CHAPITRE IX

L'inflal et rindcflni

a Toutes les sciences, a dit Arnauld, supposent des tt connaissances naturelles, et elles ne consistent pro- « prement qu'à étendre plus loin ce que nous savons « naturellement (1). »

Ce qui veut dire que, la géométrie repose sur les données de la raison, tout autant que sur celle de l'expérience, et que, si l'observation nous fournit le germe des idées mathématiques, en nous faisant voir des choses concrètes, l'esprit s'empare de ces idées, les agrandit par l'imagination, les généralise et les complète par une conception, et, les dépouillant ainsi de ce qu'elles ont de matériel ou de particulier dans leur objet, les amène à cet état de perfection, qu'on nomme abstrait, où elles se prêtent merveilleusement aux combinaisons de l'analjse. Voilà la véritable logique des sciences mathématiques.

Il semble que, de nos jours, cette vérité se soit peu à peu obscurcie. Beaucoup de géomètres contemporains se

Cl) iJiQiqw ou Aft de penser. 4'^ partie.

l'inpinï et l'injjépini 63

sont tournés, avec la masse des hommes, vers le côté exclusivement pratique de la vie, et emploient toute leur attention à découvrir des applications nouvelles, sans souci des vérités premières. Ils perdent ainsi de vue, en s'éloignant des principes, et le véritable objet de la géométrie, qui est l'étude des propriétés de l'étendue intelligible, et le véritable esprit géométrique, qui consiste à mettre enjeu, dans cette étude, toutes les facultés de l'âme raisonnante, et non pas seulement une partie de ces facultés.

De même que le réel est devenu, pour quelques peintres incorrigibles, le dernier mot de l'art, de même pour ces géomètres, l'expérience est le suprême critérium du savoir; ils n'accordent l'être qu'aux rapports des choses qui sont susceptibles d'être touchés du doigt, traduits par une expression sensible, ni plus ni moins que s'il s'agissait d'une science d'observation pure, et au grand détriment de la raison humaine. « Les sciences « mathématiques, ont-ils dit, sont des sciences d'expé- « rience et d'observation, uniquement fondées sur l'in- « duction des faits particuliers, de même que l'astrono- « mie, la mécanique, l'optique et la chimie (1) ».

Cela paraîtra d'autant plus étrange, qu'il y a beaucoup de choses, dans la géométrie et en dehors de la géométrie, que la plupart des géomètres admettent comme très-certaines, sans que nous puissions les figurer matériellement, ni même nous les représenter par l'imagination.

Lorsque je dis, avec Descartes : « Je pense, donc je suis » , nul fantôme ou image corporelle ne peut servir à

(1) D' Beddoes. Observ. swr fa nat. de Vêvid. démonst.

Hosted by

64 DKFINITIONS GÉOMÉTRIQUES

me faire concevoir ce que j'entends par ces mote : je pense, je suis, II est impossible de s'imaginer une pensée, d'en peindre aucune image dans le cerveau ; l'idée de ma pensée et celle de mon existence se conçoivent donc indépendamment de toute image corporelle.

J'en dirai autant d'une multitude de figures géométriques, que l'on conçoit, sans qu'on puisse les tracer, ni les imaginer : ainsi, par exemple, nous pouvons tracer et imaginer un décagone régulier, inscrit à un cercle ; mais, nous ne pouvons tracer et nous n'imaginons pas un polygone régulier de 10 millions de côtés, inscrit au même cercle. Il est évident qu'un tel polygone, si on se le représente seulement par l'imagination , ne diffère pas du tout d'un autre qui aurait deux côtés de moins ou deux côtés de plus, parce qu'on ne peut apercevoir distinctement la figure d'un polygone, qui a un si grand nombre de côtés. Au contraire, je puis la concevoir et la concevoir très-clairement, puisque je peux en séparer et en démontrer toutes les propriétés, celle de ses angles intérieurs, de ses angles extérieurs, de ses diagonales, etc., sans aucune difficulté.

