réponse à nos contradicteurs et celle que le criticisme réserve à Descartes.

« Comment oser conclure, dit M. Renouvier, du phénomène immédiat, actuel, identique avec la simple conscience, à l'objet extérieur, étranger, insaisissable,

qui n'est posé que représentativement dans ce même phénomène ? Le vice est manifeste dans le célèbre Cogito, ergo sum, premier type de l'évidence intérieure. En effet, le sum ou sum cogitans a deux sens bien différents : l'un relatif à la pensée phénoménale et au moi phénoménal qui ne s'en sépare point ; l'autre au sujet immanent et permanent dont on fait une substance appelée esprit, une substance, c'est-à-dire quelque chose qui, loin d'être évident, n'est pas même intelligible. Quoi qu'il en soit, d'ailleurs, de la réalité des substances, est-ce une méthode tolérable que celle qui, ayant d'abord qualifié d'évidence l'apparence du phénomène incontestable, incontesté, applique sans façon ce même nom à la prétendue essence spirituelle, niée par un si grand nombre de philosophes de tous les temps ? Un homme tel que Descartes ne pouvait tomber dans le sophisme grossier qui consisterait à déduire logiquement du cogito phénoménal le substantiel sum ou sum cogitans. Il n'entendait donc au fond qu'un jugement nécessaire ou que, par habitude, il croyait tel, et son premier pas dans la science, après le doute universel, était le rétablissement de la grande chimère de ses prédécesseurs en philosophie (1) ».

Ne pourrions-nous pas dire, presque dans les mêmes termes : « Comment oser conclure du phénomène immédiat, actuel, qui est l'existence connue d'un certain nombre d'hommes vivants, et d'où se dégage pour nous le concept de tout homme vivant, connu ou inconnu, à cette chose distincte, étrangère, qui serait le tout des hommes vivants? Le vice est manifeste dans cette proposition : les hommes vivants sont des réalités, donc les hommes vivants forment un tout. En effet, l'expression « les hommes vivants » a dans cette propo-

(1) Critique philosophique, Renouvier, 10e année, I, p. 381.

sition deux sens bien différents : c'est d'une part « tout homme vivant » tout individu qui répond à mon concept d'homme vivant, et d'autre part les mêmes mots dépassent ce concept pour désigner déjà l'ensemble de ces individus, c'est-à-dire quelque chose qui, loin d'être donné, a besoin qu'on démontre son existence. Quoi qu'il en soit d'ailleurs de la réalité de ce total numérique, est-ce une méthode tolérable que celle qui, ayant d'abord déclaré donné chaque individu séparément, applique sans façon ce même mot à cette prétendue totalité numérique niée par des philosophes de tout temps (1) ! Il est imposible qu'on songe ici à une déduction logique. Il ne saurait donc être question que d'un jugement nécessaire ou que, par habitude, on croit tel, peut-être tout simplement d'une grande chimère. »

Cette chimère se cache sous le principe du nombre. Descartes aurait tout aussi bien décoré la sienne de ce beau nom : le principe de la substance. Quelle est la chimère qui ne pourra s'abriter sous un principe ? Toute la question est de savoir si, en contestant ce principe, on se contredit, si on tombe dans l'inintelligible. Nous ne le croyons pas moins pour le principe de la substance de Descartes que pour le principe du nombre de M. Renouvier, et nous pensons avoir justifié notre opinion.

4° Enfin, prenons un dernier exemple: J'ai sous les yeux une règle en bois. C'est un objet unique, dans lequel cependant je peux distinguer des parties; ainsi, je peux la couper en deux, en trois... morceaux. Si je poursuis la division, supposé que les procédés physiques les plus puissants ne me fassent pas défaut et que je dispose du temps sans limite, est-ce que les éléments qui pourront être séparés sont en nombre fini ? On

(1) Tous ceux qui u'ont cru ni au commencement du monde ni à la limite absolue de l'univers.

répond : Oui, car la règle est la somme ou la collection de ses parties, et, par suite, celles-ci ont un nombre fini.

