CHAPITRE XII

L'iaflai expÉrlmental et rinflni Imaginaire

Les trois actes essentiels de la raisoii; pour faire de la géométrie, sont l'observation, l'imagination et la conception. Ces trois opérations correspondent aux trois degrés de la connaissance, déjà distingués par Platon, et que Newton expose avec précision, dans son immortel ouvrage des Principes, savoir : le degré empirique, le degré mathématique, et le degré philosophique (1). La succession et le concours de ces troi« mouvements de la pensée sont la mise en œuvre indispensable, dans le développement de la science : supprimez l'un des trois, et l'esprit qui raisonne, se trouvant mal équilibré, risque de tomber dans l'erreur; si la suppression se transforme en habitude, la situation de l'ime pensante devient analogue à cet état pathologique, que les médecins qualifient de manie. Les productions de l'esprit peuvent alors revêtir les formes les plus extravagantes.

(1) Newton, trinàpia mathematica.

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DEFINITIONS GEOMETRIQUES

I penseurs, parmi lesquels il faut citer Jean Rejnaud, ont, dans la première moitié du siècle, exalté les spéculations de la raison pure et de l'imagination, au détriment de l'expérience (1); ils ont abouti finalement à soutenir l'infinité de l'Univers, dans le temps, dans l'étendue, dans le nombre, ce qui est la plus telle et la plus généreuse des erreurs, mais une erreur.

Ce cas est rare; et, au contraire, les penseurs modernes pèchent en général par excès de confiance dans J'observation et l'imagination. Ce défaut se remarque aujourd'hui, comme au temps de Descartes, particulièrement chez les géomètres, o L'étude des mathématiques, « dit l'auteur du Discours sur la méthode, nous rend îm- « propres à la philosophie, nous désaccoutume de l'usage « de notre raison et nous empêche de suivre la route H que sa lumière nous trace. » Ce que j'interprète ainsi : les trois opérations de l'esprit, indiquées plus haut, sont nécessaires au travail fécond du géomètre ; s'il s'altache à la pratique exclusive de l'une ou de l'autre, la troisième en souQ're, et, par contre, l'ensemble des trois; de même qu'une terre s'épuise par la culture perpétuelle de la même semence, mais regte féconde sagement amendée. Quant à ce que peut l'union de la philosophie et des mathématiques, c'est-à-dire la pleine culture de l'intelligence. Descartes en est lui-même la preuve, avec Newton, Leibniz, Kepler et Platon.

Je citerai deux exemples frappants de l'usage immodéré qu'on peut faire de l'observation et de l'imagination, dans la méthode géométrique. Le premier est ce

(1) Terre et Ciel, œuvres choisies, i vol., i86-t.

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l'infini expérimental kt imaginaire 95

que j'appelle l'infini expérimental, c'est-à-dire l'infiiii démontré ou supprimé au gré de l'expérimentateur.

Les géomètres ont longuement et vivement discuté au sujet de cette proposition, qu'Euclide demandait qu'on lui accordât, sans démonstration, et que voici :

Detix droites tracées sur le même plan, dont l'une est perpendiculaire et Vautre oblique à une troisième droite, doivent se couper, si on les suppose prolongées à l'infini.

Ce postulatum n'est pas une proposition évidente, comme quelques-uns l'ont prétendu ; il n'est pas non plus impossible à démontrer, comme d'autres le soutiennent ; c'est tout simplement une proposition difficile à établir, parce que la considération de l'infini s'y rencontre pour la première fois, dans l'étude de la géométrie élémentaire, et non pas seulement en soi, mais dans le rapport de deux iniinis. La question exige, pour être résolue, le concours de toutes les facultés de la raison, savoir : observation, imagination, conception, et aussi quelques règles, qui sont encore à formuler, du calcul infinital de l'avenir.

