CHAPITRE V

Déliuitioiis diverses iln plau

La plHS ancienne définition du plan, qu'on connaisse, est celle dont on retrouve les traces dans un dialogue de Platon; elle est calquëe fidèlement sur celle de la ligne droite, qui figure dans le même recueil. « Le plan, « d'après Platon, est une surface dont les parties du « milieu ombragent les extrêmes » ; ce qui doit nous faire entendre que, ai quelques parties dans le milieu d'une pareille surface étaient opaques, et qu'une lumière fut placée vers une extrémité, les points placés à l'autre extrémité seraient dans l'ombre (1).

De prime abord, il semble que cette définition n'est qu'une image, comme il j en a tant au début de toutes les sciences. Mais, si l'on veut se souvenir que la loi de propagation de la lumière est aujourd'hui un fait établi paf des expériences directes et raisonnces, et que, ensuite de cette loi, un rayon lumineux n'est pas autre

(I) Platon, Œuvr. compK, liectteil des ScoHes. trad. par

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chose qu'une ligne droite — quelque soit d'ailleurs le sens attaché à ce mot — il est aisé de constater que, sous la brillante image du philosophe, se cache une vérité mathématiquement rigoureuse ; elle nous représente effectivement le plan, comme " une surface telle que « toute droite qui passerait par doux de ses points ne u saurait s'en écarter » ; sans quoi, la lumière, qui suit le même chemin rectiligne, pourrait éclairer des parties du plan qu'elle doit laisser dans l'omhre, d'après les termes de !a définition.

Mais, en même temps qu'on J voit éclater la rigueur et la logique, on ressent, à la vue de ce petit tableau lumineux de Platon, je ne sais quelle impression de poésie, qui vous saisit et vous satisfait pleinement, comme si l'auteur avait exprimé quelque sentiment que vous eussiez déjà naturellement ; or. il faut se rappeler que cette conditon d'exprimer, dans les choses connues, le sentiment le plus vulgaire, le plus naturel, le plus palpable pour ainsi dire, est une des qualités essentielles que doivent posséder les premières définitions spéciales de la géométrie (1).

On pourra donc considérer cette donnée de l'école platonicienne comme un simple coup de pinceau, si l'on veut ; mais, il faudra convenir qu'il est tracé de main de maître, et qu'il réussit à mettre sous vos yeux une définition parfaite. La seule objection qu'on puisse soulever, au point de vue doctrinal, contre l'expression de Platon, est-celle-ci : existe-t-il une surface qui possède les attributs d'ombre et de lumière, indiqués dans la définition ? Et. s'il y en a une, comment l'esprit parvient-il à se la

(1) Chap. I.

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38 DÉFINITIONS GEOMETRIQUES

fliriirer ? J« ne pense pas que les anciens géomètres, non plus que les modernes, qui voudront accepter cette définition pour bonne, se soient préoccupés de répondre à cette double question; et cependant, rien n'est plus important, pour l'art de penser et pour la méthode d'enseignement, que de satisfaire pleinement sous ce rapport aux exigences de la raison.

Euclide, imitant Platon, a comme lui étendu à la surface plane la définition qu'il avait adoptée pour la ligne droite. Il nomme plan « une surface qui est également placée aux droites qui sont en elle », c'est-à-dire :

« èmmSa^ iTtlfavsia Êtrii-j.iîTis ÊqÏCTou Taïç ly ëkutïî siIOeEkiç xîïtoi. "

Cette phrase peut se traduire, mot à mot, en latin par celle-ci : « plana superficies est, guœ ex œquo ipsis in eâ « redis ponittir (1). «

Mais, quelle que aoit la traduction qu'on en fasse, cette définition d'Euclide a le défaut capital de n'être pas claire. Plusieurs commentateurs l'ont interprétée en disant que le plan est une surface également étendue entre ses lignes, en ce sens que deux lignes droites, ayant entre elles une position relative déterminée et placées n'importe où, sur le plan, y comprendraient toujours le même espace. D'autres ont cru y voir cette idée que le plan peut être engendré par le flux d'une droite, tournant autour d'un de ses points, sans s'élever ni s'abaisser, tous les points de la superiicie étant touchés par la ligne en mouvement, ou en quelque sorte raclés. Quelques-uns enfin affirment qu'Euclide a voulu dire

(1) La double traduction en français et en latin, que je cite, est extraite du grand ouvrage de Pejrard, approuvé par l'Institut de France, 1814.

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tout simplement, que le plan est la plus courte ou la plus brève de toutes les surfaces qui ont les mêmes extrémités (1).