Nous voyons bien cette fois le tout, l'ensemble sur lequel on raisonnera; c'est la règle, ou, à chaque instant, ce tas de morceaux qui est là devant moi et occupe cette place dans l'espace. Mais les parties sont-elles données ? Qu'est-ce donc que ces éléments dont la règle est la somme ? Je vois, il est vrai, à chaque instant des morceaux séparés nettement définis. Mais cette définition dépend du moment où je me place dans l'opération à laquelle je me livre. Choisirez-vous un instant particulier pour que la définition des parties soit précise ? Vous aurez à coup sûr un nombre fini d'éléments, mais cela ne prouve rien sur le degré de divisibilité de ma règle. Vous ne choisirez pas un instant spécial ? Mais alors la définition des parties est variable, et qu'entendez-vous quand vous dites que la règle comprend un nombre déterminé de ces choses qui ne sont pas définies ? — Non, que vous en ayez conscience ou non, lorsque vous énoncez cette proposition : La règle n'est pas divisible à l'infini, parce que, se composant de parties, elle est nécessairement un nombre de parties, vous entendez sous ce mot « parties » des éléments derniers, obtenus après achèvement de la division de la règle, et vous supposez donc implicitement qu il y a des éléments derniers, des éléments indivisibles, vous supposez ce que vous vouliez démontrer. Toutà l'heure, quand des éléments individuels étaient donnés, vous parliez de leur ensemble, admettant donc à priori qu'ils ont un nombre. Maintenant c'est un objet qui est donné : vous parlez de ses « parties », comme si elles étaient données, et il est impossible de les définir, sans sousentendre ce qu'il s'agit de démontrer.

Nous touchons en somme, par notre exemple, à la question même du continu de la matière, et il est im-

possible de passer sous silence une argumentation que nos adversaires présentent fréquemment sous une forme saisissante, en reprenant pour leur compte la dialectique de Zénon d'Élée, et essayant de montrer, au nom du principe de contradiction, que le mouvement est inconciliable avec le continu, c'est-à-dire avec la divisibilité illimitée d'une étendue ou d'une durée concrète. La durée et l'étendue, disent-ils en substance, quand elles cessent d'être des quantités abstraites, pour être effectivement parcourues, traversées, apparaissent aux yeux de la raison comme nécessairement discontinues, car le continu équivaudrait à une suite inépuisable qui s'épuise, à un nombre infini d'éléments qui se finit. « La contradiction, dit M. Renouvier, est ici dans la supposition môme qui réalise l'irréalisable, ete'est l'esprit de cet argument fameux et tant méconnu de Zénon d'Élée, appelé l'Achille. Leibnitz a donné l'exemple de ne le point comprendre. » Voici en effet ce qu'écrivait Leibnitz à l'abbé Foucher : « Ne craignez point la tortue que les Pyrrhoniens faisaient aller aussi vite qu'Achille, vous avez raison de dire que toutes les grandeurs peuvent être divisées à l'infini. Il n'y en a point de si petite dans laquelle on ne puisse concevoir une infinité de divisions que l'on n'épuisera jamais. Mais je ne vois pas quel mal il en arrive, ou quel besoin il y a de les épuiser. Un espace divisible sans fin se passe dans un temps aussi divisible sans fin. » Et M. Renouvier de répondre : « Le mal qui en arrive, et pour lequel les yeux du métaphysicien sont couverts du bandeau d'un système, c'est que, s'il y a des divisions qu'on n'épuisera jamais, parce qu'elles sont sans fin, on ne les épuisera jamais en effet. Et par conséquent on ne finira pas de passer. Et quel besoin de les épuiser ? demande-t-on. Mais tout simplement le besoin de passer, si c'est de cela qu'il est question. Or,

il est bien question de passer, puisqu'on ajoute que l'espace infiniment divisible se passe dans le temps infiniment divisible. Mais l'espace et le temps ont beau se suivre et s'accommoder l'un à l'autre en parfaite correspondance dans leurs divisions respectives, ni l'un ni l'autre ne peuvent se passer, quand par hypothèse ils sont intraversables, étant inépuisables. Voilà l'argument dans sa force ; Il revient à dire que l'infini ne peut se définir (1). »