A coup sûr, l'expérience seule, même aidée de l'imagination, demeure impuissante à lever la difficulté. Or, voici qu'un géomètre prétend la trancher d'un seul coup, en démontrant expérimentalement que le postulatum est faux, et qu'il faut s'en passer. « Pour que l'erreur soit « évidente et incontestable, dit-il, il suffit que je présente « un exemple dans lequel deux droites non parallèles, « ou une perpendiculaire et une oblique à la même « droite, ne peuvent jamais se rencontrer, quelque loin « qu'on les prolonge. Cet exemple ne sera pas difficile « à trouver : la figure même nous le met devant les « jeux.

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96 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

« Pour le bien voir, le bien suivre et le bien com- « prendre, supposez que vous regardiez cette figure à (( travers une loupe qui ait la propriété de la grossir « graduellement et indéfiniment. Que verrez-vous alors? « Une perpendiculaire et une oblique qui grandiront « indéfiniment, sans jamais se rencontrer, puisqu'elles « s'éloignent toujours, au lieu de se rapprocher.

a En d'autres termes, si la figure grandit en conser- « vant toujours les mêmes proportions, la perpendieucc laire et l'oblique grandiront infiniment sans jamais se « rencontrer, puisque leur distance grandit dans le « même rapport que les deux droites. »

« Le postulatum d'Euclide est donc une proposition « fausse (1). »

Ainsi, pour parler la langue ordinaire, une perpendiculaire et une oblique à une droite, qui font entre elles un angle de 20 degrés, ne se rencontrent jamais. Que faut-il répondre à un semblable raisonnement ? Ne voiton pas d'abord qu'on pourra, par ce procédé, démontrer que toutes les propositions de la géométrie sont fausses? Vous croyez, par exemple, qu'une circonférence de cercle, qui passe par trois sommets consécutifs d'un polygone régulier, va passer par le quatrième ; mais, attendez un peu, et veuillez regarder avec une loupe, vous apercevrez un intervalle très-grand, entre l'arc qui s'avance et le quatrième sommet. L'arc aura beau s'avancer; si la loupe grossit sufiîsamment, l'intervalle ne diminuera pas, et même il pourra s'accroître, au point de vous donner

(1] H. Flourj. — La géométrie affranchie du postulatum d'Euclide,

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l'infini expérimentai, et imaginaire 97

le droit de conclure juste le contraire de ce que les pauvres gens ont l'habitude de penser.

L'auteur de cette démonstration objectera peut-être, que l'exhibition de sa loupe n'est qu'une manière de rendre la chose plus saisissante, et qu'elle peut être roiiiplacée par un simple effet de l'imagination, par une sorte d'effort d'esprit qui consisterait à nous faire voir les choses autrement qu'elles ne sont ? Mais il oublie que, si, par une opération quelconque, notre esprit "vient à amplifier une partie de la figure, la même esprit aura la force d'amplifier, par le même moj'en et à la même heure, tout le reste de l'univers ; et alors, cette distance, qui ne lui paraissait grande que par comparaison avec son état primitif, ne le sera plus. L'effet produit, par son instrument d'optique ou de métaphysique, est donc nul, et le plus grossier des obstacles ferait mieux son affaire, pour empêcher la rencontre des deux lignes.

Enfin, s'il était possible de jugerde la vérité d'un théorème de géométrie par le seul témoignage des yeux ou (le l'imagination, on devrait préférer la vue simple à une paire de lunettes et le simple bons sens à l'imagination ; on diminuerait ainsi ses chances d'illusion. Or, en plaçant l'œil au pied d'une oblique, menée à une droite, et en en suivant du regard la direction, quelque petite que soit l'inclinaison, il n'est personne qui n'aperçoive le point précis, où cette oblique rencontrera une perpendiculaire quelconque, élevée sur la même droite. C'est ainsi qu'on détermine pratiquement, en y faisant planter un jalon, le point de rencontre de deux droites, dans l'arpentage.

Qualifions donc la chose comme elle le mérite : démontrer ou supprimer l'infini, dans les conditions de l'énoncé du postulatum d'Eucllde, eu amplifiant ou diminuant les

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98 DEFINITIONS GEOMETRIQUES

distances à l'aide d'un verre de lantorne magique, ce n'est plus (aire de la géométrie, mais de la vraie fantasmagorie.

