I. 'infini et le NEANT

l'imagination en demeure confondue, n'existe pas. Que penser cependant de cette phrase que Duhamel, l'esprit le plus rigoureux parmi les géomètres contemporains, a laissé imprimer dans son traité Des Méthodes, il y a huit ans déjà, et qui n'a rencontré jusqu'à présent que de rares critiques : « Cet espace fantastique, dit-il, que l'on « semble croire destiné à recevoir les objets ou simple- « ment leurs figures, n'est pas une chose; c'est l'absence M de toutes choses ; c'est le néant (1). «

Soutenir que l'espace, en tant qu'étendue infinie, c'est le néant, me parait être, quelle que soit la manière dont on entende les mots de la langue française, le plus fort paradoxe qu'on puisse énoncer en mathématiques. Est-ce parce que cet espace n'a d'autre preuve de son existence que la nécessité, qui s'impose à l'esprit du géomètre, de l'admettre comme réceptacle des figures qu'il imagine et qu'il conçoit? Mais comment nier cette nécessité ! « L'espace est aussi indispensable au géomètre que le « marbre au statuaire (2). » Serait-ce parce que cet espace ne peut nous apparaître, sans se montrer en même temps illimité, et que, « si l'on vient à y appliquer son « attention et à chercher à se rendre compte de son « existence , on se trouve saisi d'une sorte d'effroi, <( comme il arrive toutes les fois qu'on veut sonder quel- « que mystère impénétrable à l'esprit humain (3) » ? Mais cet effroi, ce mystère, est tout à fait particulier à Duhamel ; il ne tient d'ailleurs qu'à une confusion de mots et d'idées.

(1) Des Méthodes, 2= partie, paragr. 5.

(3) I iard, Des Définit. géométT. et des Définit, empiriques, cliap. i, page 36.

(2) Des Méthodes, ibid.

Ce n'est pas de comprendre, mais de connaître l'infini qu'il s'agit. « L'infini est incompréhensible, comme Dieu o lui-même. L'homme peut et doit connaître Dieu, et ne « le peut comprendre. Nous ne comprendrons jamais w l'infini, lors même que nous parviendrons à connaître a plusieurs Yérités claires sur la nature de l'inflni et sur « ses rapports avec le fini (1). n Voilà le mystère; et voici le mystère dévoilé : c'est par la vue du fini et de l'indéfini, que nous arrivons à connaître l'infini. Mais pour atteindre le but, il y a un procédé logique à suivre. Il y a d'abord ce que dit Bossuet : « qu'outre nos idées a claires et distinctes, il en est de confuses et de géné- « raies qui ne laissent pas de renfermer des vérités si Il essentielles qu'on renverserait tout en les niant. « Il y a surtout à se défendre de considérer sans cesse, dans les grandeurs finies, ce qui les caractérise en tant que finies, c'est-à-dire leurs limites, leurs accidents, et de prendre leurs imperfections pour la marque de l'infini. Chaque être est effectivement enveloppé de bornes qui en cachent le général, l'universel, et il saute aux yeux que la propriété d'être limité est une imperfection, pour une figure géométrique, en tout point semblable aux imperfections naturelles que nous rencontrons dans le monde physique; de telle sorte que la contemplation exclusive de ces imperfections ne peut nous conduire, au sujet de l'infini, qu'à un cercle vicieux, comme celui-ci : s'il y avait des lignes infinies, elles n'auraient point d'extrémités; or, toutes les lignes qu'on aperçoit ont des extrémités; donc, il n'y a pas de lignes infinies.

(1) A, Gratry. Logi'f.111, tome II, cliap. v, p. 1,

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Tel est bien, au fond, le raisonnement des géomètres modernes contre rinflni; tel est bien celui qui conduit Duhamel à assimiler l'infini au néant, j'allais dire à zéro ; tel était à peu près celui de Cotta contre l'existence de Dieu, et que Cicéron nous rapporte dans le 3° livre de la Nature des Dieux. « Comment, dit-il, pouvons-nous conce- « voir Dieu, ne pouvant lui attribuer aucune vertu? Car <( dirons-nous qu'il a de la prudence? Mais la prudence (* consistant dans le cboix des biens et des maux, quel " besoin Dieu peut-il avoir de ce choix, n'étant capable « d'aucun mal? Dirons-nous qu'il a de l'intelligence et " de la raison? Mais la raison et l'intelligence nous ser- « vent à découvrir ce qui est inconnu parce qui nous est « connu ; or, il ne peut y avoir rien d'inconnu à Dieu. Il La justice ne peut aussi être en Dieu, puisqu'elle ne (I regarde que la société des hommes; ni la tempérance, « parce qu'il n'a point de voluptés à modérer ; ni la force, K parce qu'il n'est susceptible ni de douleur ni de tra- (I vail, et qu'il n'est exposé à aucun péril. Comment « donc pourrait être Dieu ce qui n'aurait ni intelligence Il ni vertu (1) ? »

« Il est difficile, dit Arnauld, au sujet de cet argument, de rien concevoir de plus impertinent que cette manière de raisonner. Elle est semblable à la pensée d'un paysan qui, n'ajant jamais vu que des maisons couvertes de chaume, et ouï dire qu'il n'y a point dans les villes de toits de chaume, en conclurait qu'il n'y a point de maisons dans les villes, et que ceux qui y habitent sont trèsmalheureux, étant exposés à toutes les injures de l'air. C'est comme cela que Cotta raisonne, ou plutôt Cicéron.

