CHAPITRE VI

néfiuiflon exacte de l'angle plau

Qiianil on dit qu'un angle est Ja rencontre de deux lignes, on emploie une expression qui ne rappelle que l'idée du sommet, et qui est vicieuse à tous les égards ; nous ne nous y arrêterons pas.

Euclide, dans la définition de l'angle, qu'il donne dès le premier Livre de ses Eléments, ne sépare pas du tout les deux mots angle et plan; l'idée de plan marche immédiatement avant celle d'angle, à laquelle elle demeure associée, jusque dans le terme dont il se sert : p/««!Mangulus (1),

Antoine Arnauld, de Port-Royal, considère l'angle rectiligne comme un espace indéfini compris entre deux droites qui se joignent, du côté oii elles s'approchent le plm (2).

D'autres ont proposé, avec d'Alembert, de limiter cet espace, dans le sens où il est indéfini, à un arc de cercle,

(1) Trad. de Peyrard, déjà tiité.

(â) JVouc. Elém. de Qèométrie, livre

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46 DKFIKITIOxNS GÉOMKTRIQUIÎS

qui aurait le sommet pour centre et pour rayon une longueur arbitraire. On réussit ainsi à se débarrasser de la présence gênante de l'infini ou de l'indéterminé ; mais, c'est à la condition d'introduire, à sa place, un élément étranger à la nature de l'angle, et tout à fait superflu.

L'une et l'autre de ces trois manières de voir emportent d'ailleurs, avec elles, l'idée de surface plane, et leur adoption nous conduirait tout droit, dans la superposition de deux angles effectuée avant la notion du plan, à une pétition de principe.

Il y a aussi des géomètres pour lesquels ce terme correspond à une idée toute différente, qu'ils expriment par l'un des mots suivants ; écartement, mdinaison, ou encore, quantité dont une droite a tourné autour d'un point. Cette idée paraît très-claire, et bien formulée en vue de la mesure des angles. Cependant je soupçonne que ces géomètres entendent, sous ces mots, que l'inclinaison des deux droites est prise dans un sens, plutôt que dans un autre; sans quoi, cette inclinaison même serait quelque chose de vague : il y a effectivement mille manières de transporter une droite, dans l'espace, en la faisant tourner autour d'un de ses points, d'une position à une autre; tandis qu'il n'y en a qu'une, dans un plan. Il est donc permis de croire que ceux qui identifient le terme d'angie avec ceîui d'inclinaison, ou avec toute autre équivalente expression, présupposent que cette inclinaison est estimée dans le cas où elle est minimum, c'est-à-dire dans le plan des deux droites considérées.

Mais, s'il en est ainsi, !a pétition do principe signalée plus haut est toujours menaçante, et il est clair qu'une telle notion de l'angle ne peut pas servir de base à

DÉFINITION EXACTE DE l'aNGLE PI.AN 47

la théorie du plan. Si, au contraire, cette expression n'a aucun des sens déterminés que je viens d'indiquer, ou, si elle en a un que nul ne peut faire connaître exactement, il paraîtra singulier que des géomètres aient voulu passer outre, et procéder, quand même, à la définition de l'égalité des deux angles, et, par suite, à celle de la perpendiculaire.

Suffira-t-il, comme l'a dit Lacroix, de le montrer aux yeux, en guise d'échantillon? Faudra-t-il, avec Duhamel, renoncer à trouver u'ne notion plus simple ou seulement bien définie auparavant ? Devrons-nous avouer qu'il y a là une lacune inévitable, une sorte de desideratum, impossible à satisfaire ? Quelle que soit la réponse de la raison à une semblable question, il n'y avait pas lieu, ainsi que Duhamel et ses imitateurs l'ont fait, d'ériger cette imperfection initiale en véritable dogme ayant droit à notre respect : « L'important, proclament-ils en toutes « lettres, est de définir clairement l'égalité et l'addition « des choses; et cela est suffisant en même temps que

« nécessaire pour les comparaisons Nous ne dirons

« donc pas ce que c'est qu'un angle, — ce sont toujours « eux qui parlent, — mais ce qu'on appelle angles « égaux (1), »

Je réponds hardiment, au nom de la philosophie élémentaire, qu'une telle prétention n'est pas soutenable, et que la définition préliminaire d'une grandeur est indispensable, pour que l'esprit puisse se livrer à la comparaison de deux grandeurs de cette espèce. Peuton raisonnablement demander à quelqu'un d'accepter sans répugnance qu'une chose, non définie, soit égale à

(1) Duhamel, Des Méthodes, 2' partie, p. 13.

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48 JtÉFINlTiONa GÉOMÉTRIQUES

une autre, qui ne l'est pas davantage ? Et ne verra-t-on pas qu'au fond on fait un cercle vicieux, des mieux caractérisés, quand on affirme qu'un angle est plus petit ou plus grand qu'un autre, si la définition n'en a pas été préalablement établie, et ne doit ressortir que de leur mutuelle comparaison (1) ?

