PREMIÈRES DÉFINITIONS SI

L'esprit conçoit d'abord, en partant de l'existeiice des corps et sans aucune abstraction nécessaire, ce que c'est que le volume d'un corps, en tant que c'est l'ensemble des parties de l'espace que ce corps occupe; puis, faisant abstraction de tout ce qui est intérieur au corps et le considérant seulement dans les parties qui sont en contact avec l'extérieur, il donne le nom de surface géométrique à l'ensemble de ces parties qui sont communes au corps et à l'espace environnant. L'esprit n'arrive ainsi à l'idée de surface géométrique qu'après avoir fait une première abstraction se rapportant à toutes les parties intérieures du volume.

L'idée de surface conduit de même l'esprit, au moyen d'une seconde abstraction, à celle de ligne; une ligne géométrique n'étant autre chose que l'ensemble des parties communes à deux surfaces qui se rencontrent.

Pareillement, si l'on considère deux lignes qui se coupent, uniquement dans la partie qui est à la fois sur l'une et sur l'autre, et si l'on fait abstraction des autres parties, on arrive à l'idée du point géométrique. C'est donc par le moyen de trois abstractions successives que l'esprit parvient à concevoir et à définir le point mathématique.

En résumé, les idées de volume, surface, ligne etpoint, sous le rapport géométrique, naissent dans l'ordre où ces mots sont écrits; les définitions qui en découlent doivent donc se succéder dans cet ordre, et non pas dans l'ordre inverse.

Il y a, il est vrai, une autre manière d'exprimer le même résultat, c'est de dire qu'une surface est la limite du volume d'un corps, une ligne la limite d'une surface, un point la limite d'une ligne (1). Donner ces définitions,

(1) Voy. S.-F. Lacroix, Eltments de Géométrie, 3» ëdit. 1803.

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52 DÉFINITIONS aKOMKTRlQUEIS

l'.'est procéder rationnellement par une série d'abstniotious, mais saiis indiquer la nature de ces abstractions. Ces définitions sont donc exactes au fond, mais plus difficiles à comprendre que îes premières.

On retrouve la même qualité avec le même défaut; mais à un plus haut déféré, dans les définitions suivantes, qui sont cependant très-vulgaires: un volume est ce qui a trois dimensions, longueur, largeur et épaisseur (l)i une surface est ce qui a deux dimensions, longueur et largeur, sans épaisseur; une ligne est ce qui n'a qu'une dimension, longueur, sans largeur ni épaisseur. Il faut donc enlever à un volume, par la pensée, ses trois dimensions pour obtenir le point mathématique. Ces définitions expriment d'une manière exacte, mais triip concise, ce que nous avons précisé un peu auparavant; elle^ ne spécifient rien d'ailleurs sur la nature des abstraetions que l'esprit doit faire pour arriver au résultat. Or, on ne doit pas perdre de vue qu'un corps cesse d'exister réellement, si l'une de ses dimensions vient à disparaître : qu'il n'y a point effectivement de longueur sans largeur; ni épaisseur, et encore moins quelque chose qui n'ait aucune dimension. Le point, la ligne et la surface géométriques ne sont que de pures abstractions de l'esprit; le volume géométrique d'un corps peut se concevoif lui-même, indépendamment du corps dont il tient la place ; c'est donc aussi, au point de vue mathématique, une pure abstraction. Qu'est-ce donc alors que ce qui a longueur et largeur, et point d'épaisseur? qu'est-ce qu'une figure qui n'a aucune dimension? C'est ce qu'il est très-difficile de comprendre, si l'on ne s'est pas

(!) Vtiy. Legendre. Eléments de Géomùlrie. 15* «ilii.

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