CHAPITRE XI

Jlnstlflea<lon exacte de la dëfflaitlon dés lignes et surfaces courbes.

La définition des lignes et surfaces courbes, imaginée parles modernes, est susceptible d'une justification exacte, qui peut se réduire à des termes assez simples, lorsqu'on convient de la débarrasser des lemmes et scolies essentiels à son complet développement. Pour satisfaire à la première partie de cette justification, on commencera par inscrira au cercle un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés, et par lui circonscrire un polygone régulier semblable; puis on doublera une fois, deux fois, trois fois, et ainsi de suite, le nombre des côtés de chaque polygone. On représentera ensuite par des nombre^: les périmètres des polygones circonscrits, ainsi que ceux des polygones inscrits, et on établira les trois points suivants :

1" Les premiers iiombres oonl tous en diminwnit , les sfi'onds vont tous en augmentant.

2" Tout nombre de la première sé-ie est plus ijrnnd quv son correspondant de la seconde.

;!" La différence entre deux nombres correspondants peut devenir aussi petite que l'on veut.

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DES l.IONKS HT SURFACES COURBES (>9

Dès l'instant que ces trois conditions sont remplies, il y a une limite commune pour ces deux séries de nombres, et cette limite peut être appelée, si l'on veut, longueur de la circonférence ou longueur de l'arc. Cependant, est-il évident que deux séries de nombres qui satisfont aux trois conditions énoncées tendent vers une limite commune? Quelques géomètres acceptent cette conséquence abstraite comme vraie, sans démonstration (1). Mais, c'est à la condition de renoncer à l'idée générale que réveille le mot limite. On appelle limite, i! ne faut pas l'oublier, une quantité constante dont la variable peut s'approcher indéfiniment , sans jamais l'atteindre ; ce qui suppose nécessairement une comparaison directe ou indirecte entre la limite et la variable. Or, dans le cas actuel , cette comparaison , même indirecte, n'existe pas; et il faut absolument, pour que la démonstration précédente devienne rigoureuse, qu'elle soit complétée, comme l'ont proposé plusieurs savants (2); voici ce complément :

Considérons deux séries de nombres satisfaisant aux trois conditions énoncées; supposons que ceux de la première série représentent des longueurs comptées, à partir d'une origine fixe, sur une droite, et que ceux de la seconde série représentent aussi des longueurs comptées sur la même droite, à partir de la même origine. Cette supposition est toujours possible, quelle que soit l'espèce de grandeurs que ces nombres représentent, pourvu que l'espèce en soit la même.

fl)Voy J,-A. Sfirret, El. rf'Aritftm..4' éd,,p,l37. Briot, Uç.muv. feArithm.. 3« éd., p. 196. Ch. Sii.ion, Préeis d'Arithm., p. 182.

(2) Voj. E, Bural, Traiié d'Arithm.. pag. 202. Vov. J. Bertrand, Trait. d^Arithm., cliap. X.

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70 TtEFINITIONS GEOMETRIQUES

II résulte des trois conditions auxquelles satisfont ces deux séries de nombres, que: 1° les extrémités des longueurs de la première série iront en se rapprochant de l'origine, tandis que les extrémités des autres s'en éloigneront de plus en plus; 2° les extrémités des longueurs de la première série ne s'entremêleront jamais avec les extrémités des autres ; 3° la distance qui sépare les extrémités de deux longueurs correspondantes, dans l'une et l'autre série, deviendra aussi petite que l'on voudra.

On conclut de là qu'il n'y a pas d'intervalle entre les deux régions de la droite sur lesquelles tombent les extrémités des longueurs de la première série et celles de la seconde, et qu'entre ces'deux régions il existe seulement un point, dont la distance à l'origine possède toutes les qualités requises pour être une limite commune aux deux séries de nombres considérées.

Pour satisfaire à la seconde partie de la justification, il suffit de faire voir que deux séries de nombres, remplissent les trois conditions énoncées, tendent vers la même limite que deux autres séries de nombre.s, remplissant les mêmes conditions. Rien ne s'oppose ici à l'emploi de îa méthode de réduction à l'absurde; car, les nombres dont il s'agit étant assujétis, dans la démonstration, à représente,r des longueurs rectilignes, on se trouve en présente d'une question spéciale, concrète et, facile, dans laquelle la méthode de réduction à l'absurde ne souffre aucune difficulté.

La définition de la longueur d'une ligne courbe se trouve ainsi justifiée d'une manière exacte et précise.

Cette justification est très-générale; elle peut s'appliquer mot à, mot non-seulement à la définition de la longueur d'un arc, mais encore à celle de l'aire d'une sur-

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