Le second exemple que je citerai se rattache, comme le précédent, à la théorie des parallèles ; mais, tandis que le premier nous montre l'abus et l'impuissance de l'appel aux sens, quand il s'agit de l'infini, le second nous fait voir les dangers que court l'imagination, lorsqu'elle se donne carrière, dans les mêmes questions, sans s'appuyer sur l'expérience et la raison. Je veux parler de la géométrie nouvelle, qu'on oppose à celle d'Euclide et qu'on qualifie, pour bien l'en distinguer, de géométrie non Euclidienne ou imaginaire. Elle vaut la peine qu'on l'examine, et dans son principe et dans ses résultats.

Lohatcheffsky, géomètre russe, qui passe pour en être l'inventeur, pose d'abord quinze propositions de géométrie, plane ou non plane, dans lesquelles figure la considération de l'indéfini, de l'infini, de limites et de parallèles, avec le sens ordinairement attribué à ces mots. L'établissement de ces quinze propositions ne suppose pas le théorème de la somme des angles d'un triangle rectiligne, ni l'égalité des angles correspondants; c'està-dire que leur vente paraît indépendante dupostulatum d'Euclide ou du postulatum des programmes officiels, savoir : Pai un point donné, on ne peut mener qu'une parallèle a une dioite donnée (1).

La seizième proposition de Lobatcheffsky est ainsi conçue :

Toutes les droites tracées par un même point dans un plan peuvent se distribuer, par rapport à une droite

(1) flau d'études des Lydes. Piogi-. im g, cl. de math, spéciales.

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l'ini.-inï expérimental et imaginaire 99

donnée dans ce plan, en deux classes, savoir : en droites qui coupent la droite donnée, et en droites qui ne la coupent pas. La droite qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à la droite donnée (1).

Cette proposition est complexe : elle renferme la défltion Euclidienne des parallèles, avec le postulatum officiel tout entier; en outre, l'auteur explique qu'elle renferme encore une autre hypothèse, qui est le contraire (lu postulatum officiel, qui n'est pas plus démontrée que lui, mais qui, précisément parce qu'elle est incertaine, a les mêmes droits d'entrée au syllogisme.

II y a cependant, entre les deux hypothèses, une différence capitale.

Le postulatum officiel correspond à une figure, dont la possibilité est démontrée par les quinze premières propositions admises ; la construction d'une parallèle à une droite donnée, peut se faire à l'aide de deux perpendiculaires ; cette construction ne donne d'ailleurs qu'une seule parallèle , et il n'y a vraiment postulatum, qu'en ce sens qu'il faut accorder que tous les autres procédés de construction donneraient la même parallèle.

Tandis que, les quinze premières propositions admises ne prouvent pas du tout la possibilité de cette seconde classe de droites, qui. pour la plus grande gloire du postulatum nouveau, ne coupent pas la droite donnée, non plus que l'existence d'une limite commune aux deux classes. Le mot limite y est même singulièrement détourné de son sens habituel, lequel suppose toujours une quantité variable et une quantité fixe, dont celle-là s'approche indéfiniment, sans pouvoir jamais l'atteindre.

(I) Etudes fjéomélriques sur la tkêm'ie des parallèles, trad. de Hoiiol.

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Si bien que, ni l'expérience, ni l'imagination, ni ta

conception, ne permettent de faire correspondre aucune figure possible et unique, si ce n'est la figure Euclidienne, au postulatuni non Euclidien, Une telle proposition possède donc, au plus haut degré, tous les défauts que peut réunir une définition géométrique ; la logique et ■l'enseignement classique doivent la repousser, c'est une monstruosité.

Mais, prenons ce postulatum tel qu"il est, admettons comme possible ce qu'il nous propose, et comme rigoureuses les déductions qui s'en suivent, et jugeons les résultats. L'auteur en tire d'abord, que les parallèles d'Euclide peuvent se rencontrer, et que les siennes propres ne se rencontrent pas ; cela va sans dire. Il en tire, que la somme des angles d'un triangle rectiligne ne peut pas surpasser deux droits, peut être égale à deux droits, ou plus petite que deux droits ; cela devait être. A partir de là, toutes les conséquences sont ainsi à double face ; l'une des faces, nous montrant la géométrie Euclidienne comme un cas particulier compris dans la théorie, et l'autre, nous dévoilant les mystères d'une géométrie nouvelle et soi-disant plus générale que la géométrie classique.

