CHAPITRE VII

Déflultlou exacte du plan

Après avoir défini l'égalité des angles, Duhamel admet la possibilité de mener une droite, qui soit perpendiculaire à une autre, c'est-à-dire qui fasse avec l'autre deux angles adjacents égaux; puis, il fait voir que la surface engendrée par cette perpendiculaire, tournant autour de l'autre, présente cette particularité d'être identique de forme de ses deux côtés. « Si, en effet, dit-il, on la « retourne, et qu'on fasse coïncider chacune des direc- « tiens de la première droite, transportée avec elle, avec « la direction opposée à partir du point fixe, elle coïncici dera avec sa première position, puisqu'elles seront c( l'une et l'autre le lieu géométrique des perpendicu- « laires à une même droite par le même point (1). »

Ce raisonnement est assez peu fondé; car, qui dit lieu géométrique, dit figure qui contient ici toutes les perpendiculaires menées à la droite, par le même point,

(i) Des Méthodes, ibid.

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52 DÉFINITIONS GEOMETRIQUES

et qui n'en contient pas d'autres. Or, il n'est pas question de cela dans la démonstration. L'auteur en tire d'ailleurs cette conséquence mal assurée, et exprimée en des termes qui signifient à peu près le contraire de ce qu'il veut dire : « il est évident que cette surface coïnci- « dera toujours avec elle-m^me, si on la déplace de « manière que les perpendiculaires qui l'ont engendrée H restent perpendiculaire à l'axe fixe. » Ce qu'il a l'entention de montrer par là, c'est que la surface, dont il vient de constater l'existence et qu'il appellera pian, est unique, c'est-à-dire que tous les plans engendrés par un mouvement se produisant dans des conditions analogues, quelles que soient la droite mobile et la droite fixe, sont superposables.

Voici maintenant comme il passe de sa définition à la définition classique du plan, et c'est là le point important. Il s'agit de prouver que sa surface jouit de cette propriété, qu'une droite y est contenue tout entière, dès qu'elle j a deux de ses points. « Considérons, dit-il, deux « points quelconques sur cette surface; faisons passer « par ces points une ligne indéfinie, et suivons la à M partir d'un de ces points en marchant vers l'autre. « Gomme, parsa définition, elle est semblable de tous les Cl côtés, et que le plan n'offre lui-même aucune dissem- « blance entre ses deux faces, de quel côté de la surface « peut-on concevoir que passe d'abord la droite ? Et elle « ne peut passer des deux côtés à la fois, parce qu'alors, « quand on serait arrivé au second point donné, on « aurait deux lignes droites passant par les deux mêmes « points, ce qui est admis impossible. »

« Comment donc n'admettrait-on pas comme évident « qu'entre ces deux points la droite est tout entière

« dans la surface ? Et l'on admettra aussi qu'elle n'en « peut sortir au-delà; car, par les raisons déjà données, « si elle passait d'un côté, on serait fondé à admettre « qu'elle passe de l'autre, et l'on aurait encore deux « droites différentes qui auraient deux points communs ; « ce qui est contraire à la définition (1). »

Toutes ces idées et ces propositions paraissent à Duhamel ne devoir être l'objet d'aucune difficulté. Je suis presque de son avis; cependant, il est permis de se demander ce que c'est, pour une ligne, d'être semblable de tous les côtés; et pour un plan, de n^offrir aucune dissemblance entre ses deux faces. Non pas que je mette en doute ces qualités ; mais, dépareilles expressions sont d'un sens trop indécis pour qu'on puisse édifier, sur les idées qu'elles représentent immédiatement, une proposition aussi capitale. Duhamel entend, sans aucun doute, que l'espace homogène et continu est distribué symétriquement de part et d'autre de la surface, au moins dans le voisinage de cette surface ; mais il ne le prouve, ni ne dit formellement, et il ne peut pas le dire, ces parties de l'espace ne jouant à peu près aucun rôle dans sa démonstration. Il n'oserait pas davantage soutenir, avec Bertrand (de Genève), avec Vincent et avec M. Ricart, qu'un plan est partagé par une droite, ainsi que l'espace par un plan, en deux régions égales ou identiques, c'està-dire en deux parties teHes, qu'on ne puisse rien dire de l'une qui ne puisse aussi bien se dire de l'autre; car, ces deux régions sont infinies en étendue, et, pour lui, l'identité ou l'égalité de deux grandeurs infinies est impossible à concevoir.

(1) Des Méthodes-, ibid.

54 DÉFINITIONS GEOMETRIQUES

Il y aurait, au surplus, une objection à faire contre cette considération : si le plan était défini par cette propriété de partager l'espace en deux régions égales, il en serait de même d'un second plan, qu'on supposerait comme le premier, perpendiculaire à la même droite, et l'on arriverait à cette conséquence, que deux grandeurs infinies pourraient être égales et cependant différer d'une quantité infinie, ce qui est très-difficile à admettre, lorqu'on vise à affranchir la science de tout ce qui est pure conception métaphysique.

