I : ^r"g7 et *8 P°*nî ^' situé

au delà de B, sur la ligne AB, et tel que CC soit égal à Si, par exemple, on a AC = /X P- AC = / X (P + l)i ie nombre incommensurable a, qu'on fera correspondre à AB, sera compris entre ceux qui mesurent AC et AC, c'est-àdire entre ^ et puisque cela signifie simplement

que AB est compris entre AC et AC. Il n'y a plus qu'à faire croître n indéfiniment, ou faire tendre / vers zéro : on fera naître une double série de longueurs telles que AC et AC, de plus en plus approchées de AB, et admettant AB pour leur limite commune, puisque CC tend vers zéro. On pourra dire, en d'autres termes, sans exprimer autre chose, que les deux séries de valeurs telles que ;- et 1 admettent pour limite commune le nombre incommensurable a. Ce sont là les valeurs approchées du nombre incommensurable qui entreront à sa place dans les calculs pratiques.

Tout cela est clair, mais jusqu'ici nous apercevons une chose indispensable pour qu'il soit permis de parler de nombre incommensurable, c'est la connaissance préalable d'une quantité incommensurable concrète à laquelle il corresponde, et qui lui serve, pour ainsi dire, de substratum. Cette condition, nécessaire à l'existence d'un nombre incommensurable, peut disparaître.

La quantité AB posée à priori est, avons-nous dit, la limite commune des deux séries de longueurs telles que AC et AC, ou encore a est la limite commune des deux séries de valeurs approchées telles que^et^t-1. Les

nombres de la première série sont moindres qiùm nombre quelconque de la deuxième, et la différence entre deux valeurs de môme dénominateur (;- et £-±-h tend vers zéro, puisqu'on fait croître n indéfiniment. Eh bien! réciproquement, supposons que, dans une question quelconque, nous soyons conduits à deux suites illimitées de nombres présentant ces deux mêmes propriétés : Si nous imaginons une espèce de quantité telle que à chacun de ces nombres puisse correspondre un état de la quantité, nous aurons deux suites d'états qLi qz...., <7n..., et Q,, Q*..., Qn..., dont les premiers restent inférieurs aux seconds, la différence devenant d'ailleurs aussi petite qu'on veut. Faisant un dernier appel à l'intuition sensible, à cette vue de continuité qu'implique pour rimagination au moins la représentation d'une durée ou d'une étendue, et qui nous montre, entre ces deux suites d'états de la quantité, un état nouveau, ne se confondant avec aucun des autres, supérieur aux premiers, inférieur aux seconds, nous admettrons par un postulat spécial qu'un pareil état existe. Il peut être commensurable, ce dont on s'assurerait en constatant qu'un certain nombre entier ou fractionnaire est la limite commune des deux suites de valeurs. En général, il sera incommensurable, et nous nous trouvons ainsi avoir fait naître la quantité incommensurable nécessaire à la signification du nombre, sans que cette quantité ait été posée à priori.

Si le postulat d'où elle a pu sortir est un appel à la représentation sensible, il ne réalise pas moins, par son caractère de généralité, un progrès immense dans la voie qui nous en éloigne. Désormais, un nombre incommensurable sera simplement défini par deux suites abstraites S et S' répondant aux conditions indiquées; il sera déterminé par les valeurs approchées dont il est la limite. Rien n'est plus facile alors que de définir le

MATHÉMATIQUES PURES

produit ou le quotient de deux nombres incommensurables ; que de définir yj N~ quand N n'est pas un carré, etc.

4. — Mais le postulat lui-même peut disparaître enfin. Il suffit de renoncer à voir la quantité incommensurable sous le symbole qui y correspond, et de convenir que les deux suites de nombres, S et Sf, quand elles ne sont pas séparées par un entier ou une fraction, définissent un nombre incommensurable. Par définition il sera plus grand qu'un nombre de la première suite, et plus petit qu'un nombre de la deuxième. Par définition les opérations sur les nombres incommensurables seront telles que rien ne soit changé à leur calcul, et que tout se passe, au point de vue des résultats, comme si, au lieu de s'en tenir à un symbolisme pur, on avait conservé, dans rétablissement des principes, l'intuition des quantités concrètes. Mais qu'importe? Tépuration se fait, la notion du nombre incommensurable se dépouille de toute aperception sensible ; les postulats disparaissent, et, à part les données intuitives qu ont exigées les notions premières d'entiers et de fractions, le nombre se pose comme une création de l'esprit (1). Au fond, sans doute, les postulats se cachent pour se montrer de nouveau à l'occasion d'une application concrète. Ils ne sont que déplacés : si pour une grandeur quelconque on veut parler d'un état correspondant à quelque symbole incommensurable, il faudra admettre que, par sa nature, elle est susceptible d'une pareille détermination; ce qui revient encore à dire que, d'une part, elle peut prendre toute valeur marquée par un nombre fractionnaire, et que, d'autre part, entre deux suites d'états mesurés par des séries