(1) Lojiqm de P. R., édif. Jouidain, page g33.

80 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

Il ne peut y avoir en Dieu de vertus semblables à celles qui sont dans les hommes ; donc, il ne peut y avoir de vertus en Dieu. Et ce qui est merveilleux, c'est qu'il ne conclut qu'il n'y a point de vertu en Dieu, que parce que l'imperfection qui se trouve dans la vertu humaine ne peut être en Dieu ; de telle sorte que ce lui est une preuve que Dieu n'a point d'intelligence, parce que rien ne lui est caché ; c'est-à-dire qu'il ne voit rien, parce qu'il voit tout; qu'il ne peut rien, parce qu'il peut tout; qu'il ne jouit d'aucun bien, parce qu'il possède tous les biens (I). )> En deux mots, Dieu n'existe pas, puisqu'il a toutes les qualités de l'être.

Sans doute, les géomètres modernes n'atteignent pas ce degré de précision dans leurs raisonnements contre l'infini, ni surtout de malice dans leurs intentions ; mais, il n'en demeure pas moins vrai que ce qui les empêche d'admettre l'existence de l'infini c'est qu'ils ne voient dans la création aucune ligne qui n'ait ses extrémités, aucun plan qui soit sans ses bords, aucun volume sans ses limites, et qu'il faudrait accepter qu'une grandeur put être dépouillée de toutes ces imperfections du fini, bornes, limites, extrémités, pour être infltiie. Ils arrivent ainsi, en ne se servant que de leurs sens, à ne voir autour d'eux que des quantités finies, tandis que Pascal, usant de son intelligence, n'y voyait que des infinités de toutes parts.

Evidemment, il se passe dans l'esprit des géomètres, qui concluent de la sorte, quelque chose d'étrange et d'anormal, au point de vue de la méthode. Au lieu de recevoir les idées simples, telles qu'elles se présentent,

(I) Œuvres d'Arnaiiid, tomu xli, pag-e 'Mi. Luyique.

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ils les défigurent par l'insuffisance ordinaire de leur attention; « ils les teignent de leurs qualités, en les contemplant, » comme dit Malebranche, et, parce que la nature ne leur fournit pas d'image d'une grandeur infinie, ils répugnent à admettre qu'il y en ait, ils s'habituent à s'en passer et finissent par affirmer, sinon par croire, qu'il n'y en a pas.

Mais, en supposant que les mêmes géomètres se trouvassent placés en face d'une grandeur infinie, auraientils à leur disposition aucun moyen de constater l'attribut caractéristique d'une telle grandeur? Pourraient-ils la comparer à quelque chose, puisque la nature, qui est leur seul critérium, ne leur en fournit aucun échantillon ? Comment donc reconnattraient-ils une droite pour infinie, puisqu'il y a un abîme entre le fini de leurs méditations et l'infini! On peut croire, au contraire, que ceux qui nient l'infiniment grand, parce qu'ils n'en voient pas d'exemple dans la création, le nieraient tout aussi bien, s'ils l'apercevaient, ou, du moins, qu'ils le prendraient pour un monstre : c'est précisément ce qui arrive, et ce qui produit, chez plusieurs d'entre eux, cette sainte horreur de l'infini, dont parlait si spirituellement Fontenelle, à propos de ceux qui rejetaient la méthode infinitésimale de Leibniz.

Que faut-il faire pour sortir de là ? Il faut que les géomètres français, dont l'esprit est libre et qui veulent aller en avant, examinent attentivement les soi-disant principes de l'école nouvelle, esclave de la philosophie de l'appel aux sens ; qu'ils se décident à briser les chaînes que cette philosophie impose à la droite raison ; la raison rendue à elle-même fera le reste. Elle leur montrera qu'en dehors des données de l'expérience, au-delà de la

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82 nEFINITIONS GEOMETRIQUES

portée de l'imagination, il y a une place immense pour les grandeurs que l'on conçoit, et que cette idée de grandeurs, croissantes ou décroissantes indéfiniment, ne peut recevoir sa complète satisfaction que par la vue de l'infini. Reculer devant cette vue, ce n'est plus ■ avoir peur.

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