C'est donc par une confusion des choses que l'on imagine et des choses que l'on conçoit, confusion qui résulte d'une mauvaise direction habituelle donnée à leurs jugements, que quelques géomètres modernes en sont venus à ce point, de n'admettre, comme réel, que ce qui correspond à une image précise dans leur imagination. Ainsi que le disait Descartes, autre chose est d'imaginer et autre chose, de concevoir.

Sans doute, l'observation nous révèlo d'abord les propriétés sensibles des corps, tels qu'ils sont dans la nature ; l'imagination peut ensuite, par l'opération

Hosted by

l'infini et l'indéfini 65

connue sous le nom d'abstraction, séparer ces propriétés des corps eux-mêmes, les isoler, les perfectionner, en vue de l'étude qu'en veut faire le géomètre. Mais, un tel résultat n'a encore aucune portée scientifique.

Pour que le géomètre puisse tirer parti do ces images dégagées de la matière, de ces idées isolées, il faut que son esprit se livre à un nouveau travail, il faut qu'il compare ces idées les unes aux autres, il faut qu'il s'assure que ce qui est vrai, dans un cas, l'est aussi dans un autre, et dans la multitude des cas qu'il peut concevoir, sans qu'il les rencontre jamais dans la nature.

Cette- comparaison et ces jugements, qui en sont la conséquence, ne peuvent naître que par un mouvement de la raison, qui n'a rien de commun avec l'expérience ni avec l'imagination, et dont le résultat est pourtant aussi certain que les résultats fournis par les deux autres procédés.

Le géomètre, en effet, qui conclut que tous les angles droits sont égaux de ce que deux angles droits sont égaux, n'attend pas, pour tirer sa conclusion, que l'expérience ou l'imagination lui ait montré un grand nombre d'angles droits, qu'il trouve toujours égaux. Pourraitelle d'ailleurs les lui montrer tous ?

Il conclut, sans aucun intermédiaire des sens, que le caractère d'égalité que son esprit découvre dans deux angles droits, les premiers venus à l'idée et jetés sur le papier, appartient à tous, s'il n'apparaît, dans la démonstration qu'il a faite, aucune raison pour qu'elle ne puisse se faire de môme sur deux autres produits de la même espèce ; et, la rigueur de cette conclusion repose uniquement sur la certitude qu'il a, que tout esprit raisonnable ne pourra concevoir d'autres angles droits que les siens

Hosted by

bb DEFINITIONS GEOMETRIQUES

propres, et y voir autre chose, sous le rapport de l'égalité, que ce qu'il j découvre.

Que l'on décore cette opération de l'entendement du nom d'induction, de généralisation, ou d'intuition, cela importe peu ; ce qui est important, c'est de remarquer qu'il y a là, pour tous les géomètres, un acte de Tîntelligence pure, qui puise toute sa force en dehors des données de l'expérience et de l'imagination proprement dite, et par lequel on étend, sans hésiter et dès le début, à tous les angles droits, passés, présents, futurs, c'est-àdire à tous les angles droits possibles, une propriété qu'on a reconnue et démontrée sur deux angles droits seulement. C'est dans cette extension de la pensée que se trouve la source de la première idée de l'infini, c'està-dire la vue de l'indéfini.

Malheureusement cette vue de l'indéfini est ignorée, méconnue ou mal pratiquée, par beaucoup de géomètres contemporains. Plusieurs se plaisent à confondre cette opération de l'esprit, qui nous découvre l'indéfini, avec l'analogie empirique, laquelle est le fond de la méthode propre aux sciences naturelles et n'a rien à voir dans la géométrie. D'autres s'arrêtent en route, par peur de rencontrer l'infini, après l'indéfini. Leur peu d'assurance philosophique se montre à chaque page, dans les rares chapitres où ils osent discuter sur l'inflni.