L'argument ne saurait être présenté avec plus de vigueur, il ne nous convainc pas cependant. Lorsque, envisageant une étendue parcourue par un mobile, ou la durée du mouvement, je me plais à les diviser en 2, 4, 8,... parties égales, par exemple, je mets en évidence des éléments dont à chaque instant ces quantités concrètes sont la somme. Je ne les crée pas, ils existaient avant que je leur eusse imposé des limites, mais l'étendue ou la durée ne peuvent être clairement appelées sommes de parties que si j'interviens pour définir ces parties. Si on ne reconnaît pas cette condition comme indispensable à la détermination numérique de ces quantités, qu'on nous dise de quelles parties elles sont collections ; et il n'y aurait qu'un moyen de nous répondre, ce serait de supposer tout de suite aux mots parties ou divisions un sens indépendant de notre esprit, en lui faisant désigner des élémentsirréductibles d'étendue ou de durée. Il est à peine nécessaire de faire remarquer qu'on ne prouverait rien ainsi. Dès lors, les parties ou divisions qui sont parcourues clans le temps ou dans l'espace, celles dont le nombre déterminé, fini, s'épuise nécessairement, ce sont les portions mises en évidence par moi, délimitées par moi, en ce sens que, dans la série des divisons successives auxquelles je me

(1) Critique philosophique, 5mc année, II, p. 69.

livre par la pensée, je m'arrêterai à tel ou tel moment. Mais cette suite d'opérations abstraites est illimitée, elle n'a pas de terme, nous sommes tous bien d'accord sur ce point. Nous ne risquons pas, par conséquent, de pouvoir jamais assigner ce terme, auquel correspondrait la chimère du nombre infini, à la division de nos quantités concrètes. Il ne pourra pas être question d'en faire une somme d'éléments sans fin. Dans quel sens direz-vous donc qu'une suite d'éléments sans fin se finit ? qu'une suite inépuisable s'épuise ? Ce qui se finit, c'est le mouvement, il est bien sûr que la quantité se parcourt; mais, même dans l'hypothèse du continu, c'est-à-dire en supposant que cette quantité soit divisible par moi en un nombre de parties aussi grand que je voudrai, où est la nécessité, que dis-je? où est la possibilité de dire qu'une suite illimitée d'éléments se termine, quand il entre clans la définition même de chaque élément l'obligation de faire partie d'une suite illimitée ?

Et quoi, je construis une échelle d'abstraits 1 1 |v, que vous reconnaissez sans fin ; j'envisage sur une quantité concrète une suite d'éléments correspondant aux termes successifs de ma série numérique, et, si j'admets alors que la correspondance puisse se continuer sans limite, c'est-à-dire aussi loin que je voudrai, mais de telle façon que jamais je n'embrasse ainsi la quantité entière, vous en profitez pour déclarer que celle-ci équivaut à uue suite infinie d'éléments ! De ce que je ne peux pas, si loin que je prolonge l'effort, reconstruire la quantité tout entière avec les portions que j'ajoute, vous concluez que celle-ci est la somme de la suite infinie des éléments que j'additionne î Mais c'est la conclusion contraire qui semble mille fois plus naturelle : l'étendue ou la durée ne sont pas assimilables à des sommes d'un nombre infini de parties ; et alors quel mal y a-t-il à ce que de pareilles sommes ne se

reconstituent pas, puisqu'il ne faut pas les confondre avec les quantités à parcourir? Nous dirons avec Leibnitz : Quel besoin y a-t-il que ces sommes s'épuisent? Le besoin de passer, nous dit-on. On confond deux choses bien distinctes, la fin du mouvement par lequel l'étendue ou la durée est traversée, avec la fin d'une construction, qui de sa nature même n'en peut point avoir. Prétendre le contraire, c'est supposer l'inintelligible, c'est admettre que la quantité à parcourir représente la somme des divisions qui correspondraient à tous les termes de la série abstraite supposée achevée. On nous accuse de contradiction, et on ne voit pas qu'en identifiant le fait de passer, d'épuiser l'étendue ou la durée, pour le mobile qui la parcourt, avec la nécessité pour nous de parvenir au terme d'une construction qui n'en a pas, on se rend d'abord coupable d'une confusion inintelligible. Certes, l'esprit peut éprouver quelque déception à ne pouvoir ajouter des éléments jusqu'à reproduire la quantité concrète. Il cherche instinctivement à approcher d'aussi près que possible du terme réel de la quantité, mais il se heurte à un obstacle insurmontable, dès qu'il veut ne plus se contenter d'une approximation. Il lui faut bien renoncer à concevoir l'étendue ou la durée comme sommes d'éléments se succédant d'après la loi particulière qu'il a choisie ; il lui faut bien renoncer à épuiser la quantité comme il essayait de le faire, se plaçant, pour ainsi dire, dans une position spéciale, choisie par lui, — sans nier pour cela qu'elle s'épuise réellement. A cette question : Quel besoin y a-t-il d'épuiser les divisions sans fin, il ne faut pas répondre: « Le besoin de passer », mais « Le besoin de voir passer », et de voir en regardant d'une certaine manière ; au fond, dans ce besoin qu'on nous donne comme une nécessité de fait, nous avons quelque peine à trouver autre chose qu'un caprice de l'esprit.