Il n'est pas commode, au géomètre non Euclidien, d'appuyer ses démonstrations sur une construction graphique ; c'est pourquoi, i! se hâte d'appeler à son secours les ressources de l'algèbre. Il rencontre, au bout de sa plume, une ligne nouvelle, qui n'existe pas dans la nature, qui a quelques propriétés du cercle, mais qui n'est pas un cercle ; il la nomme fioricych. Voici une surface, qui n'existe pas non plus dans la nature, qui tient de Ja sphère, sans être une sphère; ce sera une horisphére.

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l'infini expérimental et imaginaire 101

Pour loger ces figures imaginaires, horicycle, horisphère, il a besoin d'un espace qui ne soit pas l'espace ordinaire, physique ou métaphysique, des géomètres ; il invente l'hyperespace.

Mais, qu'est-ce enfin que cette nouvelle ligne, cette nouvelle surface, ce nouvel espace ? De même, a-t-on dit gravement, qu'il existe plusieurs sortes de lignes à courbure constante, dont le cercle et la ligne droite sont des cas particuliers, et plusieurs sortes de surfaces à courbure constante, dont la sphère et le plan sont des cas particuliers, de même « ne peut-on pas, en se plaçant au point « de vue d'un espace à quatre dimensions, concevoir et « étudier plusieurs espaces à trois dimensions, jouissant « de quelques propriétés communes, que l'on appellerait. Il par analogie, espaces à courbure constante, et parmi (I lesquels l'espace physique, dont nous faisons la géoméc( trie, et qui est défini par l'axiome de la ligne droite " et par le postulatum d'Euclide, serait analogue au plan « dans les surfaces de courbure constante (1) ? »

L'imagination, dirons-nous avec Pascal, « ne donne aucune marque de qualité, marquant de même caractère le vrai et le faux (2). » Pour apprécier ces vérités nouvelles, non pas au point de vue des combinaisons numériques ou «algébriques, mais comme science des lieux géométriques non mesurés, il faut donc mettre en jeu une puissance autre que celle de l'imagination.

Or, M. Bertrand, de l'Institut, a démontré, en combinant les propriétés regardées comme nécessaires de cette

(1) Liard. — Des définitions géométr. et des dé^nitions empirique

(2) Petisées, art. m.

102 liKFJNlTlOKS GIÎOMÉTRIQUES

géomélrio avec les règles également nécessaires du calcul différentiel et intégral, qu'il n'existe que trois espèces (le lignes partout superposables, chacune à elle-même : la circonférence du cercle, la ligne droite et l'iiélice proprement dite. D'un autre côté, i! n'y a que deux surfaces dont chacune soit partout superposable à ellemême, en tous points et dans toutes les directions ; la surface de la sphère et le plan. Qaant à la surface du cylindre circulaire droit, sur laquelle rampe l'hélice, elle n'est point superposable à elle-même, dans tous les sens possibles ; elle ne l'est qu'en glissant parallèlement à sou axe ou en tournant autour de lui, ou encore en exécutant ces doux mouvements à la fois, comme la vis dans son écrou (1).

Il en résulte que Thoricycle et Thorisphère, qui naissent dans la géométrie nouvelle avec cette seule et unique qualité d'être partout superposables, chacune à elle-même, sont des figures qui ne correspondent à rien de réel, ni dans la nature, ni dans la raison ; l'hyperespace, inventé pour les recevoir, devient dès lors un lieu imaginaire, tout à fait inutile, outre qu'il est impossible à concevoir. La géométrie imaginaire tout entière n'a donc aucun titre, quant à ses résultats, pour faire partie de la science réelle de l'étendue.