« Une droite, prolongée à l'infini, a-t-elle encore des « extrémités ou n'en a-t-elle pas? Si elle n'en a plus, « que sont-elles devenues? En prolongeant une droite, « on éloigne ses extrémités, mais peut-on jamais les « enlever? »

Car enfin « une droite ne saurait exister sans ses i( extrémités, pas plus qu'un triangle sans ses angles et

Hosted by

l'infini et l'indéfini 67

H ses côtés. Supposer «ne droite sans extrémités, un c( plan sans limites, c'est supposer l'absurde et l'impos- « sible (1). »

Telles étaient à peu près les objections des premiers Pyrrhonniens, contre la certitude géométrique, et telles sont encore les objections des modernes, qui assignent pour objet de la géométrie certaines propriétés des corps matériels.

Si l'auteur de ces demandes et de ces réponses veut dire, par là. qu'il n'a jamais vu un champ de blé sans limites, qu'il n'y a pas de route sur la terre qui n'ait un commencement et une fin, et que même la distance de notre globe à l'étoile ia plus éloignée a encore ses deux bouts, il faut lui accorder qu'il a raison. On ne peut nier en effet, si l'on s'en tient au témoignage des sens, qu'une droite ne saurait exister sans ses extrémités, non plus qu'un plan sans ses limites. Mais, il y a loin de la raie visible et grossière, tracée sur le tableau noir ou sur le papier, à la ligne géométrique qu'elle est chargée de représenter à notre esprit. Notre esprit peut concevoir une longueur, sans largeur, bien qu'il n'en existe pas pour les yeux du corps; il conçoit de même les extrémités d'une ligne , bien que ces extrémités n'aient aucune espèce d'étendue.

Toutes les figures géométriques en sont là ; et, pour rester dans les idées de l'auteur précité, comment peut-il accepter l'existence d'une droite mathématique, et surtout de ses extrémités? En a-t-il vu une seule, je ne dis pas prolongée à l'infini, mais ayant ses deux bouts? Jamais. Si donc, il n'en a pas vu qui ait ses deux bouts,

(I) H. Fleurj, Géotnélrie, DiscouTS prélimmaire, passim.

Hosted by

68 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

pourquoi admet-il qu'il y en a? Et, s'il admet qu'une droite existe, bien que n'ayant d'autre raison d'être qu'une conception de son esprit, c'est qu'il lui attribue certaines qualités ; pourquoi n'admettra-t-il pas que cetle droite puisse être prolongée, à son gré ou au mien, en demeurant telle qu'elle est dans la partie qu'il conçoit, c'est-à-dire sans altération de ses qualités, si ce n'est qu'elle gagne de plus en plus d'étendue en longueur?

Ne faut-il pas qu'il m'accorde aussi que, si loin qu'il pourra concevoir une droite ainsi prolongée, je peux la concevoir prolongée encore au-delà? Il suffit, comme l'a dît Leibniz, pour que cette production puisse se faire, n que la même raison subsiste toujours pour aller plus « loin (1) ; » or, c'est précisément ce qui arrive. Aucun obstacle ne peut venir du cùté de mon esprit, sans quoi il l'aurait déjà rencontré la première fois que la conception s'est substituée à l'imagination, et il ne l'a pas rencontré. L'obstacle ne peut venir, non plus, du milieu dans lequel mon esprit opère ; car, ce milieu, qu'on nomme l'espace, est un élément passif, inerte, qui ne saurait opposer, à un moment donné, la moindre résistance à la raison agissant sans le secours d'aucune image matérielle. Rien ne s'oppose donc, si l'on peut concevoir une droite prolongée au-delà des limites assignées par l'imagination, à ce qu'on puisse la concevoir prolongée encore indéfiniment plus loin ; la droite devient alors la trace la plus simple et la plus positive de l'activité indéfinie de l'esprit humain.

Arehimède avait déjà réussi à mettre cette vérité en évidence, malgré les sophistes de son temps. « Quant à

(1) Nouv. Essais, liv. n. chap. XIV.

Hosted by

l'infini et l'indéfini 69

« moi, dit-il, je vais faire voir par des démonstrations « géométriques, que parmi les nombres dénommés par « nous, dans les livres adressés à Zeuxippe, il en est qui « excèdent le nombre des grains de sable d'un volume « égal non-seulement à celui de la Terre, mais encore à « celui de l'Univers (1). » Et il le fait voir, à l'aide de la considération de deux progressions, l'une arithmétique et l'autre géométrique, dont la combinaison ressemble assez à la théorie actuelle des logarithmes vulgaires.