M. Evellin a repris, en y insistant à son tour, la thèse de M. Renouvier. C'est le fameux problème de l'Achille qui lui sert d'exemple :

« Deux coureurs entrent en lice : l'un renommé pour son agilité, c'est Achille ; l'autre connu pour sa lenteur, la tortue. Feignons, en vue de simplifier, que la vitesse du premier soit décuple de celle du second, et que la distance qui sépare l'un de l'autre soit de dix unités de mesure. Ils partent, et en peu d'instants Achille aux pieds légers atteint la tortue ; on peut même par le calcul fixer exactement le point de rencontre. Voilà le fait... Si l'espace franchi par les deux coureurs est de même nature que l'étendue idéale, Achille doit renoncer à atteindre la tortue. Comment l'atteindrait-il ? L'avance de la tortue sera toujours de un dixième de l'espace franchi par Achille, et, comme la divisiblité d'une semblable étendue est sans fin, le dixième dont nous parlons représentera toujours une étendue, par suite une avance. La rencontre en définitive sera impossible. »

A-t-on ainsi démontré vraiment que le fait de la rencontre est contradictoire avec le continu de la quantité à parcourir?

L'hypothèse du continu est traduite dans le raisonnement précédent par ces mots : « la divisibilité de l'étendue est sans fin », autrement dit : l'étendue ou la durée fournissent autant de portions que je leur en demanderai ; elles ne cessent jamais de se prêter à la détermination d'un nouvel élément concret, correspondant à un nouveau terme abstrait d'une suite évidemment sans limite. Ou les mots n'ont aucun sens, ou c'est bien là, à nous reporter aux expressions mêmes de M. Evellin, la continuité dont on veut montrer l'impossibilité, par ce seul fait que la rencontre est chose incontestable.

Or, que nous dit-on? L'avance de la tortue sera,

après chaque instant nouvellement considéré, le dixième de l'espace qu'a parcouru Achille dans la durée de cet instant ; cela est certain, mais prouve simplement qu'en découpant ainsi sur l'étendue, qui aboutit au point de la rencontre, des parties dont chacune est le dixième de la précédente, mon esprit se met dans l'impossibilité absolue d'atteindre, de saisir ce point de la rencontre... Cela n'a rien que de fort naturel, et jamais personne ne soutiendra sérieusement que nous puissions parvenir au terme d'une série qui n'en a pas. Mais nous a-t-on fait voir que l'hypothèse du continu exclut le fait de la rencontre, fait dont la réalité est en dehors de la facilité avec laquelle je le conçois ou l'imagine, quand ma fantaisie me sert de guide? On ne saurait répondre affirmativement qu'à une seule condition, c'est d'admettre la simultanéité nécessaire de ces deux choses : impossibilité pour nous de saisir le point de la rencontre comme terme d'une suite illimitée d'éléments, et impossibilité pour ce fait de se produire réellement. En d'autres mots, le raisonnement qu'on nous a présenté n'est rigoureux que si le point où se termine la quantité concrète est la fin effective de la série d'étendues que je construis successivement sur l'étendue parcourue. On n'a démontré l'absurdité du continu, que si sous ce mot on entend d'abord la réalisation de cette chose étrange : une suite illimitée d'éléments en lesquels se trouve décomposée une quantité déterminée, une suite illimitée finie, achevée, puisqu'elle représenterait dans son ensemble l'étendue ou la durée concrète qui se termine à la rencontre.

Ah ! certes, si c'est là ce qu'on entend vraiment par continu, que va-t-on chercher ce vieil argument de Zénon ? Qu'essaie-t-on de mettre en contradiction un pareil continu avec le fait du mouvement? Tout cela n'est-il pas trop compliqué pour mettre en évidence

LA SOLUTION NÉOCR1TICISTE DES ANTINOMIES

l'impossibilité d'une suite infinie finie, d'une série sans terme terminée? Mais la contradiction saute aux yeux, dès qu'on vient de construire cette notion. Celle-ci ne tient pas debout un seul instant, et il est curieux de voir alignés, pour en montrer l'absurdité, d'autres mots que ceux par lesquels on énoncerait simplement sa définition. Ce n'est pas seulement avec le mouvement, c'est avec tout ce qui existe, tout ce qu'on peut nommer et ayant un sens précis qu'est en contradiction une chose qui se détruit elle-même !