En résumé, la justification du plan, présentée par Duhamel, est mal dirigée et prête le flanc à la critique ; mais, il suffira d'y introduire, comme il suit, les notions positives, raisonnées et naturelles, qui découlent de la définition de la ligne droite, telle que nous l'a fait connaître Legendre, et qu'on ne retrouve plus dans celle de Duhamel, pour en former une démonstration logique et irréfutable.

On appellera angle la figure formée par deux droites, qui partent du même point et vont chacune dans un sens différent, abstraction faite de tout ce qui n'appartient pas à ces deux droites.

Si l'on retourne un angle, ainsi défini, de manière à ce que l'un de ses côtés vienne tomber sur l'autre, le sommet restant fixe, il y a coïncidence de la figure retournée avec la figure primitive. Cette coïncidence peut être admise, comme chose évidente, ou comme résultat des conséquences absurdes auxquelles on serait conduit, dans l'hypothèse contraire, après deux retournements successifs.

Supposons qu'on ait pris, à partir du sommet et sur les deux cétés d'un angle des longueurs arbitraires, mais

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égales, et ga'on ait mené la droite qui passe par les deux extrémités de ces longueurs, puis celle qui va du sommet au milieu de cette droite. — Les anciens géomètres nommaient la première de ces droites, base, et la seconde, médiane de l'angle ; nous conserverons, pour abréger, ces dénominations. — Supposons donc qu'on ait mené la base et la médiane d'un angle, et qu'on fasse tourner la figure autour de la base ; la médiane décrit une surface qui est limitée, ou illimitée, suivant que la droite mobile est elle-même limitée, ou illimitée, et qui jouit, en outre, des propriétés suivantes :

1" Tout point, situé sur lasurface, est également éloigné des deux extrémités de la base. En effet, considérons un point quelconque de la médiane ; admettons qu'on ait retourné l'angle et qu'on l'ait superposé à lui-même, la base sera retournée bout pour bout ; son milieu n'aura pas changé de place, la médiane non plus, puisqu'elle va du sommet au milieu de la base ; donc, le point considéré sur la médiane, et, par suite, tout point de la surface est également éloigné des deux extrémités de la base.

2° Tout point, situé hors de la surface, est plus rapproché d'une des extrémités de la base que de l'autre. La démonstration se tire, sans peine, de ce qui vient d'être dit et de la définition même de la ligne droite, considérée comme le plus court chemin d'un point à un autre.

On en conclut que la surface, engendrée par la médiane d'un angle tournant autour de sa base, est le lieu géométrique des points qui sont également éloignés des deux extrémités de sa base.

De plus, on peut s'assurer que ce lieu géométrique est aussi celui des points qui sont également éloignés de deux autres points quelconques de la base, équidistants

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(lu milieu ; car, si l'on prend, sur la base de l'angle générateur, deux points, autres que les extrémités et équidistants du milieu, et qu'on les joigne au sommet par des droites, on forme un second angle qui sera retourné et superposé à lui-même en même temps que le premier. D'où il résulte que toutes les surfaces, obtenues par le même mode de génération, en partant d'une base et d'un angle quelconques, sont superposables, c'est-à-dire que la surface ainsi engendrée est unique.

II reste à prouver que par rapport à la surface, dont l'existence vient d'être établie, l'espace est distribué symétriquement ; et cela, sans recourir à l'identité de forme, ce qui est vague à priori, ni à l'égalité de deux régions infinies, laquelle serait contestable, mais en s'appuyant seulement sur les notions de distance, déjà utilisées. Or, il est aisé de voir que, s'il y a un point, situé d'un côté, à des distances déterminées et inégales des deux extrémités de la base, on en peut trouver un second, situé de l'autre côté, qui soit aux mêmes distances inégales des extrémités, mais en sens inverse. La construction, pour trouver ce point, est des plus simples à exécuter, et la démonstration est facile à suivre.

Rien ne s'oppose maintenant à ce qu'on puisse appliquer le raisonnement indiqué par Dubamel, pour faire voir qu'une semblable surface jouit de cette propriété, qu'une droite y est contenue tout entière, si elle passe par deux de ses points; la symétrique distribution de l'espace des deux côtés de la surface, qu'on vient d'établir, laisse alors à ce raisonnement toute la rigueur et tout le relief désirables.

Quant à la proposition réciproque, savoir, que toutes les surfaces sur lesquelles une droite peut être appliquée,

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exactement et dans tous les sens, sont superposables entre elles, la démonstration en figure tout au long, dans Duhamel et dans les traités les plus élémentaires, sous la rubrique suivante : Trois points, qui ne sont pas en ligne droite^ déterminent un plan. Et je n'y insiste pas.