Mais, si perçante que soit la vue, si féconde que soit l'imagination, si puissante que soit la conception, il j a toujours un point auquel on s'arrête, et une ligne droite indéfiniment croissante n'est encore qu'une ligne droite finie ; c'est un simple cas particulier de la grandeur d'une droite, lequel en comprend une multitude d'autres, si l'on veut, mais ne les comprend pas touSj car il ne saurait comprendre aucune ligne droite dont la longueur serait plus grande ; et il y en a toujours une, du moment qu'on s'arrête.

Cependant cette vue de l'indéfini peut suffire, dans une certaine mesure, à l'étude ordinaire de la géométrie et de l'algèbre élémentaire. Les anciens s'en contentaient ; et Ton ne doit pas oublier, d'ailleurs, qu'il est tout à fait permis de ne faire entrer, dans la définition d'une figure, qu'une partie des propriétés de cette figure (2), pourvu que ces propriétés satisfassent aux conditions de rigueur. Sous ces conditions, une droite indéfinie pourra donc servir de point de départ provisoire à l'étude de !a

(I) Arênaire. — Préface.

(3) Chap. I".

Hosted by

géométrie. Mais qu'arrivera-t-il, avec une semblable définition?

Dana la théorie des parallèles, on est tout de suite obligé de renoncer au sens conventionnel et restreint qu'on vient d'attribuer à une droite indéfinie ; car, il n'est personne qui veuille admettre que deux droites perpendiculaires à une troisième soient des droites qui se rencontrent très-loin. On démontre bel et bien que la rencontre de deux pareilles droites, s'opérât-elle indéfiniment loin, entraînerait une absurdité ; et, cette absurdité ne résulf-e pas d'une transformation progressive de la figure, elle est immédiate ; donc, elle implique une conception plus générale et plus étendue que celle de l'indéfini, elle suppose une nouvelle notion, qui n'est pas contenue dans la définition provisoire ; c'est la vue simple, naturelle et directe de l'infini.

Dans les problèmes déterminés, l'infini se présente comme donnée ou comme solution de la question. Lorsqu'il se présente comme solution, voici quelle est la règle classique d'interprétation. Si la solution infinie donne directement la valeur de l'inconnue, on dit que la question proposée est absurde ou impossible, c'est-à-dire qu'elle est sans solution ; si la solution infinie ne donne pas directement la valeur de l'inconnue, mais seulement celle d'une inconnue auxiliaire, comme, par exemple, la tangente trigonométrique d'un angle, qu'il s'agit de déterminer, on excepte alors des solutions du problème le cas où l'angle est droit, ou bien l'on accorde que, pour plus de généralité, l'angle droit ne sera pas excepté, bien que répondant à une solution infinie. Cette règle devient ainsi très-générale et très-simple ; mais, il n'en est pas moins vrai que, prise au pied de la lettre, et dans

Hosted by

l'infini et l'indéfini 71

les mêmes circonstances, elle dit tantôt: « il n'y a pas de solution, B et tantôt: «il y a une solution. »

L'infini peut aussi se présenter autrement que comme solution d'un problème; il peut se trouver dans les données mêmes de la question. Ainsi, par exemple, on peut se proposer de chercher le rapport de deux angles, l'angle étant, par définition, la surface plane comprise entre deux droites qui se rencontrent ; et l'on fait voir, dans la géométrie élémentaire, que le rapport de ces deux angles est égal à celui des deux arcs compris entre leurs côtés et décrits, avec le même rayon, de leur sommet comme centre. Quel sens peut-on raisonnablement attribuer à une telle proposition, si les côtés d'un angle ne sont pas considérés comme infinis en longueur, mais seulement comme indéfinis, ou bien comme indéterminés? Il ne faut pas oublier que l'indéfini, au sens moderne, demeure plus ou moins indéterminé, bien que ces deux mots ne soient plus, comme ils l'étatent au xvii" siècle, parfaitement synonymes.