Mais peu importe : le seul fait intéressant est l'absurdité môme de cette notion. Nous tomberons d'accord avec nos contradicteurs en déclarant que sûrement la distance qui sépare le point de départ de la tortue, par exemple, du point où l'atteint Achille, ne possède pas une pareille continuité. Mais la discontinuité à laquelle on veut conclure, l'existence d'éléments irréductibles pour le lieu et la durée de la course, ne peut plus logiquement se poser comme le négatif d'un attribut qui est un non-sens. Lorsque le continu désignait simplement la possibilité d'être divisé indéfiniment, c'est-à-dire en autant de parties que je voudrais, il était bien clair qu'aussitôt le continu exclu, le discontinu s'imposait. Mais il nous a fallu renoncer à ce sens trop subjectif dont ne s'accommode pas le raisonnement de Zénon pour démontrer l'impossibilité de la rencontre effective. Maintenant que s'est objectivée la signification du continu, le raisonnement n'a pas de peine à exclure cette qualité étrange de toute chose réelle, en particulier de l'espace et du temps dans lesquels se passe un mouvement déterminé ; mais alors aucune propriété définie n'est plus démontrée. Au nom de quelle contradiction nous refuserait-on le droit de juger indéfiniment divisible le chemin qu'ont à parcourir les coursiers avant leur rencontre ?

LA CKlîTITUDE LOGIQUE

Il ne reste plus aux adversaires du continu qu a nous contester le droit de distinguer, quand il s'agit de quantités concrètes, les deux significations de ce terme. Ils nous diront : Si le chemin qu'ont à parcourir Achille et la tortue était indéfiniment divisible, il serait par cela même indéfiniment divisé, car chaque élément existe réellement avant d'être désigné. Et nous retrouvons ici ce hesoin tout naturel, pour qui veut faire aboutir la logique pure à quelque vérité concrète, d'admettre, sans s'en douter parfois, la nécessité d'ajouter un attribut déterminé à ceux qui suffiraient déjà pour former un concept parfaitement clair. L'affirmation de cette nécessité implique toujours un postulat. De quelque façon qu'on l'explique, on sort en tout cas de la logique pure, le principe de contradiction n'est plus seul à justifier les conclusions.

Faut-il beaucoup insister pour mettre ici le postulat en évidence ? Redirons-nous une fois de plus que la possibilité pour nous de distinguer autant de portions qu'il nous plaira, sur le chemin déterminé qui sépare chacun de nos coursiers du point de leur rencontre, forme un concept d'une clarté indiscutable ? que la propriété de la même étendue d'être effectivement divisée à l'infini, est un nouveau concept obtenu en ajoutant quelque chose au précédent ? Si A désigne le premier, le second sera, par exemple, A +B, et tout le monde est d'accord sur ce point que A + B est un concept mal construit ; il est contradictoire. Mais pourquoi veut-on que A soit nécessairement A + B ? Chaque élément d'étendue que je peux faire apparaître, c'est-à-dire, dans notre exemple, le dixième de l'élément précédent, n'a sans doute pas attendu que ma pensée le délimitât pour constituer une étendue véritable, mais cette remarque ne s'applique qu'aux éléments désignés. Il y a, dans la définition de chaque portion nouvelle, une condition qui dépend

de mon esprit, et elle suffit pour qu'une partie seule du chemin à parcourir soit clairement une somme effective de ces portions de chemin. Vouloir que le chemin entier soit une pareille somme, c'est énoncer, sans la démontrer, une proposition qui dépasse dans la suite des idées tout ce qui était posé jusque-là. Ce saut que l'on franchit en substituant ainsi A + B à A est en somme tout ce qui nous sépare. On ne peut le combler sans sortir de la logique, et cela suffit pour que nous déclarions hardiment qu'on ne raisonne plus sous la garantie du principe de contradiction.

