CHAPITRE II

MATHÉMATIQUES PURES (suite)

Pour laisser les idées se suivre plus naturellement, nous avons donné peu de place aux exemples, nous réservant d'éclaircir encore et d'achever de justifier nos assertions, en montrant quelles transformations l'analyse pure a dû faire subir à ses notions fondamentales, pour s'identifier de plus en plus avec la mathématique idéale que nous avons définie.

A. — Le nombre arithmétique.

1. — L'idée primitive du nombre est évidemment celle que fournit une collection d'objets distincts. Le nombre est tout d'abord concret, il ne se sépare pas de la collection à laquelle on le fait correspondre.

Un premier pas fait clans le sens de l'abstraction, ou dans Féloignement de la qualité sensible, conduit au concept du nombre abstrait, collection d'unités indéterminées. L'esprit se forme une suite illimitée de nombres, dont chacun est défini par la propriété d'avoir une unité de plus que le précédent. Mais, en procédant ainsi, il n'abandonne pas complètement le domaine concret, et, s'il laisse indéterminé le genre des unités, il ne se représente pas moins chaque nombre comme une collection nouvelle qu'il obtient en introduisant un objet de plus dans la précédente. Cette image de la collection concrète va lui fournir les premiers principes fondamentaux, ceux qui aboutissent à la formation des

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nombres par addition. Il ressort clairement, en effet, de la représentation concrète, que l'ordre dans lequel on envisagera successivement les objets de la collection, pour les compter, n'influera pas sur leur nombre; que, si par la réunion de deux collections d'objets on veut en faire une troisième, il suffit d'ajouter à l une successivement tous les objets de l'autre ; que dans cette opération on peut, sans rien changer au résultat, échanger les rôles des deux collections ; que si l'une des deux est déjà formée par la réunion de plusieurs collections, il revient au môme de réunir avec l'autre chacune des collections partielles, ou successivement chacun des objets qui l#s composent. Ces postulats sont les fondements de l'addition arithmétique ; de la soustraction, par conséquent, qui se définit comme opération inverse de la précédente ; de la multiplication, qui se réduit à une série d'additions ; enfin de la division, qui théoriquement se ramène à une série de soustractions. Par eux se trouvent donc introduites les premières relations simples entre les nombres, les premières égalités exprimant que la même collection peut se former de plusieurs manières, et enfin sur ces égalités repose toute la théorie des nombres entiers.

2. — La comparaison des grandeurs de même espèce conduit bientôt au concept de nombre fractionnaire : c'est toujours au fond le nombre entier, mais les objets de la collection deviennent des parties aliquotes de l'unité primitive. Celle-ci est supposée divisible en un nombre quelconque de parties égales.

En posant le concept nouveau comme une généralisation du nombre, en appelant désormais de ce nom le symbole numérique destiné à indiquer comment une quantité quelconque est composée à l'aide de la quantité unité, l'esprit réalise un progrès dans la voie qui

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l'éloigné du sensible; mais il n'en est pas encore aussi loin qu'on pourrait croire. Toute la théorie et le calcul des fractions reposent en effet sur un nouvel appel à la représentation des quantités concrètes. Qu'entendrat-on quand on dira que | est égal à 2? Il est clair que

si a est égal à a\ et b à b', l'égalité ? = y se trouvera suffisamment justifiée sans commentaire. Mais est-il nécessaire que ces conditions soient remplies pour qu'il puisse être question d'égalité ? Non, assurément, pourvu que l'égalité porte sur les quantités concrètes que mesurent les deux fractions. Il faut donc se représenter deux grandeurs de même espèce, emprunter, par exemple, à l'intuition géométrique l'image de deux longueurs, formées l'uneen portantàla suite^foisla bme partie de l'unité, l'autre en portant a' fois la b/me partie de cette même unité : l'égalité | = |! signifiera simplement que les deux longueurs obtenues peuvent coïncider. L'inégalité ~ > |, s'entendra d'une façon analogue. Le théorème fondamental, suivant lequel la fraction n'est pas altérée quand on multiplie ou divise les deux termes par un même nombre, s'établit alors, presque sans démonstration, par un appel direct à la représentation concrète : Si le numérateur a est multiplié par n, il faut prendre n fois plus de parties pour former la longueur correspondant à la première fraction, cette longueur devient clone n fois plus grande, etc. L'addition des fractions n'a pas d'autre sens que l'addition des quantités concrètes qu'elles mesurent. Le produit | X fi ' rePré" sentera la longueur que mesurerait^ |, si la longueur | était prise pour unité, d'où la règle qui sert à trouver ce produit. Bref, c'est de la représentation sensible que l'esprit tirera tous les éléments nouveaux nécessaires à l'étude des fractions, 3. — Toute grandeur n'est pas nécessairement la

somme d'an certain nombre de parties aliquotès de la grandeur unité, si petites qu'on les choisisse. Ainsi la diagonale d'un carré ne contient un nombre exact d<> fois aucune partie aliquote du côté, elle est incommensurable avec lui, comme le savaient déjà les pythagoriciens. Si donc le côté est pris pour unité de longueur, il ne correspondra, pour la diagonale, aucun nombre entier ou fractionnaire qui en soit la mesure. Pour qu'on puisse encore parler du nombre qui mesurera la diagonale, il faut que ce concept subisse une transformation nouvelle; il faut que le nombre devienne définitivement un symbole que, par définition, on fera correspondre à tout état de grandeur, quel qu'il soit.

Que sera la valeur d'un nombre incommensurable, comparée, soit aux nombres entiers ou fractionnaires, soit à d'autres nombres incommensurables? Quel sera le sens des opérations effectuées sur des nombres, dont l'un au moins est incommensurable ? La représenta tion des quantités concrètes donnera la réponse à ces questions.

Il est clair d'abord que, si a est un nombre incommensurable, c'est-à-dire le symbole arithmétique d'une longueur A incommensurable avec l'unité, et si b est le symbole répondant à la longueur B, les relations a=b, a>by a<b signifieront simplement que A etB ont entra elles les mêmes relations de grandeur ; a + b représentera la somme des longueurs A et B, a — b leur différence, somme et différence qui conservent d'ailleurs une signification précise indépendante de la nature des nombres a et b.

Pour aller plus loin, il faut définir les valeurs approchées du nombre incommensurable. Supposons la longueur unité divisée, en n parties égales : soit / la longueur commune à ces parties. Si nous portons / sur la

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longueur incommensurable AB, à partir de A, autant cle fois que ce sera possible, B se trouvera compris entre le

dernier point de division ainsi obtenu,