CHAPITRE

LA PRÉTENDUE SOLUTION DES ANTINOMIES MATHÉMATIQUES DE KANT PAR LE PRINCIPE DE CONTRADICTION

Il nous reste à examiner l'application la plus saisissante peut-être qui ait été tentée de nos jours du principe de contradiction . Nous voulons parler de la solution des antinomies mathématiques de Kant, que nous ont présentée avec tant de force et d'insistance les chefs du néo-criticisme français.

On sait qu'à ces questions : Le monde a-t-il commencé? L'univers est-illimité dans l'espace? La matière est-elle divisible à l'infini ou constituée par des éléments indivisibles? Kant répondait en affirmant l'impuissance de la raison à prendre parti pour la thèse ou l'antithèse. D'une part (thèse) le monde a commencé, et l'univers est limité, car une série infinie dans le temps ou dans l'espace est au-dessus de ce que peut saisir notre entendement; d'autre part (antithèse) le monde n'a pas commencé, et l'univers est sans bornes, car un commencement absolu dans le temps ou dans l'espace vides est incompréhensible. Et de même s'il s'agit de la

composition de toute substance : d'un côté (thèse), elle est formée de parties simples, car nous ne saurions concevoir un ensemble d'éléments dont le nombre est infini ; et cependant (antithèse) aucune substance n'est composée de parties simples, parce que nous ne pouvons concevoir un terme à sa divisibilité.

Kantse trompe, — est venu dire à son tour M.Renouvier, — en donnant la même importance aux inconcevabilités de la thèse et de l'antithèse. La thèse de chacune des antinomies n'est qu'incompréhensible : l'antithèse est contradictoire . Or, ce qui est contradictoire est faux, et comme de la thèse et de l'antithèse, ainsi que l'avait déjà déclaré Hamilton, l'une est nécessairement vraie et l'autre fausse, la thèse se trouve démontrée.

Si M. Renouvier avait raison, nous aurions été nousmêmes victime d'une étrange illusion en déclarant que le principe de contradic tion ne saurait autoriser aucune affirmation que l'observation ne puisse vérifier : essayons de montrer au contraire que cette théorie de M. Renouvier n'est pas justifiée logiquement, et disons notre opinion avec toute la franchise que l'on doit à J'illustre penseur.

Quel est dans ses traits essentiels le raisonnement à priori par lequel on démontre le commencement du monde, la limitation de l'univers, l'existence d'éléments indivisibles de la matière ?

1° Les idées cle nombre et d'infini sont contradictoires.

2° 11 ne peut donc se faire qu'une somme de parties, t une collection d'éléments, soit formée d'un nombre infini de parties ou d'éléments.

3° Comme application : il est faux que le passé soit la somme d'un nombre infini d'événements écoulés, que

l'univers soit une collection d'un nombre infini de corps distincts ; qu'enfin un fragment de matière quelconque soit la somme d'un nombre infini d'éléments.

4° Donc le monde a commencé, l'univers est limité, la matière est décomposable en éléments indivisibles.

1. — Non seulement nous ne rejetons pas l'affirmation qui sert de point de départ à ce raisonnement, mais peut-être l'accueillons-nous plus facilement encore que ceux mêmes qui nous l'apportent. On sent trop souvent le besoin d'insister, à l'exemple de Gauchy, sur telle ou telle absurdité qui résulterait de l'hypothèse du nombre infini. A nos yeux, dans la formation des nombres abstraits par l'esprit, chacun a pour définition d'être un symbole succédant au dernier auquel l'esprit s'est arrêté et précédant celui qui suivra. D'après cette définition même, la création d'un nombre nouveau n'implique jamais aucune impossibilité, il ne saurait donc exister un nombre venant après tous les autres dans cette suite, un nombre plus grand que tout nombre assignable, en d'autres termes enfin un nombre infini. Qui dit nombre, dit nombre fini, ou plutôt ces deux mots réunis ne signifient rien de plus que le premier tout seul.

Remarquons bien qu^ la possibilité indéfinie de former un nombre nouveau est au fond ce qui rend absurde l'idée d'un nombre plus grand que tous les autres. De sorte que c'est dans une même vue, au simple examen de la notion abstraite de nombre, que la suite des nombres nous apparaît d'une part comme illimitée ou comme indéfinie, d'autre part comme incapable de devenir infinie. C'est d'ailleurs le premier caractère, c'està-dire la possibilité pour la suite des nombres de se prolonger sans limite, qui constitue la notion de l'infini mathématique. « La notion de l'infini dont il ne faut pas faire mystère en mathématique se réduit à ceci :

après chaque nombre entier il y en a un autre (1). » Les mathématiciens le sentent ordinairement fort bien, et c'est pour cela que, tout en faisant un fréquent usage de ce terme d'infini, ils sont souvent les premiers à s'élever contre l'idée absurde du nombre infini.

2. — Jusqu'ici nous ne sortons pas du domaine des abstractions ou des possibles. Envisageons le monde concret. Se peut-il rencontrer quelque part un nombre infini d'objets distincts ? Non assurément. Nombre infini est un attribut chimérique qui n'existe pas (puiqu'il se détruit lui-môme), qui ne saurait figurer dans la liste d'attributs à l'aide desquels mon esprit interprète le réel, le traduit pour lui-même. Comment serait-il jamais conduit à l'énoncer dans son fonctionnement normal en face de l'expérience? Une condition nécessaire pour qu'un attribut puisse être attribué par nous aux choses n'est-elle pas avant tout que cet attribut ait une réalité dans la pensée ? Dès que la notion de nombre infini abstrait a été rejetée comme étant un rien dans la pensée, la réponse s'est trouvée faite à cette question : Un nombre infini d'objets peut-il se rencontrer dans le monde concret? 11 ne saurait donc exister aucun ensemble d'éléments, aucune somme de parties dont le nombre soit infini.

3. — Mais alors, le passé n'est donc pas la somme d'un nombre infini d'événements ? L'univers n'est pas un nombre infini de corps distincts ? La matière n'est pas la somme d'un nombre infini de parties ? Nous n'hésitons pas à répondre : Non. L'affirmation, pour chacune de ces questions, équivaudrait à une absurdité, puisque, encore une fois, elle énoncerait un attribut qui n'existe pas pour l'esprit.