On peut donc déplorer qu'il soit venu à la pensée de quelques savants de premier ordre, de proposer comme règle scientifique un procédé qui répugne à la logique sérieuse, d'une part, et qui, d'autre part, offre trop d'agrément et de commodité aux esprits superficiels, pour n'être pas adopté avec empressement et exploité par eux, jusque dans ses dernières conséquences.

C'est vainement qu'on essaie de fixer l'idée des choses, au moyen d'une phrase ou d'un mot. si cette idée ne correspond à rien de net ou d'universellement admis; et, dans le cas particulier dont il s'agit, personne n'osera soutenir que le mot angle est de ceux qui ont une signification précise ou parfaitement connue, puisqu'un premier examen nous y a fait découvrir trois ou quatre idées différentes, et toutes incapables d'entrer parmi les éléments de la définition du plan, qu'on se propose de faire. Mais, efforçons-nous de saisir le sens rationnel de ce terme, et de le ramener à la juste valeur qu'il doit avoir, à l'origine de la science.

On peut, d'ahord, se représenter une droito partant d'un point dans l'espace, quelle que soit la définition adoptée par la ligne droite ; on peut, ensuite, en imaginer une seconde partant du même point, mais distincte de la première. Ces deux droites, considérées ainsi et dans leur

(IJ Chap. IV, fin.

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DÉFINITION EXACTE DE l'aNGI.E PLAN 49

ensemble, forment une figure, que l'esprit est porté à orner de tous les attributs qui sont l'apanage ordinaire de l'angle. Il y voit immédiatement les deux branches d'un compas, qu'on a ouvert, ou les deux bords d'un morceau de papier, découpé en pointe, ou les degrés circulaires qui limitent le rapporteur et le graphomètre.

Mais, rien ne nous oblige, en vérité, à céder à ce premier entraînement irréfléchi de la pensée ; nous pouvons, si nous le voulons, écarter provisoirement d'une telle figure l'idée de surface, limitée ou illimitée, aussi bien que celle d'inclinaison mutuelle, et celle de quantité dont l'une des droites a tourné, autour de l'autre, soit dans leur plan, soit en dehors de ce plan. Si l'on fait, enfin, abstraction de tout ce qui n'est pas exclusivement l'une ou l'autre des deux droites, et si l'on consent à ne leur adjoindre aucun élément, étranger à leur stricte définitiouj on se trouve en face d'une figure, simple de forme, qui apparaît avec une existence propre et avec un degré de réalité aussi élevé que celui des droites mêmes qui la composent. Qu'on l'appelle angle, inclinaison ou li//ne brisée, peu importe ; ce qui reste d'une conception réduite à ces termes, c'est une figure géométrique définie par deux droites, qui partent du même point et vont chacune dans un sens différent.

Une semblable figure sera peut-être difficile à concevoir, lorsque chaque droite aura été définie elle-même par une propriété négative et abstraite, comme elle l'est par Duhamel; car, c'est à peine si, dans ce cas, l'idée de direction, et, à plus forte raison, celle de coïncidence, présentera à l'esprit quelque chose de saisissable. Mais, pour nous et pour tous ceux qui ne voient dans «ne droite , avec Legendre , que la propriété positive et

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concrète d'être la plus courte longueur entre deux de ses points, toute difficulté disparaît, soit qu'il s'agisse de la déânition nouvelle de Fangle, soit qu'il s'agisse de l'égalité par superposition de deux angles.

Il est tellement impossible, d'ailleurs, de se passer de cette définition de l'angle, quand on veut établir l'égalité dés angles, que Duhamel lui-même, au moment où il proclame son dogme de l'abstention, se met précisément en flagrant délit d'infidélité à ses propres conseils. « Deux « droites qui se rencontrent, dit-il, font le même angle (( que deux autres qui se rencontrent en un autre point, « quand on peut, en transportant l'un de ces systèmes, « sans y rien changer, faire coïncider les directions « de ces deux lignes avec les directions de celles de « l'autre (1). » Pour qui sait lire entre les mots, ce que l'auteur nomme un système n'est pas autre chose que ce nous venons d'appeler angle, et, en somme, sa définition en renferme deux, tout à fait distinctes l'une de l'autre, bien que confondues dans une seule et même phrase, savoir : celle de Yangle, et celle de l'égalité de deux angles. Au surplus, la clarté et l'élégance auraient tout à gagner, comme la logique, au dédoublement sincère de cette définition complexe, et l'on ne sait lequel des deux il faut le plus regretter, ou de ce contre-sens systématique ou de l'inutilité de ce contre-sens.

(1) Duhamel, Des Méthodes, 2" partie, p. 13 et siiiv.

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