(1) On trouve aussi dans les traités d'analyse d'autres méthodes de définition des incommensurables ; au fond, elles ne diffèrent pas essentiellement de celle que nous indiquons ici.

de nombres telles que S et S', il existe un état intermédiaire de la grandeur. Du moins la rigueur logique des constructions de l'esprit se trouve de plus en plus nettement séparée des conditions objectives auxquelles elles pourront être utilisées.

5. — Revenant maintenant en arrière, envisageons à leur tour les données premières relatives à la fraction et au nombre entier, et voyons si elles ne se réduisent pas aussi entre les mains des analystes modernes. Pour la fraction, la question est des plus simples. Rien n'empêche de laisser de côté le partage de l'unité on parties égales, et la formation de diverses quantités par la répétition de parties aliquotes de cette unité. Il suffira d'appeler fraction le symbole ~ où a et b sont des nombres entiers quelconques ; d'appeler égales deux fractions formées des mêmes nombres quand on a divisé de part et d'autre les deux termes par tous leurs facteurs communs. De cette définition résulte, en particulier, ce point fondamental que la valeur d'une fraction n'est pas altérée si on multiplie ou qu'on divise les deux termes par un même nombre : d'où la simplification des fractions et leur réduction au même dénominateur; d'où enfin les règles de calcul, dont le but se définira par le résultat lui-même.. Ainsi/ajouter ou multiplier deux fractions, ce sera former de nouvelles fractions à l'aide de telle série de calculs, etc.

Reste seulement alors, pour servir de fondement à l'analyse, une certaine quantité de données intuitives, celle qu'implique la notion du nombre entier. Il serait illusoire de vouloir la supprimer complètement, du moins il est possible de la réduire encore à un minimum indispensable. Signalons, par exemple, la suite d'idées qui permet à Helmholtz de résoudre ce problème de reconstruction logique. Elle consiste à supprimer la notion concrète de la collection, avec tous les postulats

MATHÉMATIQUES PURES

qu'elle implique, et fonde le concept du nombre sur Tidée de succession clans le temps, que suffit à nous donner le souvenir d'un étatpsychique passé se mêlant dans la conscience à une représentation actuelle. Celte idée de succession nous permet de construire une série de symboles dont chacun sera défini par la propriété devenir après le précédent. Il reste alors (1) à définir,

(1) Portons notre attention sur un terme de cette série (pour plus de commodité nous représenterons les différents termes par des signes absolument quelconques), puis sur chacun de ceux qui suivent dans l'ordre où ils se présentent, et désignons-les respectivement par un, deux, trois. . Cela s'appellera compter^ Les notations du système décimal, par exemple, nous permettront d'aller aussi longtemps que nous voudrons, sans jamais répéter d'ailleurs la même désignation, ou. suivant l'expression que nous conviendrons d'adopter, le même nombre-, Nous appellerons supérieurs à un nombre tous ceux qui- le suivent dans notre série ; inférieurs, tous ceux qui !e précèdent. Deux nombres correspondant à des éléments distincts de la série sont dits inégaux : l'un d'eux est nécessairement supérieur à l'autre. Deux nombres correspondant au même élément et qui, pour une raison quelconque, auront reçu deux désignations distinctes, seront dits égaux. 11 résulte évidemment de cette définition que deux nombres égaux à un troisième sont égaux entre eux.

Addition, a étant un nombre quelconque, nous représenterons par a -f- 1 le nombre suivant, de sorte que, si b était la première désignation de ce dernier nombre, quand on avait compté un, deux, trois, etc., à partir d'un élément déterminé de la série, on a, par définition, l'égalité = [a + 1). Plus généralement, nous représenterons par a + b) le nombre de la série qu'on serait amené à désigner par b, si on avait compté un pour le nombre (a -j- 1), deux pour le nombre | a + 1) + 1], etc. Cette définition a pour conséquence immédiate l'égalité

le nombre marqué par le premier membre est, en effet, celui qui suit [a -f- b) ; on y est donc conduit en comptant un, deux, trois, etc., à partir de {a + 1) jusqu'à (6 +1), de sorte que, par définition, ce nombre peut être encore désigné par [a + (b -f- 1)]. Ainsi de nos premières définitions résulteront les égalités