La même remarque s'applique à la bande parallèle, c'est-à-dire à l'aire plane infinie, comprise entre deux parallèles et le segment qu'elles interceptent sur la perpendiculaire commune, aire proportionnelle à ce segment.

Dana la théorie des limites, ce ne sera qu'avec des réserves extrêmes qu'on pourra procéder aux applications si nombreuses et si difficiles de cette théorie ; car, qui dit limite ne veut pas dire indéfiniment croissant ou décroissant : « Nous appellerons limite d'une variable, f dit Duhamel, une quantité constante dont la variable « s'approche indéfiniment, sans jamais l'atteindre (1). »

(i) Eléments de calcul infinitésimal, tome 1, p. 5.

Hosted by

D'où il suit, qu'il est impossible de passer d'une variable

à sa limite, sans sortir de l'iudéfini, e'est-à-dire sans se mettre en contradiction avec la définition provisoire (1). Dans la question des séries, il faudra hésiter avec prudence devant chaque conclusion. Quelquefois, en effet, on considère les séries avec leur nombre de ternies croissant indéfiniment, mais quelquefois aussi on les prend avec leur infinité de termes ; et, ce qui est vrai dans un cas, n'est pas toujours l'indentique de ce qui est vrai dans l'autre. Soit, par exemple, la série alternée des termes suivants :

Cette série est convergente et a pour somme ou total l.i. Or, il est manifeste que, si l'on additionne les termes positifs et si l'on en retranche les termes négatifs, quel que soit l'ordre dans lequel on opère, et pourvu qu'on ne néglige aucun terme, le résultat final doit rester le même, puisque le principe de l'addition algébrique est général et ne comporte point d'exception. Pourtant, l'on établit sans peine, en supposant que le nombre des termes soit indéfiniment grand, mais non pas infini, qu'on peut changer l'ordre des termes, de manière à ce que la somme en augmente, et même en augmente au point de rendre la série divergente, de convergente qu'elle était (2). Une pareille anomalie, et toutes les anomaîies de ce genre, lesquelles ne sont pas rares, montrent bien

(1) V. plus loin, chap. xi.

(2) Lefébure de FoHrcy, Leçons d'Alg., chap. xsiii.

Hosted by

l'infini et l'indéfini 73

(ju'il n'est pas permis de confondre, sous un seul et même terme, l'infini et l'indéfini.

Concluons de là, que la géométrie, bornée à l'indéfini, se trouve forcément amenée à faire des déductions qui manquent de généralité, parce qu'elle s'appuie sur des principes qui manquent de solidité ; elle se meut dans un champ qui est très-vaste, sans doute, mais qui demeure fermé de plusieurs côtes, ce qui est tout l'opposé de l'esprit scientifique par excellence.

Que si l'on veut avoir des premières figures une notion générale, qui embrasse tous les cas possibles et qui sauvegarde l'avenir, on sera obligé de former, avec la ligne droite et dès le début, un type plus universel que l'indéfini, et dont le géomètre puisse déduire, en toute sécurité et sans restriction aucune, les conséquences les plus variées, les plus particulières, les plus inattendues.

Pour cela faire, on procédera comme quand on s'élève philosophiquement de l'individu à l'espèce et de l'espèce au genre ; ainsi que le recommande, en très-bons termes, M. Waddington, dans ses Essais de logique {1), on éliminera de Vidée de ligne droite tous les éléments variables, accidentels, c'est-à-dire le plus ou moins de longueur individuelle dépendant de ses extrémités, et on y conservera ce qui est fixe, permanent, c'est-à-dire cette qualité qui fait qu'une ligne droite comprend toutes les autres, si longues qu'elles soient, et qui est d'être infinie en longueur.

« Une idée générale n'est telle, suivant Malebranche « et suivant la raison, que parce qu'elle implique l'infini « et en porte te caractère. On ne peut, en effet, se for-

(1) Essais de logique, Passim.

