CHAPITRE I

Définitions spéciales de la Cléoniétrlc

Qu'est-ce qu'une ligne droite? Qu'est-ce qu'un plan? Qu'est-ce que l'infini? Dans tous les temps, les géomètres se sont beaucoup préoccupés de ces questions; et l'on ne peut se dissimuler qu'une bonne réponse à des questions si simples soit pourtant difficile à trouver.

Précisément parce que la ligne droite, le plan et l'infini font leur apparition au début même de la science, le géomètre n'a qu'un très-petit nombre d'éléments à sa disposition, pour formuler ces premières définitions ; il ne peut rien emprunter à la doctrine, qu'il a en vue d'exposer, sans courir le risque de faire un cercle vicieux; d'un autre côté, l'expérience seule ne peut lui fournir des données suffisantes, puisqu'il s'agit des premières notions d'une science toute composée d'abstractions. C'est donc uniquement dans les définitions générales de l'étendue, déjà établies, et dans de nouvelles conceptions de la raison, faites exprès, que peut se trouver la justification exacte de ces définitions spéciales de la géométrie.

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10 DÉFINITIONS GEOMETRIQUES

Les définitions générales de l'étendue, il ne faut pas l'oublier, ont pour base une ou plusieurs opérations de l'esprit, aboutissant toutes à une figure dont l'existence n'a rien de matériel et qui pourtant est certaine. Les mots volume, surface, ligne, point, ne sont autre chose que des termes imaginés pour remplacer avantageusement, dans le langage scientifique, la longue péripbrase par laquelle on est amené à se représenter mentalement et avec précision chacun de ces genres de figures géométriques (1).

Or, ces définitions générales, qui servent d'introduction à l'étude de la géométrie, en entraînent d'autres, qui sont spéciales, en ce sens qu'elles s'appliquent à des figures constituant une espèce dans le genre. On les forme d'ailleurs très-simplement en ajoutant un qualificatif au terme employé pour la définition générale : c'est ainsi qu'on obtient la ligne droite, dans le genre ligne ; la surface plane, dans le genre surface; et Vin/ini, dans les trois genres, ligne, surface, volume.

Mais, on se tromperait étrangement si l'on croyait que les deux mots m ligne droite » doivent avoir la propriété de faire naître, dans l'esprit de celui qui les entend associer pour la première fois, la vue de toutes les qualités d'une ligne de cette espèce. Les définitions géométriques ne précèdent jamais l'apparition des figures, qu'il s'agit d'étudier; elles la suivent, au contraire, et la fixent. Ce n'est qu'après avoir démontré qu'une figure est possible et unique, qu'il est permis de résumer par un mot le résultat de cette démonstration, et de regar-

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DKFINiTlONS SPECIALES 11

der conventionnellement ce mot comme l'ériuivalent ou comme la définition de la figure (1).

Ce mot conventionnel, toutes les fois qu'il sera employé dans le discours, réveillera, dans l'esprit de ceux qui en connaissent la valeur, l'idée des propriétés contenues dans la figure, telle qu'elle a été envisagée pour les besoins de la définition, mais pas une de plus. Dans l'esprit des autres, il ne correspondra à l'image précise d'aucune réalité. Il sera donc, pour le public, je ne dis pas une lettre morte, mais un terme vague, exprimant une vérité de sentiment plutôt que la fin d'on.e découverte raisonnée; rien n'est plus légitime toutefois que son emploi dans le langage ordinaire de la vie, pourvu qu'on ne veuille lui donner une signification précise, qu'il n'a pas ou que seuls connaissent les hommes initiés à la science.

Sans doute , toute les propriétés d'une figure sont implicitement renfermées dans sa définition, si celle-ci est bien faite, même celles qui ne concourent pas à l'œuvre de cette définition ; mais, ces dernières s'y trouvent simplement en germe, et n'en peuvent sortir que par la force du raisonnement, à peu près comme les pommes sont dans les fleurs du pommier, et en sortent par le travail de la végétation. Or, je ne pense pas que l'on puisse donner le goût de la pomme à celui qui ne l'a point, en lui faisant contempler le plus fleuri des pommiers : il faudra certainement quelque chose déplus,

La définition de la ligne droite, celle du plan et celle de l'infini, sont en cela comme toutes les autres définitions de la géométrie ; elles n'expriment pas la totalité

(1) Essai, l"' partie, chap. iv.

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des idées que ces mots peuvent renfermer, elles en embrassent seulement une partie.

Quelles sont les propriétés choisies qui devront former la base d'une définition géométrique, et qael en sera le nombre?

La réponse à cette question exige une distinction radicale que voici : s'il s'agit d'une figure de nouvelle invention, il est clair que le choix de l'espèce et celui du nombre seront, de droit, abandonnés à l'inventeur ; mais, lorsque la figure qu'on se propose de définir est connue de tout le monde, comme le plan et la ligne droite; lorsqu'elle a déjà un nom commun, comme l'infini, il est impossible que le géomètre qui fabrique sa définition, ne tienne pas compte dans une certaine mesure, soit au point de vue de l'enseignement, soit au point de vue de la science pure, de cette circonstance particulière; il est impossible qu'il ne cherche pas à saisir , sous le terme vulgaire, le sens le plus général, le plus simple, le plus précis, qui y demeure attaché, et à l'introduire dans la définition. Si donc il est permis d'être indulgent, sous le rapport du nombre des conditions, ce ne sera pas se montrer trop exigeant que de lui demander, sous le rapport de l'espèce , d'observer les trois préceptes suivants , qui complètent les règles ordinaires de rigueur (1) :

pREMiiiREMENT, si l'ou trouve que tel mot a un sens suffisamment précis, avoir soin de nous en avertir et de lui conserver toujour ce sens précis.

(1) Essai, 1" partie, chap.

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