DBS OPERATIONS DE L ARITHMETIQUE

l'élévation aux puissances. D'un autre c^té, on peut toujours se proposer de satisfaire aux deux questions suivantes : 1° étant donnés deux nombres, en trouver un troisième qui multiplié par le second reproduise le premier; 2° étant donné un nombre, en trouver un second qui élevé à une certaine puissance reproduise le premier. Il résulte, en effet, de la continuité des grandeurs mathématiques, que le nombre cherché dans l'une et l'autre opération existe et est unique, ce qui suffit à la justification de ces deux définitions (chap. XV).

Toutes les opérations de l'Ai-ithmétique peuvent donc être définies, d'une manière abstraite, comme il suit :

Additionner plusieurs nombres, c'est en former un autre, qui contienne toutes les unités et parties aliquotes d'unité qu'on peut trouver dans les nombres donnés.

Soustraire un nombre d'un autre, c'est en trouver un troisième, qui ajouté au second donne une somme égale au premier.

Multiplier un nombre par un autre, c'est en former un troisième, qui soit composé avec le premier absolument comme le second l'est avec l'unité.

Diviser un nombre par un autre, c'est en trouver un troisième, qui multiplié par le second donne un produit égal au premier.

Extraire la racine d'un nombre, c'est en trouver un autre, qui élevé à une certaine puissance donne un résultat égal au premier.

Les définitions qui précèdent reposent chacune sur un principe, évident on démontré, et sur la composition d'un nombre quelconque relativement à l'anité ; elles sont donc toutes, au point de vue purement arithmétique, rigoureuses et générales, attendu qu'elles conviennent à toute

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espèce de nombres, sous le rapport de la quantité, et possèdent les qualités générales et particulières d'une bonne définition géométrique. Bien plus, si l'on se reporte à ce qui a été dit plus haut sur l'expressiou géométrique du nombre , et si, en se conformant au principe de chaque opération, on interprète mot à mot leur signification, on obtiendra sans peine les définitions géométriques ou concrètes des opérations arithmétiques.

Par exemple, pour faire l'addition de deux longueurs, on les portera sur la même droite, l'une à la suite de l'autre : leur somme est la distance des deux extrémités non communes.

Pour faire la soustraction de deux longueurs, on les portera sur la même droite, à partir du même point : leur différence est la distance des deux extrémités non communes.

La multiplication de deux nombres sera représentée par la construction d'une quatrième proportionnelle ;i trois lignes; on voit, en effet, si l'on pose l'égalité :

X = ah, qu'on peut l'écrire sous forme de proportion de ia manière suivante :

Or, cette proportion exprime précisément que x est une quatrième proportionnelle aux trois lignes : 1, a et &.

La division de deux nombres s'effectue aussi par la construction d'une quatrième proportionnelle ; car, le quotient ~- étant désigné par x, on pourra déterminer X par la proportion :

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