PREMIÈRES DÉFINITIONS

expliqué auparavant comment une pareille figure est possible, si l'esprit n'a pas été amené par degrés à faire une série d'abstractions déterminées et analogues à celles qui ont été indiquées plus haut. Dans le cas actuel, chacune de ces abstractions n'est autre chose que l'opération dont il a été question dans le développement des qualités particulières que doit posséder une bonne défiuitjon géométrique (chap, IV); chacune d'elles est une démonstration servant à établir que la figure définie est

Pour démontrer qu'une figure géométrique est possible, il suflSt, comme on l'a vu, de donner un moyen de construire cette figure ; co moyen peut être très-mauvais, si l'on essaie de le mettre en pratique, il peut être une simple opération de l'esprit, comme dans ces premières définitions de la géométrie; mais il faut que ce moyen soit donné pour que la définition se trouve justifiée. C'est donc par un pur oubli de l'une des qualités essentielles que doivent posséder toutes les définitions géométriques, que certains auteurs, bien intentionnés d'ailleurs, ont cru pouvoir écourter ainsi les premières définitions de la géométrie.

Rien n'empêche, d'ailleurs, de retourner après coup la série des idées qui ont conduit l'esprit à la découverte du point mathématique, et d'imaginer qu'un point se déplace dans l'espace. Ce point, dans son mouvement, produira une ligne; la ligne en mouvement décrira une surface, et la surface un volume.

Il est à noter qu'en général l'opération, qu'on indique pour démontrer qu'une figure géométrique est possible, n'est pas toujours la plus simple manière de construire cette figure. S'il arrive que la meilleure solution

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54 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

logique soit aussi la meilleure solution pratique, tant mieux! mais, à coup sûr, ce ne sera pas toujours ainsi, et souvent même le contraire se produira.

Cela tient à ce que, dans la bonne pratique des choses, on doit mettre en jeu tous les résultats obtenus, toutes les connaissances acquises sur le sujet en question, sans s'inquiéter de l'ordre logique des idées; quelquefois même, la meilleure application pratique exigera le renversement complet de l'ordre logique des idées qui ont conduit à faire cette application. Dès qu'il s'agit d'atteindre un but pratique, le procédé le plus court est évidemment le meilleur; mais, pour justifier une définition placée au début d'une théorie, il y aura toujours péril, au point de vue de la logique, à renvoyer le lecteur, commp l'ont fait plusieurs auteurs et notamment Clairant, à la solution d'un problème qui n'est donnée qu'à la fin de cette théorie.

C'est sans doute en l'entendant de cette façon, mais en se trompant de mot, que des esprits sérieux ont osé dire tout haut et écrire tout au long qu'il j a deux espèces de logique, la logique théorique et la logique pratique, et que, dans l'enseignement classique, on doit tenir compte de la seconde comme de la première. En réalité, il n'y a pas deux sortes de logique : tout ce qui n'est pas logique est illogique, et la meilleure manière d'arriver à une bonne pratique des choses, c'est d'apprendre parfaitement la théorie logique des idées. La distinction qui précède de la logique en deux espèces ne saurait donc aboutir, au point de vue de l'enseignement classique, qu'à un barbarisme prétentieux et vide de sens.

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CHAPITRR VIII

Défiailioa des ligne» et surfaces courbes

Les anciens géomètres avaient imaginé, pour résoudre les questions relatives aux lignes et surfaces courbes, de substituer à ces figures d'autres figures qu'ils savaient déjà comparer entre elles et qui pouvaient différer des premières d'aussi peu qu'on voulait. Ils cherchaient ensuite la relation entre ces nouvelles figures, qu'ils choisissaient de la manière la plus commode, et, cette relation une fois trouvée, ils en déduisaient par analogie, induction ou intuition, celle qui devait exister entre les figures considérées. Ce procédé naturel n'est autre chose, à proprement parler, que la méthode des limites.

Pour compléter la question, pour en mettre la solution en quelque sorte à l'abri de toute attaque, ils démontraient en outre que cette solution ne pouvait pas ne pas être la vraie : cette dernière partie de la démonstration se faisait par la méthode connue sous le nom de réduction à r absurde.

C'est ainsi qu'EucIide a prouvé que deux cercles quelconques sont entre eux comme les carrés de leurs rayons.

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56 DÉFIMTIOXS GÉOMÉTRIQI^KS

Les géomètres modernes ont perfectionné ce genre dp démonstration, en appuyant le raisonnement sur un petit nombre de principes généraux, dont l'ensemble forme la théorie des limites. Ils l'ont anssî simplifié, en le débarrassant de cet appendice du raisonnement^ où l'on réduit à l'absurde toute hypothèse contraire, ce qui est bon pour convaincre l'esprit, mais très-peu propre a l'éclairer, surtout si la proposition dont il s'agit est compliquée.