Comme on le voit, il j a effectivement un lieu géométrique satisfaisant à toutes les conditions, imposées par la définition de Héron et de Legendre à une surface, pour qu'elle soit plane, et ce lieu est la surface engendrée par la médiane d'un angle, qui tourne autour de sa base. Aucune trace de la justification de cette définition ne se trouve dans les ouvrages anciens, non plus que dans Legendre, et c'est à Duhamel que revient l'honneur du premier essai dans ce sens (1). Mais, si l'on veut que cette justification soit vraimentirréprochabie, ilfautavoir soin de donner à la définition de l'angle la place et la valeur exacte qu'elle doit avoir au début de la science, et d'envisager seulement cette qualité positive de la ligne droite, d'être la plus courte longueur entre deux de ses points.

C'est pour avoir méconnu la portée rationnelle de cette première définition de la ligne droite, que les géomètres aujourd'hui sont embarrassés d'accepter la définition classique du plan. Peut-être doit-on assigner encore une autre cause, moins immédiate, à leur étrange hésitation ! On dirait, en effet, à voir certaines affirmations

(1) On trouve aussi, dans les Notions préliminaires des Éléments de géométrie àe M. Ricart, 'p&rag. 13, 14, 13, 15, 17, une justification de la définition du plan. C'est la reproduction des idées de Duhamel, avec moins de simpliciti^ et pas plus de rigueur.

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qui se produisent dans les traités modernes, tantôt sous la forme dubitative, tantôt comme un cri désespéré de la raison, que la peur de l'infini, qu'on rencontre à chaque pas dans l'élude des mathématiques, s'est emparée de l'esprit de certains géomètres, et qu'elle trouble la netteté de leurs conceptions.

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CHvlPITRE VIII

Nen» divers du mot Infini

Quoique les hommes aient souvent de différentes idées des mêmes choses, ils se servent néanmoins des mêmes termes pour les exprimer. C'est là, d'après l'auteur de la Logique du Port-Royal, une des causes les plus ordinaires de la confusion de nos pensées et de nos discours. L'idée d'infini est certainement de cette catégorie ; car, il règne aujourd'hui la plus grande diversité parmi les opinions que les géomètres professent à l'égard de ce terme, appliqué à une ligne, à une surface, ou à un volume.

Pour quelques-uns, le mot infini signifie, qui n'a point de bornes, qui est sans limites. C'est ainsi que le mot a été compris par la plupart des géomètres anciens, et l'on peut dire que l'emploi de ce terme, comme simple adjectif, synonyme d'illimité et exprimant une qualité purement négative, relativement à ce qui tombe sous les sens, ne présente tout d'abord aucun inconvénient dans le langage scientifique.

D'autres géomètres, quelquefois les mêmes, à mesure qu'ils raisonnent sur ce sujet et qu'ils rencontrent plus

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souvent l'iiifiiii dans leurs discours, ne tardent pas à sentir une peine extraordinaire à manier ce qui n'a point de bornes, point de limites ; leur infini devient alors un phénomène hors nature, une sorte de monstre invisible, très-génant pour l'imagination, et dont il y a tout avantage à se débarrasser, dès le début de la science. Ils s'en débarrassent effectivement, en diminuant la portée du mot : ils appellent infini ce qui est plus ou moins grand, mais trèsgrand, sans s'inquiéter davantage de la manière dont cet infini est ou n'est pas terminé ; le mot mt^i^yînj remplace alors celui d'infini, et ne présente plus les mêmes inconvénients, sauf à être pris pour équivalent d'indéterminé.

Quelques géomètres enfin, plus hardis que les précédents, soutiennent qu'il n'y a pas lieu d'avoir peur de l'infini, fû[-il doté de ses trois dimensions, que ce n'est rien ou presque rien, si ce n'est un espace imaginaire, une sorte de vide, dans lequel il n'est pas désagréable de penser qu'on peut être plongé, avec tout le reste de la création.

J'écarte de la discussion le terme d'infini absolu ; parce que, dans la bouche de ceux qui s'en servent, l'épithète d'absolu n'est là que pour renforcer le sens du mot précédent, pour en foncer la couleur et non pour la changer : l'infini absolu est ordinairement ce qui est infini, sous tous les rapports; et il ne s'agit jamais, pour le géomètre, que de l'infini considéré sous un certain rapport, c'est-àdire de Vinfini relatif.

Les uns ne voient donc, sous ce mot, appliqué à une grandeur géométrique, que des qualités négatives ; les autres, que des qualités qui se distinguent à peine des propriétés du fini ; enfin, les derniers n'y trouvent que le néant. Je crois pouvoir démontrer, d'une part, que

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