{a '+ i) + 1 == a -f (i + 1\ au a ,-f- 2 . (a + 2) + 1 ' = a -f 3

L'addition se trouve de la sorte complètement définie. On voit immédiatement que cette opération marquée par le symbole (a + b) a un résultat unique, chacun des termes de ce processus étant lui-même

à l'aide de ces symboles, des opérations telles que les postulats fondamentaux, fournis par Faperception des collections concrètes, en résultent logiquement, et que

bien déterminé, de sorte que la défi n i tion même de l'addition implique cet axiome : deux nombres égaux, ajoutés à un même troisième, donnent des résultats égaux.

Trois caractères essentiels la distinguent encore de l'addition ordinaire : 1° la loi d'associalivité [(a + 6) + c — a + (b -f- c)] n'est établie que pour le cas c = l ; 2° l'addition n'est pas donnée comme inversible : dans l'opération marquée par (a -f b) les rôles de a et de b ne sont pas les mômes. Si nous disons que (a + b) est le résultat obtenu en ajoutant b à a, il n'est pas évident que le résultat obtenu en ajoutant a à b lui est égal ; 3° il n'est nullement évident que, si l'un des deux termes a ou b est changé, le résultat (a + b) est également changé.

Il reste donc a montrer qu'on peut déduire logiquement des premières délinitions ces trois propriétés de l'addition ordinaire.

1. — Loi d'associativité. (a -\- b) -f- c — a + (b + c) (2). L'égalité a lieu pour c = 1, ainsi que nous l'avons remarqué. Il suffit alors, pour en établir la généralité, de montrer que, si elle est vraie pour un nombre c, elle est encore vraie pour c -f- 1. Or, en vertu de (1), nous avons

D'autre part l'égalité (2) étant supposée vraie pour le nombre c, nous avons

de sorte que nous pouvons écrire

et finalement,

2 — Loi de réversibilité, a-f- b — b -f a.

Considérons d'abord le cas particulier où b est 1. L'égalité à démontrer est alors (3) a + 1 = 1 + a

Remarquons que, pour a = : 1, elle est vérifiée d'elle-même, les deux nombres désignant le résultat de la même opération (1 — f- 1 ) . Il suffit donc de montrer que, si elle est exacte pour un nombre a, elle l'est encore pour a + 1. Or, en vertu de (l),nous avons

Admettons que l'égalité (3) soit exacte pour a, nous pouvons écrire (1 + a)+ ! = (« + 1) + i,

MATHÉMATIQUES PURES

rien ne soit changé à la théorie de l'addition des nombres. Sur cette hase unique et si simple, la notion de l'antériorité d'nn fait par rapport à un autre, se trouvera donc construite rationnellement toute l'arith-

et, par suite,

L'égalité (3) est donc établie pour tout nombre mis à la place de a.

Passons maintenant au cas général: b est quelconque. Gomme l'égalité à établir est déjà démontrée pour le cas où b est 1, il suffit de faire voir que, si elle est exacte pour un nombre 6, ede l'est pour b -f 1. Or, en vertu de (I), nous avons

(a + 6)+l=«+(Hl) Supposant notre égalité exacte pour h, et nous appuyant sur (3), nous pouvons écrire

Donc

5 + (Hi)^(è + t) + a.

3. — Si l'on remplace l'un des deux nombres par un autre qui lui soit inégal, le résultat de l'addition sera aussi inégal au premier.

Observons d'abord que nos définitions premières ont pour conséquence immédiate que, si deux nombres sont inégaux, et, par suite, si l'un est supérieur à l'autre, il existe un nombre déterminé qui, ajouté au second, fournit le premier, et, réciproquement, ce fait suffit à établir que les deux nombres sont inégaux.

Dès lors, soit f un nombre supérieur à a, et désignons par b le nombre tel que l'on ait

Nous avons :

c -f- a est donc nécessairement différent de c + f. Deux nombres inégaux ajoutés au même nombre donnent des résultats inégaux. En outre, puisque

*+/=/+ c et c -f- a = a + c,

nous avons :

f -\-c et a + c sont inégaux : le même nombre ajouté à des nombres inégaux fournit des résultats inégaux.

L'addition, telle que nous l'avons définie, se confond donc par toutes ses conséquences avec celle qui avait son origine dans l'intuition directe des collections d'objets.

naétique, et, comme on va le voir, l'analyse tout entière.