Cependant quelques esprits se sont fortement préoccupés, dans ces dernières années, du désir de simplifier encore davantage les démonstrations propres à la mesure des lignes et surfaces courbes et d'augmenter encore, si cela est possible, la rigueur de ces démonstrations, ce qui constituerait un double et véritable progrès.

La simplification s'est présentée d'elle même, en ce sens que la théoi'ie des limites est entrée aujourd'hui dans l'enseignement classique de l'algèbre, et qu'on peut se dispenser d'en développer les principes dans les traités de géométrie.

Quant à l'augmentation de rigueur, elle porie uniquement sur cette considération que la longueur d'un arc de cercle ou d'une circonférence, l'aire d'un cercle, d'un cylindre, etc. ne sont pas des grandeurs que l'on puisse, à priori, introduire dans une démonstration, c'est-à-dire dans une comparaison avec des lignes ou des surfaces brisées, comme le firent Archimède et Euclide, comme l'ont fait Legendre et Lacroix, comme le couseillpuT encore les derniers programmes offleieis.

Tout le monde s'accorde, il est vrai . à recoiiuaitre que la longueur d'une ligne droite n'est pas susceptible de définition, c'est à-dire que l'idée de longueur, quand il

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DES LIGNES TîT SURFACES COrRBBS O/

s'agit d'une ligne droite, est une idée simple, qu'on doit introduire directement dans les considérations géométriques. Mais, d'après quelques géomètres, il n'en est pas de même de la longueur d'une ligne courbe ; et il est nécessaire de ramener la notion générale de longueur à celle de la ligne droite, ainsi que la notion générale des aires à celle d'une aire polygonale, plane ou brisée, au moyen de nouvelles définitions dûment justifiées. C'est ainsi que l'on a été conduit à formuler, dans les Eléments de géométrie, des définitions telles que celles-ci :

tt La longueur d'un arc de cercle est, la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne brisée régulière inscrite dans cet arc, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre de ïes côtés. »

Et en particulier :

" La longueur liune circonférence est la Hmite sers laquelle tend le périmètre d'un polygone régulier inscrit, dont le nombre des rMéfi augmente indéfiniment. »

Et de même :

« L'aire latérale du prisme inscrit [h. un cylindre) tend vers une limite fixe, indépendante de la loi suivant laquelle les côtés de sa base tendent vers zéro; c'est cetie limite que l'on appelle l'aire latérale du cylindre. »

Cet énoncé est donné comme une définition.

Et encore :

n On appelle aire latérale d'un cône la limite de l'aire latérale d'unp pyramide régulière inscrite, dont le nombre des faces croît indéfiniment. » On légitime cette définition en montrant que la limite considérée existe et est indépendante de la loi suivant laquelle les côtés de l;i hase de la pyramide tendent vpi's î^éro. n

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58 DÉFINITIO^S GÉOMÉTRIQUES

Et entîn :

« Considérons un arc de cercle et une ligne brisée régulière inscrite ; tandis que l'arc tourne autour d'un diamètre, la ligne brisée régulière engendre une aire, qui tend vers une limite indépendante de la loi suivant

laquelle ses côtés tendent vers zéro C'est cette limite

de l'aire engendrée par la ligne brisée régulière inscrite qu'on appelle aire de la zone décrite par l'arc. »

Ce procédé d'ailleurs n'est pas nouveau.

Dans un traité d'analyse, qui passe avec quelque raison pour le plus rigoureux et le plus exact des traités de mathématiques, le procédé a déjà été mis en lumière, il y a une douzaine d'années, et d'une manière très-remarquable.

L'auteur commence le chapitre relatif à la mesure des lignes et surfaces courbes par ces mots : « La notion de longueur est une de celles qui ne sont pas susceptibles de définition, n Ces mots se rapportent à la longueur d'une ligne droite; mais, quand il s'agit de la longueur d'une ligne courbe, il continue ainsi :

La définition générale, au moyen de laquelle la notion de longueur est ramenée au cas de ligne droite, est la suivante :

M La longueur d'un arc de courbe est la limite vers laquelle tentl le périmètre d'un polygone inscrit dans cet lire et dont les côtés tendent indéfiniment vers zéro, n

L'auteur démontre que cette limite existe et est unique, à l'aide de la notion de tangente à un arc de courbe.

Une définition analogue se rencontre pour l'aire des surfaces courbes.

rt Nous appellerons aire d'une portion de surface la

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