CHAPITRE XI

L'iuflulineut graud et riafinliucnt petit

On ne peut s'empêcher de signaler ici une contradiction très-singulière, dans la manière de voir de quelques ijéomètres contemporains. II est clair que, si l'infiiiiment grand n'existe pas dans la nature, l'infiniment petit n'y est pas non plus. Comment se fait-t-il que les mêmes géomètres rejettent l'un et acceptent l'autre? Pourquoi consentent-ils à introduire l'indéfiniment petit dans le calcul, et à traiter sans répugnance de sa limite, qui est le zéro et qu'il n'atteint jamais, pas plus que la longueur indéfiniment croissante d'une ligne n'atteint l'inâai?

Serait-ce, comme le veut Pascal, que « comme c'est n nous qui surpassons les petites choses, nous nous M croyons plus capables de les posséder. Et cependant, M il ne faut pas moins de capacité pour aller au néant « que jusqu'au tout (1). » Il me semble que celui qui aurait compris ce que c'est que le zéro, n'aurait pas de

(I) Pensées. Article I"'.

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peine à connaître ce que vaut l'inverse du zéro, c'est-àdire l'infini mathématique.

AUèguera-t-on que les géomètres parlent sans cesse de l'iniîni, mais que néanmoins ils pensent toujours au fini ? Cela n'est pas sérieux. Le géomètre qui dit d'une quantité qu'elle est infiniment petite, ne veut pas dire qu'elle est excessivement petite, c'est-à-dire sur le point d'échapper à la vue; mais, qu'elle est positivement nulle, si on la compare à une quantité excessivement petite.

Soutiendra-t-on que le calcul infinitésimal ne s'occupe pas de l'infiniment petit, parce qu'il ne traite que de la grandeur indéfiniment croissante ou décroissante; que, si l'on y conclut de l'indéfini à l'infini, c'est une conclusion purement déductive, comme le serait celle qui va du genre à l'espèce, ou de l'espèce à un cas particulier ? C'est là une vieille et grave erreur, qu'on peut réfuter en examinant, avec attention, le fond même de la méthode infinitésimale.

La méthode infinitésimale a deux procédés, celui des limites et celui des infiniment petits ; mais, au fond, ces c( deux idées générales, les plus fécondes des sciences mathématiques sont intimement liées l'une à l'autre (1),» Voyons d'abord en quoi consiste, dans toute sa simplicité, le procédé des limites. Vous inscrivez un polygone régulier à un cercle ; vous doublez le nombre de ses côtés, puis vous doublez encore. Vous pourrez, par la pensée, doubler toujours le nombre^des côtés du polygone inscrit ; ce nombre peut croître ainsi sans fin, mais ne sera jamais infini. De même et en même temps, la longueur de chaque côté diminue sans fin, et n'est jamais nulle. Le

(1) Duhamel. Pyéi. des Ëlcm. de calcul infinitésimal.

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h INFINIMENT GRAND ET L INFINIMENT PETIT 85

polygone, à son tour, et dans les mêmes conditions, s'approche du cercle indéfiniment, sans fin, mais jamais ne devient le cercle. Voilà une triple assertion, que personne ne peut contester, et qui nous met sous les jeux trois grandeurs finies, indéfiniment croissantes ou décroissantes, savoir ; le nombre des côtés du polygone, qui marche vers l'infiniment grand ; la longueur de chaque côté, qui tend vers l'infinîment petit; le polygone qui s'approche du cercle, sans parvenir à l'atteindra.

Y a-t-il quelque géomètre qui, arrivé là, consente à assimiler avec l'infini ce nombre des côtés du polygone, qui est indéfiniment grand? Mais ce nombre, si grand qu'il soit, est encore fini ; de même, la longueur de chaque côté, si petite qu'elle soit, ne saurait être assimilée à zéro, car il y aurait contradiction à prétendre que cette longueur peut, en restant finie, atteindre sa limite qui ne l'est pas. Le polygone non plus ne peut devenir cercle, en restant polygone ; et d'ailleurs, ce n'est pas seulement par approximation qu'on dit que le cercle a pour mesure la moitié du produit de sa circonférence par son rayon; c'est mathématiquement vrai.

Si donc les géomètres concluent du polygone au cercle, ce n'est point par une application ordinaire, faite au cercle, d'une propriété des polygones, dans laquelle l'erreur est devenue si petite qu'elle soit négligeable ; ce n'est point une déduction, allant d'une vérité à son identique, ou du genre à l'espèce ; c'est un mouvement d'extension de la pensée, lequel n'a rien de déductif, puisqu'il nous entraine d'une chose à une autre toute diff'érente, et en quelque sorte du moins au plus, du plus bas au plus haut. C'est ce procédé de la raison qui consiste à trouver, au travers des variations du fini, un

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élément fixe, permanent, à en dégager tous les éléments accidentels qui l'environnent et le masquent, et à reconnaître, par la suppression de toutes ces traces mobiles, ce qui reste vrai dans l'infini.