Cela explique suffisamment pourquoi, depuis six mille ans qu'il y a des hommes, et qui pensent, aucun ne s'est encore aperçu de l'existence de l'hjperespace, et pourquoi tous se sont contentés de figures géométriques à trois dimensions.

Cependant il s'est trouvé des géomèfres qui ont tenté

(1) Voy. Carfoii. Vrais princijtcs de la géom. Mnclidieune, 1870.

l'infini expérimentai, et IMACJINAIRIÎ 103

d'établir, soit directement, soit indirectement, le principe de la nouvelle géométrie,

Quftlques-uns se sont adressés à l'algèbre.

L'algèbre est un instrument de précision, qui permet de photographier instantanément une loi, qu'on veut représenter ou développer dans ses conséquences ; mais encore faut-il que cette loi existe, qu'elle ait été conçue, analysée préalablement dans son essence ; ce qui implique une justification de cette loi, antérieure à l'exhibition des symboles algébriques.

L'algèbre fournit aussi, par la force même de ses transformations abstraites et générales, des résultats qu'on ne lui avait pas demandés, des solutions complètement inattendues et étrangères au problème résolu; mais, ces solutions ne sont jamais acceptables, ni acceptées, que sous le bénéfice d'une interprétation possible ; et, en retour, un examen attentif de la question les fait toujours prévoir.

L'algèbre ne découvre donc, que ce que l'on a déjà vu et son identique, ou ce que l'on aurait pu voir et son identique ; et, elle est par elle-même incapable de montrer, de quelque façon que ce soit, un principe qui échapperait à une analyse directe et raisonnée.

D'autres géomètres ont voulu puiser dans la nature intime de la ligne droite, dans sa manière d'être relativement à ses points à l'infini, des considérations favorables au principe non Euclidien. Ces considérations quelles sont-elles ? M. Battaglini, dans les comptesrendus de l'Académie des sciences de Naples, s'exprime ainsi :

« Suivant Lobatcheffsky, la ligne droite, à partir d'un « de ses points o, s'étend à l'infini de part et d'autre de

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104 DÉFlISITiOXS GÉOMÉTRIQUES

« o; mais ses deux points à l'infini des deux côtés « opposés de o, sont distincts l'un de l'autre, de telle « sorte que l'on ne pourra passer, sur la droite, d'un « côté de o à l'autre, si l'on ne passe par o dans l'étendue « finie de la droite (c'est-à-dire, si l'on ne va des valeurs « positives aux valeurs négatives de la distance s d'un « point p de la droite au point o, en passant par zéro), « ou bien si l'on ne traverse tme étendue idéale de la « droite au-delà de l'infini (en faisant passer z par des « valeurs imaginaires). »

« Suivant Euclide, au contraire, la ligne droite s'éten- « dant encore à l'infini de part et d'autre d'un quelconque a de ses points o, ses points à l'infini, des deux côtés « de 0, coïncident entre eux, ce qui revient à dire que i( la ligne droite est une ligne indéfinie, rentrante en il cl'e-même ; de sorte que l'on pourra se transporter, K sur la droite, d'un côté de o à l'autre, en passant soit « par 0, soit par lé point de la droite situé à l'infini « (c'est-à-dire que l'on ira des valeurs positives aux Il valeurs négatives de s, en passant soit par zéro, soit u par go) (]). »

Ce développement des propriétés intimes de la ligne droite n'est pas très-clair. Voici comment l'interprète fort spirituellement M. Abel Transoii, membre de la Société Philomatiqufl de Paris :

« Deux philosophes, dit-il, ayant longuement disputé sur un point sans pouvoir se mettre d'accord, se séparent en se tournant le dos, et alors, chacun suivant une pensée contraire à celle de l'autre, ils s'éloignent déplus

(1) Note sur la Géomitrii imaginair-:. Nouv. anmiks de imtliéimtiqwes, mai et juin 1868.

