C H A IM T K E

Règles parliciillèi'vs de la défliiitio

La justification d'une définition aponr but de faire voir que cette définition satisfait aux deux conditions particulières d'une bonne définition géométrique (chap. IV . Dans le cas actuel, cette justification comprend deux parties : 1° une partie, où l'on démontre qa'il exkie une limite vers laquelle tend la longueur du périmètre d'une ligne brisée régulière inscrite à un arc de cercle, lorsqu'on l'ait croître indéfiniment le nombre des côtés ; 2° une partie dans laquelle on démontre que cette limite est unique.

Le raisonnement habituel par lequel se trouve établie la première partie de cette justification, est le suivant :

Il Concevons d'abord qu'il n'y ait que deux eûtes dans la ligne hrisèe régulière inscrite à l'are ; puis supposons qu'on double le nombre des côtés, une fois, deux fois, et ainsi de suite indéfiniment, de sorte que le nombre des côtes soit ( xprimé par la formule 2" , n croissant indéfiniment. Le périmètre croîtra constamment; et, comme on peut facile- .nenl assigner une quantité finie au-dessous de laquelle il

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DES LIGNES KT SURFACES COURBES 6c>

reste toujours, il tendra évidemment vers une iimiter. Donc, etc. »

Cette démonstration est-elle irréprochable ? De ce que le périmètre d'une ligne brisée régulière, inscrite à un arc de cercle, croît sans cesse et reste inférieur à celui d'une ligne polygonale finie, extérieure à l'arc considéré et terminée aux mêmes extrémités, peut-on conclure que ce périmètre tend vers une limite ? 11 suffit, pour s'en assurer , d'appliquer à ce raisonnement le procédé, bien connu en logique, qui consiste à remplacer le terme limite dont on se sert ici, par la périphrase équivalente, dont ce terme tient conventionnellement la place. Or, on appelle limite d'une quantité variable, une quantité constante dont la variable s'approche indéfiniment, sans jamais l'atteindre (1) , et il est ais4 de reconnaître que, dans la démonstration précédente, cette qualité caractéristique d'une limite manque complètement. II n'y est question d'aucune quantité constante dont la longueur du périmètre s'approche indéfiniment, mais seulement du périmètre d'une ligne brisée, extérieure à l'arc, qui est plus grand que celui de toutes les lignes brisées inscrites à l'are, et qui ne peut mériter en aucune sorte la qualification de limite, telle qu'on l'entend ordinairement dans la géométrie.

On peut aussi, pour vérifier la solidité de ce raisoiinement, le retourner en l'appliquant aux périmètres des lignes polygonales circonscrites : on voit tout de suite que ces périmètres vont eu diminuant constamment, sans qu'ils puissent cependant tomber au-dessous de la corde qui soustend l'arc considéré. Est-ce une raison suffisante,

{Ij Voy, Dnhajlit>h ElùHntS' de cakrd infiniiénimai . pag.Set 223.

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pour qu'on puisse conclure qu'ils tendent "vers une limite? Evidemment, non.

Ce qu'il faudrait ici, c'est qu'on pût comparer la longueur variabJe des périmètres des lignes brisées inscrites à une quantité constante, par exemple à la longueur de l'arc, et prouver qu'ils s'en approchent indéfiniment; mais, puisque ia longueur de l'are n'existe pas encore pour ceux qui ont adopté la nouvelle définition, cette comparaison est impossible, et il faut garder la conclusion qu'ils ont tirée pour ce qu'elle vaut, ou bien reconnaître qu'ils ont péché contre cette règle établie (ch. IV), qu'on ne doit employer dans les définitions, que des termes parfaitement connus ou déjà définis. De toute façon, la première partie de la justification, propre à cette nouvelle définition, demeure incomplète,

La seconde partie de cette justification a pour but de démontrer que la limite est unique. Le raisonnement qu'on trouve dans les Eléments de géométrie, consiste à considérer deux polygones, l'un inscrit et l'autre circonscrit, d'un nombre n de côtés ; puis, deux polygones, l'un inscrit et l'autre circonscrit, d'un nombre n' de côtés; et à faire voir que la limite / vers laquelle tendent les périmètres des deux premiers, lorsqu'on double indéfinimenr le nombre de leurs côtés, ne peut être ni plus petite ni plus grande que la limite l' vers laquelle tendent les deux autres. Or, on reconnaît dans cette manière de raisonner, le fond même de la méthode de réduction à tabsurde, telle que l'employaient les. anciens, et on voit aussi que l'application en est faite à un principe général, abstrait, difficile, de manière à rencontrer tous les inconvénients que cette méthode peut présenter; par conséquent, la seconde partie de la justification, propre à la nouvelle

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