DES OPÉRATIONS DE L 'ARITHMETIQUE

L'élévation aux puissances entières se ramène à plusieurs constructions successives de quatrième et troisième proportionnelles.

ij'extraction de la racine carrée d'un nombre correspond à la construction d'une moyenne proportionnelle entre l'unité et le nombre donné ; car l'égalité x = j/a peut évidemment s'éci'ire, comme on le sait : 1 .[■

Les racines, dont le degré est une puissance de 2, peuvent s'extraire par plusieurs constructions successives de moyennes proportionnelles. Quant à celles dont le degré n'est pas une puissance de 2, on peut toujours les tronver approximativement, dans la pratique, avec la règle et le compas, et exactement, en théorie, au moyen de l'instrument imaginé par Descartes.

Telles sont les constructions géométriques propres à représenter les opérations élémentaires de l'arithmétique. Ce qui est vraiment reinarquable, c'est que chacune d'elles est susceptible d'être généralisée, c'est-à-dire étendue à des lignes représentant des nombres avec toutes les qualités comprises sous les termes de quantités algébriques, et de quantités complexes (1). Mais, cette extension n'est point passée dans l'enseignement classique des lycées de France ; ni dans les examens qui ont pour but l'obtention d'un grade universitaire, ni dans les examens d'admission aux différentes écoles du gouvernement , ces définitions généralisées ne sont encore acceptées sans difficulté. Il y a plus de 20 ans qu'elles ont

(!) Voy. à ce sujet les M&fooires de la Société des sciences plijs. et nat. de Bordeaux (1"' cahier, 1867).

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reçu leur droit de cité dans les écoles de Belgique et d^'Allemagne, sans qu'on ait osé les introduire dans les programmes officiels de l'Empire français.

L'historique de ces définitions nous oiYre cependant en leur faveur, et sans sortir de France, le témoignage de plusieurs savants de premier ordre .

En 1637, Descartes posa les premiers fondements de la signification géométrique des quantités négatives.

Après lui , d'Alembert essaya , dans Y Encyclopédie du xvnf siècle d'interpréter dans le même sens les quantités imaginaires.

En 1806, Robert Argand, de Genève, fit imprimer à Paris un opuscule intitulé : Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions

Vers l'année 1813, le même Argand réclame, dans les Annales de Gergonne (tome iv), contre un professeur de l'Ecole d'artillerie àMet^, nommé J.-F. Français, la priorité de sa découverte.

Mourej, en 1828, publia une brochure ayant pour titre : La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires, dédié aux amis de tévidence.

Ces diverses théories ont été reprises et coordonnées par l'illustre Cauchy, dans ses Exercices d'analyse et de

Sous le règne de Louis-Philippe, un professeur obscur d'un collège communal, M, Faure, publia un petit ouvi'age très-remarquable, intitulé : Théorie des quantités imaginaires. J'ai entendu raconter que l'année suivante, les inspecteurs généraux de l'Université déclarèrent que ce professeur était fou, et obtinrent sa mise à la retraite. Ajoutons, pour être juste, que la pension de retraite du

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T)Eïi OPÉRATIONS DE l'aRITHMÉTJQUF, ) Ï3

pauvre professeur a été augmentée, depuis cette époque, et que les distinctions les plus honorables ont été accordées soustorme de réparation à ce savant méconnu.

Depuis 15 ans, plusieurs mémoires ont été lus sur la question, par M. Abel Transon, examinateur d'admission à l'Ecole polytechnique, dans les séances de la Société philomatique de Paris, et d'autres, imprimés par lui, dans les Nouvelles annales de mathématiques (années 1868-69, décemb., janv., fév., etc.).

Enfin, M. J. Houël, professeur à la Faculté des sciences de Bordeaux, publie en ce moment même, sous le titre de Théorie élémentaire des quantités complexes, une étude des plus approfondies et des plus savantes de la question.

Malgré toutes ces autorités, le droit d'étendre les définitions arithmétiques aux quantités négatives et imaginaires reste encore, par routine ou par frayeur, contesté de la part de plusieurs géomètres français. Mais la routine finira , soyons-en sûrs , par être vaincue ; la peur cédera à l'évidence, et, sans être prophète, nous pouvons prédire que, dans un prochain avenir, le fantôme des imaginaires aura disparu des écoles françaises, comme autrefois les loups furent chassés d'Angleteriv,

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