Toutes ces différences, dans l'interprétation de la définition d'Euclide, peuvent s'expliquer : en effet, d'un côté, la définition qu'il donne, prise au pied de la lettre, ne laisse pas que d'être fort obscure, et permet beaucoup de suppositions diverses ; d'un autre côté, on rencontre dans un ouvrage, attribué à Héron d'Alexandrie, lequel vécut 200 ans environ après Euelide et publia deux Introductions à l'étude des Éléments Euclidiens, une autre interprétation, qui s'éloigne des précédents commentaires autant qu'elle se rapproche de la définition classique, adoptée aujourd'hui, « Le plan, y est-il dit, est une « surface à toutes les parties de laquelle une ligne droite « peut être accommodée. » II suffirait de remplacer, dans cette phrase du géomètre Héron, le mot « accommodée » qui a quelque peu vieilli, par un autre plus jeune et exprimant la même idée, pour en faire une définition tout à fait à la mode.

On peut s'assurer d'ailleurs que, telle qu'elle est, cette définition de Héron contient en germe toutes les autres ; car, si l'on peut accommoder une droite àtoutes les parties d'une surface, il est manifeste qu'on pourra en accommoder deux, ayant une position relative déterminée ; puis trois, quatre, et un flux quelconque; ou pourra même en tirer

(1) Je trouve la plupart de ces interprétations dans une traduction d'Euclide faite par Pierre Le Mardelé, professeur à Lyon, en 1045, qui expose naïvement qu'elles sont foutes justifiées par le tesle d'Euclide. Pour ma part, je ne suis pas très-éloigiié do croire que mon collègue du xvii« siècle peut avoir raieon.

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40 DEFINITIONS Gl':0Mr:TRIQUE8

aisément qu'une portion limitée à deux lignes, dans une telle surface, est plus petite en étendue que toute autre surface terminée aux ■mêmes extrémités, et qu'elle jouit des propriétés d'ombre et de lumière indiquées par Platon. On peut donc regarder la définition de Héron comme équivalente à celle d'Euclide, à celle de Platon et à toutes les interprétations de leurs commentateurs.

Legendre n'a point procédé comme Platon, ni comme Euclide, du moins en apparence, et il semble que sa définition du plan soit toute autnt que celle qu'il a choisie pour la ligne droite. La ligne droite est. pour lui. « le plus cmrt chemin d'un point à un autre •••>, et ie plan « une surface (elle qu'tme droite quelconque y est contenue tout entière, si elle passe par deux points de eette surface {\). » Ces deux définitions ont des dehors très-diiféi-ents ; mais, lorsqu'on prend la peine de substituer au mot « droite » , qui entre dans la seconde, le sens qui lui a été attribué dans la première, on voit tout de suite que la périphrase revient à dire que le plan est une surface, qui contient exclusivement le plus court chemin entre deux de ses points ; et que, par suite, cette définition du plan dérive de celle de la ligne droite, à peu près comme en dérivent celles d'Euclide et de Platon.

Remarquons aussi la parenté qu'elle a avec la définition de Héron, citée plus haut, et surtout, le puissant appel qu'elle fait au sens commun, c'est-à-dire au sentiment général de l'évidence. Il sufEt, pour s'en convaincre, de se rappeler comment l'ouvrier procède dans les arts à la confection d'une surface plane : c'est en appliquant, dans tous les sens, une règle parfaitement droite sur une

(1) A. M. Legendre. ÊléraenU de gtiomètrie, 13' Mit., 1833.

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I>Hli"]NITION'S DIVERSES DU PIAN 41

planche, que ie menuisier s'assure qu'il n'y a, entre la planche et la règle, aucun espace laissé vide, et qu'il conclut à la rectitude de sa surface; l'éhéiiiste fait de même, pour vérifler une table ou un billard, et le mécanicien, pour régler un plan. C'est constamment la définition du géomètre Héron, rajeunie par Legendre, qui est mise à profit pour reconnaître qu'une surface est plane ; et l'on petit soutenir, j'imagine, que cette pratique vulgaire de l'atelier est plus ancienne et plus universelle que les plus vieilles théories de la géométrie.

S'il ne s'agissait que de faire une image vraie, pour avoir une bonne définition, certes nu! ne serait embarrassé d'en trouver : l'aspect d'un lac tranquille, la vue d'un marbre uni ou le miroir d'une glace polie, nous fournissent des images presque parfaites du plan. Mais, le géomètre, qui fabrique une définition, n'a pas seulement en vue de faire naître dans l'esprit de l'élève une idée nouvelle ou de réveiller quelque idée ancienne, comme on pourrait le croire ; son but est, dans les commencements surtout, de fixer le sens des mots usités, qu'il emploiera dans le cours de ses théories, de telle sorte qu'il puisse à tout moment renvoyer son lecteur, pour la valeur de tel ou tel terme, à la définition précise qui en a été donnée auparavant, comme à une sorte de dictionnaire technique.

Si complexe que soit une proposition mathématique, il faut qu'en y remplaçant tous les termes spéciaux du discours par leur définition propre, cette proposition se résolve immédiatement en ses éléments, c'est-à-dire en une multitude de vérités, évidentes par elles-mêmes. Or, il n'est pas besoin d'être très-versé dans l'étude de la géométrie pour deviner que, dans la plupart des cas.

