DES LIGNES ET SURFACES COURBES

face courbe et à celle du volume d'un corps rond. Elle se réduit, d'ailleurs, à des termes assez simples, si l'on convient de la débarrasser du complément par lequel on démontre que deux séries de nombres, satisfaisant aux trois conditions énoncées, tendent vers une limite commune et unique. Mais ce complément, pour peu qu'on réfléchisse à la question, paraît être indispensable.

Au surplus, on ne saurait raisonner en laissant, dans chaque cas particulier, les deux séries de nombres représenter, jusqu'à la fin de la démonstration, les grandeurs mêmes que l'on considère au point de départ, sans que la démonstration perdit toute sa simplicité et sa précision ; car, s'il est facile de suivre sur une droite les deux régions de cette droite, où tombent les extrémités des longueurs rectilignes comptées à partir d'une même origine, il est difficile d'envisager de la même manière et de comparer entre elles les deux régions du plan ou de l'espace, sur lesquelles tomberaient des surfaces développées ou des volumes polyédraux .

Remarquons, en terminant, que la justification qui précède revient à démontrer les deux points suivants : r un arc de courbe a une longueur, puisque cet arc peut être rectifié et que la chose est évidente pour une ligne droite ; 2° la définition de l'aire d'une surface courbe et celle du volume d'un corps rond peuvent se ramener à la définition de la longueur d'une ligne. C'est précisément en sens inverse qu'il faut s'attacher à suivre cet ordre d'idées, pour obtenir une simplification réelle dans les questions relatives à la mesure des lignes et surfaces courbes; on le démontre dans le chapitre suivant.

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