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l'infini expérimental et IMAGINAIRR 105

en plus sans quitter une même droite qu'ils parcourent dans ses deux directions opposées. Or, on leur certifie d'une part, au nom d'Euclide, que s'ils continuent de marcher indéfiniment dos à dos, ils se rencontreront face à face ; ce qui les étonne ! — Et, d'autre part, LobatcheiFsk;y survient, déclarant qu'en effet, marchant toujours ainsi, ils ne manqueront pas de se rencontrer, mais seulement après avoir Iraoersé une étendue idéale de la droite au-delà de l'infini; ce qui les effraie! — D'ailleurs, ils entendent des assistants dire que les géomètres sont toujours clairs et les métaphysiciens toujours obscurs ; ce qui les renverse (1) ! »

Je commence par déclarer que la doctrine d'Euclide, relativement à la ligne droite, se trouve ici un peu délîgurée. Euclide n'a jamais dit qu'une droite, prolongée indélinîment, finissait par rentrer en elle-même ; sa définition a été citée, commentée, analysée par nous, et nous n'y avons trouvé rien de semblable ; il appelle d'ailleurs parallèles deux droites qui, prolongées à l'infini, sur un plan, ne peuvent pas se rencontrer (2).

Pascal, il est vrai, a écrit au sujet de l'intîni, que « les extrémités se touchent et se réunissent à force de s'être éloignées ; » mais il ajoute qu' « elles se retrouvent en Dieu et en Dieu seulement (3). » Par quoi il veut dire, et il l'a souvent exagéré dans les termes, que notre intelligence est bornée, et que Dieu seul est capable d'avoir la vue exacte des deux infinis, entre lesquels l'homme est placé. Cesraotsde Pascal ne s'appliquent donc, en aucune

(1) Abel Transon. L'infini ou Mètaphys. et Géom., ItjTl.

(2) Chap. 11.

(3) Pensées. — Les deux in^nis.

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106 UÉFJKITIONS GÉOMÉTRIQUES

façon, à ce que devient la ligne droite indéfiniment prolongée, comme cela ressort, dti reste, de toute l'exposition de la Géométrie de Port-Royal, à la rédaction de laquelle il n'a pas été étranger. Au surplus, je ne pense pas que les auteurs de la géométrie nouvelle veuillent s'autoriser de Pascal.

L'idée qui nous reste de la définition complète de la ligne droite, c'est d'abord que cette ligne a une existence propre et précédant celle du plan; ensuite, qu'elle s'étend indéfiniment à partir d'un de ses points, si bien qu'en la suivant, dans un sens et dans l'autre, on s'écarte de plus en plus du point de départ et aussi du point qui s'éloigne à l'opposé, sans qu'il y ait d'autre modification dans cette distance croissante que celle de son augmentation ; c'est enfin, qu'une droite infinie n'est ni croissante, ni décroissante, qu'elle n'a ni commencement, ni fin, qu'elle est éternelle en longueur, et que ce qui peut se dire d'un de ses points le peut aussi d'un autre, si éloigné qu'on le conçoive du premier ; et rien de plus(l). L'expérience et la raison ne laissent donc aucune place, sur une droite, pour y étaler cède étendue idéale de la droite au-delà de l'infini, qui sert de base indispensable à la géométrie non Euclidienne; et, l'onpeut dire que, dans ses principes aussi bien que dans ses conséquences, cette géométrie n'est pas réelle comme science de l'étendue.

Mais, si la géométrie nouvelle n'est pas réelle comme science de l'étendue, ne peut-on la regarder, du moins, comme un répertoire de systèmes d'équations compatibles entre elles et, par suite, susceptibles d'interprétation ? Avant Descartes, jusqu'en 1637, on rejetait comme

