CHAPITRE IX

Règle» géuérales de la déflniflon de» lignes et surface» courbe».

Sans douto^ il ye faut pas oublier (jiie l<>-s détinitioiis de la géométrie sont absolument personnelles, arbitraii-es et incontestables (cliap. III); cependant, sous le rapport de> règles générales, on peut se demander si l'on ne cherche pas ici à définir des termes qui expriment des notions assez simples pour entrer, sans aucune explication préalable, dans une combinaison d'idées (cliap. IVV

La longueur d'une ligne est une qualité particulière de cette ligne, qui est tout à fait distincte de la ligne elle-même, mais qui en est pourtant inséparable, de même que la surface d'un cercle est inséparable du cercle et le volume d'un cylindre inséparable du cylindre. On ne saurait concevoir, un effet, qu'une ligne puisse exister sans longueur, pas plus qu'une suriace sans longueur ni largeur, pas plus qu'un volume siuis ses r,mi:^ dimensions (chap. VII. 'i

Il est vrai que la longueur d'une ligne, la surface d'un ceR'le et le volume d'un cylindre, existent ainsi à l'état

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DES lig:vks bt surfa<'k» courbes 61

idéal ou théorique, et que cette idée ne prend une forme matérielle uu sensible que si Ton procède à 1h mesure, de lu ligne, de la surface ou du volume. Cette mesure se traduit alors nécessaireineut pai' une série d'opérations graphiques ou aritlimétiques, qui peuvent aboutir, même dans le cas de la ligne droite, à un résulat non susceptible de s'exprimer par des nombres; cela arrive tout-es les fois que l'inSui se rencontre sous une forme quelconque dans la série des opérations. Mais, si l'exactitude des opérations graphiques trouve des bornes dans l'inévitable imperfection des instruments, si, par le calcul, nous approchons indéfiniment de la langueur d'une courbe, sans jamais pouvoir l'exprimer exactement, il n'en demeure pas moins vrai que nous atteignons, par la pensée, sans peine et d'un seul coup, cette limite qui Ji'est autre chose que la longueur de la ligne.

Il est donc permis d'affirmer raisonnablement (]ue in longueur d'une ligne courbe définie existe, même pour celui qui ne peut pas ou ne sait pas la^iesurer. Il esl permis de tenir pour certaine cette vérité, par exemple, que la longueur d'une ligne courbe est moindre que i^elh^ de telle ou telle autre, si cette vérité résulte de la double définition de la ligne droite et de la ligue courbe, et de quelque autre vérité déjà reconnue, sans qu'il soit nécessaire de trouver le nombre qui exprime la mesure ni de l'une ni de l'autre. Et l'on ne saurait établir de différence, sous ce rapport, entre la surface d'un rectangle, défini par sa base et sa hauteur, et l'aire d'un cercle défini par son rajon : il y a tel rectangle dont îa surface est' évidemment plus grande oa plus petite que celle d'un CCTcie* oeiqui implique forcément cette idée que, si l'on mesurait la surface du'rectangle et celle du cercle, le

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62 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

résultat trouvé pour la première surpasserait le résultat trouvé pour la seconde. Renverser les termes de cette affirmation est évidemment un contre-sens, au point de vue théorique de la définition.

D'où l'on peut conclure que, si une ligne est définie convenablement, la longueur de cette ligne existe, par cela même que la ligne a été définie, et cette longueur est évidemment unique; en d'autres termes, la longueur de la ligne se trouve elle-même définie, sans qu'il soit besoin de ramener la notion de sa longueur à une autre plus simple (1).

Secondement, si l'on est obligé de choisir une définition, il faut faire en sorte que le mot qu'on emploie ait, ftutant que possible, une signification conforme à l'idée générale que tout le monde en a, c'est-à-dire à son étyinologie (chap. IV). Or, l'idée que tout le monde se fait de la longueur d'un arc de cercle, n'est certes pas celle de la limite vers laquelle tend le périmètre d'une ligne hnse'e régulière inscrite dans cet arc, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre de ses côtés. C'est une manière de voir, qui est exacte sans doute, mais qui est trop peu naturelle pour être prise comme définition.

Lorsqu'il s'agit de l'enseignement élémentaire surtout, cela a de l'importance; car, comme on l'a vu dans le chapitre II, en suivant l'ordre logique des idées, on a déjà plusieurs fois considéré la longueur d'un arc de cercle, avant d'aborder la question de sa mesure. S'il

(1) Quelques classiques modernes ont écrit ou reproduit de ci liante, sur ce sujet, des pai'a graphes entiers, qui sont remplis contradictions dans les termes et dans les idées, et que nous reco mandoDs aus élèves de lire a^ec attention.

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