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cette condition serait absolument impossible à obtenir, si l'on substituait au mot « plan » l'expression de « marbre poli » ou de « lac tranquille » , avec tout le vague qu'une telle expression comporte. Il est donc nécessaire, pour le géomètre, de choisir parmi les significations multiples d'un mot, celle qui s'accommodera le mieux aux besoins ultérieurs du raisonnement. Ce choix d'ailleurs n'est pas déterminé par cette seule condition; il est assujéti à certaines règles générales, qui sont exposées ailleurs (I), et à cette condition particulière et expresse, que le terme employé corresponde toujours à une figure possible et unique. C'est cette dernière partie d'une définition, qu'on nomme sa JusH/îcalion.

Or, s'il est une définition qui ait besoin d'être justifiée, c'est celle du plan. Il s'en faut déjà que le fait d'être ii le plus court chemin entre deux de ses points » soit une propriété simple pour la ligne droite, car, dans ces quelques mots se trouvent affirmées une infinité de conditions, qui sont toutes possibles, il est vrai, mais qui ont besoin d'être démontrées telles. A plus forte raison doit-il en être ainsi do plan, envisagé comme une surface sur laquelle une droite indéfinie peut s'appliquer exactement, dans tous les sens. On peut se demander, avec raison, si une semblable définition donne une idée bien nette de la forme du plan, si les conditions en nombre infini, qu'elle exprime, ne sont pas incompatibles, et ne rendent pas impossible l'existence d'une telle surface. Dans tous les cas, la définition géométrique et classique du plan n'est pas de celles qui puisent leur justification dans ce qu'on

(1) Chap. I.

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nomme les idées nécessaires, et el!e a besoin d'être démontrée, comme un véritable théorème (1).

Cette démonstration ne se trouve pas dans les ouvrages des anciens géomètres ; elle ne se trouve pas davantage dans les nombreuses éditions de la géométrie de Legendre ; la première trace écrite qu'on en découvre est presque contemporaine: c'est particulièrement le traité Des Méthodes do Duhamel, qui nous fournit sur cette matière les premières objections, en même temps que les premières réponses (2).

Rappelons-nous d'abord que Duhamel avait pris, pour caractériser la ligne droite, cette qualité d'être o une ligne indéfinie telle que par deux points donnés on n'en peut faire passer qu'une seule, » En suivant cet ordre d'idées, qu'il essaie de rattacher plus ou moins à la définition d'Euclide, Duhamel aurait dû définir le plan, camme « une surface indéfinie telle que par trois points donnés on n'en peut faire passer qu'une seule. » L'analogie des deux définitions eût été complète, et tout ce qu'on peut invoquer, pour ou contre la première, subsiste à l'égard de la seconde. Pourquoi ce géomètre n'a-t-il pas suivi sa pensée jusqu'au bout? On ne se l'explique pas; mais, si l'on considère que ce mode de définition n'offre à l'esprit que des propriétés purement négatives, abstraites et artificielles, lesquelles doivent être bannies autant que possible des principes de la science, on ne peut que s'applaudir de le voir abandonner le terrain, sur lequel il a construit sa définition de la ligne droite, et

(1) Essai, 1" partie, chap. iv.

(2) Des Mélltodes, 2= partie, parag, 14 etei

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rechercher des qualités d'une autre espèce, pour formuler la définition du plan,

Duhamel propose donc d'appeler plan « la surface « engendrée par une droite qui se meut en tournant autour M d'un point d'une autre droite à laquelle elle reste cons- « tamment perpendiculaire. » Comme on le voit, cotte propriété d'une droite de tourner autour d'une autre est d'un ordre essentiellement concret, elle donne une iiîée suffisante de la surface engendrée; elle peut donc servir de texte à une définition, pourvu qu'il ait été démontré auparavant que la figure existe, et qu'elle est unique.

Ce n'est pas que le mouvement d'une droite autour d'un point puisse être contesté; mais, ce mouvement s'accomplit ici dans certaines conditions, qu'il faut rendre possibles. Et pour cela, l'auteur aura d'abord à établir la définition d'une droite perpendiculaire à une autre ; puis, en retour, celle d'angles égaux, et enfin, celle d'angle ; car, comment comprendre que deux droites soient perpendiculaires entre elles, ou que deux angles soient égaux entre eux, si l'on n'a pas l'idée d'angle ? Duhamel, il est vrai, ne pense pas tout à fait ainsi : il croit que pour entendre l'égalité ou la superposition de deux angles, « il n'est pas à propos de définir cette idée d'an- « gle, parce qu'elle ne saurait être ramenée à d'autres c( plus simples ou seulement bien définies avant elle, » Si l'on veut juger de la portée d'une semblable affirmation, il suffit d'examiner le sens qu'on attache ordinairement au mot angle ; on restera convaincu que ce mot est pris habituellement avec une signification telle^ qu'il est impossible de s'en servir ici, sans une restriction préalable.

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