Au surplus, si nous résumons le raisonnement qu'on nous propose, il se réduit au suivant : Ces trois choses ensemble, le mouvement, le continu et le postulat suivant lequel une étendue ou une durée sont effectivement des nombres de parties, impliquent contradiction : donc le continu est inacceptable. Il serait tout aussi logique de conclure, en postulant le continu: donc il est faux que toute durée ou étendue soit effectivement une somme de parties.

Ainsi cette argumentation spéciale fondée sur la considération du mouvement ne vient rien changer à nos conclusions, et nous avons bien le droit de dire :

En dehors des cas où un ensemble est donné, ainsi que ses parties, le principe de contradiction ne nous empêche pas d'envisager et de définir des individus, sans concevoir leur ensemble, ou de considérer un tout décomposable en éléments sans concevoir un nombre déterminé d'éléments, dont il soit la somme.

Dès lors, la considération de tels événements passés qu'il nous plaira de définir, celle de telles portions de matière que nous saurons distinguer dans l'univers, enfin la conception, dans une chose quelconque, de telles parties que nous définirons à notre gré, n'impli-

quent pas la nécessité logique d'affirmer un passé limité, un univers borné, une matière, discontinue. C'est à tort que le néocriticisme a cru pouvoir résoudre les antinomies de Kant au nom du principe de contra diction : l'antithèse n'est pas contradictoire (1).

(1) Nous n'avons pas ici à discuter si, cessant d'être contradictoire, l'antithèse est plus ou moins compréhensible que la thèse, puisque le principe de contradiction ne serait plus eu jeu dans le débat.

CONCLUSION

Nous avons voulu établir que l'esprit doit renoncer à toute certitude logique dans le domaine du réel. Une analyse directe des conditions nécessaires à la contradiction nous a permis d'abord de démontrer notre thèse à priori. Sans revenir sur le subjectivisme kantien qui atteint toute notion, toute idée, toutes nos représentations, nous avons distingué celles-ci par le rôle plus ou moins précis que joue l'esprit dans leur formation, et nous avons ainsi pu montrer que la certitude logique exigerait, pour se reconnaître, la réalisation d'une condition idéale, dont on peut approcher sans jamais l'atteindre rigoureusement, à savoir l'exclusion de toute matière imposée à l'esprit dans la construction des éléments sur lesquels il raisonne. Et en même temps il nous a été permis de constater que, plus cette condition idéale est près d'être réalisée, plus est légitime l'usage du principe de contradiction, plus aussi est subjective, relative à nous-mêmes et non aux choses, l'indication qui en résulte.

De ces considérations générales et abstraites nous

avons porté la discussion sur un terrain concret et vivant, pour ainsi dire, en demandant aux mathématiques telles qu'elles existent de nous donner le secret de la rigueur logique qui leur est propre; et, soit en nous adressant au flair instinctif du mathématicien ; soit par F étude attentive de l'évolution que semblent suivre les notions essentielles de l'analyse moderne, à mesure qu'elle devient de plus en plus rigoureuse ; soit enfin par l'examen du rôle que jouent les concepts mathématiques dans la science générale de l'univers, nous avons été amené à concevoir une mathématique idéale ayant pour objets des éléments dépourvus de toute qualité sensible, de pures constructions de l'esprit, et dont la mathématique elle-même se rapproche de plus en plus à mesure qu'elle veut être plus démonstrative. La certitude logique, poursuivie par nous dans son domaine propre, ne nous est donc apparue que comme cachée sous un voile qui la sépare de la réalité objective, et nous avons été conduit par celte recherche exactement aux conclusions de notre première analyse.

Certes nous aurions eu peut-être alors le droit de juger notre thèse définitivement établie. Mais quiconque a parcouru la littérature philosophique de ces derniers temps sait avec quelle ténacité et quelle confiance naïve, contrastant singulièrement avec le scepticisme ordinaire de nos penseurs, un certain nombre de doctrines se trouvent couramment affirmées, qui contredisent manifestement notre thèse. Qui n'a lu ou entendu cette assertion que la « conservation de la force », pour employer une expression courante, condamne, au nom de la rigueur mathématique, la liberté psychologique ? Qui n'a rencontré cette affirmation si souvent répétée depuis Riemann, que Lobatche wsky et les néogéomètres ont définitivement ruiné la thèse de l'idéalisme kantien ? Enfin et surtout qui n'a eu l'occasion de lire, non pas seu-

CONCLUSION

lement dans les écrits de M. Renouvier, mais dans les revues, dans les livres, dans les manuels, que ce qu'on nomme « l'infini actuel » est définitivement condamné au nom du principe de contradiction ?