Hosted by

« mer des idées générales que si l'on trouve dans l'infin c( assez de réalité pour donner de la généralité à ce; « idées. » De même aussi, avec M. Stuart Mili, « Ie> définitions géométriques doivent être considérées commt nos premières et nos plus évidentes généralisations relatives aux lignes et à toutes les figures, telles qu'elles existent (1). n On peut dire que c'est là une vérité saisissante et presque banale, car on trouve dans les manuels classiques de philosophie que les mots universel et infini sont sjnonjmes ; " nécessité, j est-il dit, inflnitude, « généralité absolue ou universalité, tels sont les carae- « tères de cet autre ordre de connaissances (2). »

La ligne droite, pour être définie d'une manière générale et complète, devra donc toujours être envisagée comme n'ayant ni commencement, ni fin, c'est-à-dire comme se prolongeant à l'infini dans les deux sens. D'ailleurs, cette apparition originelle de l'infini, sous la forme de ligne droite, est remarquable en ce qu'elle en entraîne d'autres. Si l'infini en longueur est nécessaire au géomètre, il ne l'est pas moins en surface, en volume et en nombre ; car, tout ce qu'on peut dire en faveur du premier, s'applique théoriquement aux trois autres, tant au point de vue de la définition qu'au point de vue des démonstrations.

Et voici les conséquences qui en résultent.

Premièrement, une grandeur indéfiniment croissante n'est qu'une grandeur finie ; elle a toujours des limites ; elle peut toujours être exprimée par un nombre indéfiniment croissant.

(1) Système de logique, liv. n, chap. v.

(2) Saisset, Manuel de philosophie, Psyckol.

l'infini et l'indéfini 75

Secondement, une grandeur infinie n'est ni croissante, ni décroissante; elle n'a point de bornes, et il y a un intervalle immense, un abîme, entre une grandeur indéfiniment croissante, la plus grande, et une grandeur infinie. Elle ne peut être exprimée par aucun nombre, si grand qu'il soit.

Troisièmement, comme il importe de pouvoir représenter une grandeur infinie par un signe, dans le calcul algébrique, on a adopté universellement et depuis longtemps, pour ce signe, un 8 renversé. Mais, ii est clair que ce signe unique, pour représenter l'infini en longueur, l'infini en surface, l'infini en volume et l'infini en nombre, est très-insuffisant.

Cette pénurie de signes, pour représenter l'infini, est la cause de beaucoup -de confusions, qui surprennent et arrêtent les géomètres de l'avenir, et la première chose à faire pour renverser les obstacles, pour ouvrir la voie à la science de l'infini, sera de créer des notations spéciales, simples et variées, plus ou moins analogues à celles du calcul infinitésimal ; ces notations permettront de représenter distinctement les infinis de différents ordres, d'en étudier les rapports et de formuler les règles du calcul des infiniment grands, comme Leibniz le fit pour le calcul des infiniment petits (1).

(I) Leibniz avait prépare les mat^riaus d'un ouvrage, qui devait lYOir pour titre ; De scientia infiniti. M, la comte Fou.!her de Careil m a pu recueillir et publier quelques fragmenta.

CHAPITHl'] X

L'IufluI et le uéaut

Nous avons reconnu, dans le chapitre précédent, que la vue du liiii conduit à l'indéfini, et ceils de l'indéfini à l'infini. Quelques esprits aveuglés ont essayé de ramener toutes les questions de géométrie aux deux premiers termes, et de chasser l'infini de leurs raisonnements ; mais, l'idée en reste, malgré tout, et il y a une foule d'applications ou l'indéfini, sans l'infini, ne suffit pas ; à moins que, sous le même mot. on ne confonde à peu près les propriétés de l'indéfini et celles de l'infini proprement dit.

Beaucoup de géomètres modernes se contentent de cet à peu près, et vivent dans cette confusion, que Montaigne appelait la piperie des mots; d'autres ont plus de clairvoyance, et n'hésitent pas à tirer cette conclusion, que si l'infini et l'indéfini sont une seule et même chose, non-seulement l'infini ne sert à rien, mais cet infini n'existe pas; l'infini et le néant sont identiques.

On pourra s'étonner d'entendre affirmer, par des géomètres, qu'une quantité, qui devient si grande que

Hosted by