(I) Chap. IX,

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l'infini expérimentai, et imaginaire 107

fausses les solutions négatives d'un problème, traité par l'algèbre , et les positives seules étaient considérées comme vraies. Descartes, par une féconde conception, donna ia règle d'interprétation de ces racines négatives. Jusqu'à Argand, en 1806, on rejetait comme n'ayant aucun sens les solutions imaginaires d'un problème, traduit par l'algèbre, les positives et les négatives étant seules considérées comme vraies : aujourd'hui, le calcul direclif fait connaître la loi générale de l'interprétation des quantités imaginaires (1). Un sort pareil et prochain est-il réservé aux découvertes algébriques de la géométrie non Euclidienne? Cela parait peu probable; en effet, les. règles de Deseartes et Argand, même étendues aux fonctions transcendantes, n'ont d'utilité et de sens, {jae dans les cas où l'hypothèse qu'on a faite, si elle était retournée ou détournée, conduirait à un problème ayant une solution réelle; mais, si l'on retourne l'h^ypothèse du postulatum non Euclidien, on retombe dans le postulatum Euclidien, ou dans une géométrie aussi imaginaire que la première (3), ce qui constitue nne sorte de démonstration par l'absurde du principe Euclidien. Il reste donc, peu de chances à la géométrie nouvelle de se réhabiliter, dans l'espace, par une heureuse interprétation.

Chose bizarre! Les adeptes de la nouvelle école rejettent tout d'abord, dans une partie de leur hypothèse fondamentale, le contrôle des sens sur l'imagination, et ils proposent ensuite de s'en rapporter à l'expérience,

(1) Voyez J. iïoâe],Tltéme éUmetttaire des quantités complexes ISS7. ~ Voy, Max. Mai'ie, Théorie des fondions de variables imaginaires, 1874.

(2) Cai'ton, Vrais prine. de la Gcom. Eaelid., Avant-Propos.

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pour décider de la solidité de cette hypothèse. « Il n'existe « pas, dit Lobatcheffsky, d'autre moyen que les obser- « Yations astronomiques, pour s'assurer de l'exactitude « des calculs auxquels conduit la géoinétrie ordinaire. « Cette exactitude s'étend très-loin, comme je l'ai fait « voir dans un de mes Mémoires. Ainsi, dans les trian- « gles qui sont accessibles à nos moyens de mesure, on « n'a pas encore trouvé que la somme des trois angles « dilîéràt d'un centième de seconde de deux angles droits (1), » Il lui faut avoir une forte dose de présomption ou de naïveté pour espérer que l'expérience, qu'il a foulée aux pieds au début de ses spéculations, pourra lui venir en aide directe à la fin !

Mais, il y a plus d'une contradiction dans cette doctrine. C'est évidemment la présence de l'infini qui gêne les philosophes géomètres, dans le postulatum d'Euelide, de cet infini qui se produit, entre deux parallèles, d'une manière si claire, si uniforme, si constante, et si désespérante pour la raison de l'homme. Les mêmes géomètres pourtant n'hésitent pas à substituer à cette vue simple de l'infini, la perspective obscure d'un autre infini, qui est multiple, et qui aboutit lui-même à un second infini, situé au-delà de l'infini ordinaire. Ne vous semble t-il pas, à travers ces contradictions, qu'ils aient à cœur de trouver une géométrie plus complète et plus divine que celle de Descartes ? Un des leurs a nommé déjà cette future géométrie, comme pour en marquer l'ambitieuse portée, du nom de géométrie astrale (2). Tout se tient et

(1) Etudes géométriques, p. 31,

(2) Sehweikardt, profeEseui' à Kœnigsberg, d'après uce lettre de GausB à Schumacher.

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l'infini expérimental et imaginaire 109

tout s'enchaîne, dans la marche de l'esprit humain, et ces aspirations des géomètres étrangers ne sont pas insigniflantes" elles accusent et fortifient la tendance fâcheuse de la philosophie allemande, qui rayonne jusque chez nous , à diviniser la nature créée. A force de nier l'ordre supérieur et infini, à force de vouloir le trouver réalisé dans notre monde passager, imparfait et limité, on est amené à affirmer l'arrangement logique de ses propres idées, comme étant celui des choses mêmes, on invente l'ordre factice d'un système imaginaire, et on le substitue à l'ordre naturel du monde réel. Puissent les géomètres français, dont la raison gouverne encore l'imagination, résister à ce fatal entraînement de l'orgueil humain !

FIN nus DEFINITIONS GEOMETRIQUES.

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