Nous avons donc abordé l'examen direct de ces problèmes, en essayant de dénoncer chaque fois l'illusion d'où sont nées les opinions courantes. C'est ainsi que nous avons réduit le déterminisme mécanique au sentiment pur et simple de la causalité, que nous avons ramené les prétendues conséquences philosophiques de la géométrie non euclidienne à l'opinion à priori qui les suggère, sans que cette géométrie vienne l'appuyer d'aucun argument nouveau, qu'enfin nous avons montré, enveloppées dans un postulat spécial, qui ne s'impose pas au nom des exigences primordiales de l'entendement, les raisons apportées pour la prétendue solution logique des antinomies.

Aurons-nous réussi à ruiner désormais l'illusion de la certitude logique? — Hésiterait-on à nous suivre par crainte de quelque contre-coup qu'en pourraient ressentir la science et la morale ? Ce serait mal comprendre le véritable caractère de l'une et de l'autre.

A mesure que l'observation et l'expérimentation des faits se poursuivent et se perfectionnent, l'esprit s'efforce d'en dégager des notions, des lois, des formules, des théories, qui lui permettent de constituer la science, c'est-à-dire d'interpréter les faits sous une forme compréhensible, qui substitue l'unité à la multiplicité, l'ordre au désordre, le lien, le rapport, à la diversité brutale, la constance au perpétuel changement. Cette interprétation en un langage forgé par l'esprit au contact des choses, et inspiré, suggéré par elles, lui permet d'ailleurs non seulement de comprendre, en les reliant entre eux, les phénomènes dont la trame complexe forme la réalité, mais encore de les prévoir, et, par suite, aussi

de les utiliser de mieux en mieux. En vertu d'une sélection naturelle, déterminée précisément par les progrès réalisés clans cette double voie de la compréhension théorique et de l'application, et parallèlement à l'observation des faits, les idées, les lois, les conceptions se succèdent, tantôt ne se prêtant qu'à une courte apparition, tantôt, au contraire, devant aux facilités qu'elles créent de sembler définitives. Ainsi se réalise dans les voies parallèles de l'expérience et de l'idée, un double progrès indéfini, ainsi se forme et se formera indéfiniment la science. L'absence de certitude logique équivaut ici à la nécessité que la science ne s'achève jamais, ni en aucun point, et que sa marche en avant se poursuive aussi longtemps que durera l'humanité elle-même.

Quant à la morale, qu'a-t-elle besoin de certitude logique ? Le sentiment du devoir et tous ceux qui l'accompagnent dans notre conscience ne s'imposent-ils pas avec une nécessité qui, par sa nature même, se sent au-dessus de toute tentative d'explication logique ? Ne trouvons-nous pas dans les élans de notre activité morale une base assez ferme et assez sûre ? Non seulement sur ce terrain nous nous sentons solides, du jour où nous renonçons franchement à toute certitude logique, mais même nous pouvons nous croire inattaquables Que pèseront en effet, près des idées morales qui s'imposent à nous, tous les systèmes plus ou moins ingénieux qui ne se trouveront pas en accord complet avec elles ? Nous saurons d'avance qu'ils ne se présentent pas plus qu'elles au nom des exigences logiques de l'entendement, qu'ils reposent en dernière analyse sur quelques postulats, suggérés par d'autres idées, et, nous plaçant au point de vue objectif, c'est-à-dire ici pratique, nous repousserons ces théories uniquement parce qu'elles heurtent un sentiment inébranlable. Mais, en les repoussant dans leurs applications pratiques,

CONCLUSION

nous saurons aussi, en raison de notre sécurité môme, apprécier sans arrière-pensée l'intérêt théorique des conceptions, et les juger dans leurs rapports avec les faits ou les analogies qui les ont suggérées : bref, nous sentant pratiquement au-dessus d'elle, nous saurons accorder à la science humaine, sur ce point comme sur tous les autres, la tolérance absolue dont elle a besoin pour continuer indéfiniment son œuvre.

C'est ainsi que nos conclusions, si restrictives à l'égard de la certitude logique, ne laissent pas de s'accorder avec les revendications les plus hautes de notre nature intellectuelle et morale.