Dans le cas actuel, ce qui varie essentiellement, c'est la forme du polygone, dont on finit par ne plus tenir compte ; ce qui est invariable, c'est la figure du cercle, notion géométrique définie aussi claire que le polygone, et qu'on lui substitue : ce qui change, c'est le nombre des côtés du polygone ; ce qui est constant, c'est la multitude des éléments du cercle, qui ne sont pas seulement en nombre croissant indéfiniment, mais qui constituent une infinité proprement dite et actuelle, puisqu'ils déterminent réellement une infinité de tangentes difi'érentes : ce qui est variable, c'est la longueur des côtés du polygone ; ce qui est permanent, c'est la simplicité des éléments du cercle, qui ne sont pas seulement très-petits comme ceux du polygone, ni plus petits que toute grandeur donnée, mais plus petits que toute grandeur possible, qui sont tous nuls en grandeur, comparativement aux côtés du polygone, et qui pourtant existent chacun séparément, puisque chacun d'eux détermine une tangente.

Dégageons maintenant la figure de tout ce qui lui est paiticulier, en vue de la propriété du cercle que nous voulons établir; en d'autres termes, supprimons l'idée de nombre croissant, do longueur décroissante, de forme polygonale changeante, et nous aurons ce qui reste vrai à la limite, c'est-à-dire dans l'infini, savoir, que le cercle a pour mesure la moitié du produit de sa circonférence par son rayon. Quelle que soit la forme qu'on donne à la démonstration, et cette forme est des plus variées, dans les traités classiques de géométrie, elle revient toujours à

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l'infiniment grand et l'impiniment petit 87

ce qui vient d'être expliqué, et elle n'a pas d'autre valeur logique.

En quoi consiste maintenant le procédé des infiniment petits? Ce procédé prétend trouver la loi intime de la génération des lignes, c'est-à-dire la relation de position d'un point quelconque d'une courbe au point qui le suit immédiatement, dès que cette courbe est donnée. Une courbe est d'ailleurs donnée ou définie par son équation.

Soit donc y = f(x) l'équation d'une courbe; si l'on mène par un point quelconque, dont les coordonnées sont X, y, et par un second point, dont les coordonnées sont X + Aa.-, y + \y, une sécante, on sait que la direction de cette sécante est égale au quotient ~- , et que ce quotient est fourni par la relation suivante :

X étant une fonction de x et de Aa,',

Cette relation contient , dans le second membre , deux termes, dont l'un /' [x) reste fixe, pendant que la sécante tourne autour de son premier point d'intersection, dont l'autre X^x est variable, avec la position de la sécante, et s'annule, quand le second point, se rapprochant du premier, arrive à se confondre avec lui. Mais, par cette hypothèse, le quotient ~- , qui figure seul dans le premier membre, devient égal à ce qu'on cherche, c'est-à-dire donne la direction qu'il faut suivre, pour passer du point considéré à celui qui le suit immédiatement; donc, le terme X Ax s'évanouissant, l'expression /" [x) qui demeure seule, au second membre, fait connaître le rapport infinitésimal que l'on cherchait.

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88 DÉFINITIONS GEOMETRIQUES

Comme on le voit, pour conclure d'un rapport entre des quantités finies à sa limite, en d'autres termes du fini à l'infini, le procédé infinitésimal consiste à découvrir, dans le rapport des deux différences finies, l'élément fixe, et à en séparer tous les autres, qui sont variables et caractérisent essentiellement le fini. En faisant l'hypothèse qui les annule, on les supprime, et l'on trouve ce qui reste vrai à la limite, c'est-à-dire dans l'infini.

On peut présenter sous des formes très-diverses le raisonnement qui précède ; mais, ce qui en ressort avec certitude, au point de vue philosophique, c'est que celui qui conclut ici, ne s'arrête pas à mi-chemin; il va jusqu'au bout. Il lui faut que Aa; s'annule rigoureusement, ainsi que A^ et Xà^; c'est bien de zéro qu'il parle, et à zéro qu'il pense, ce zéro limite des quantités qui décroissent indéfiniment, et qu'elles ne peuvent jamais atteindre. C'est cette limite qui est directement introduite dans le raisonnement, bien qu'il y ait un abîme entre elle et une quantité indéfiniment petite ; car, le théorème serait faux, si l'on supposait Aa; excessivement petit, aussi peu différent que ce soit de zéro. Il serait donc puéril de soutenir que le calcul infinitésimal ne s'occupe que de la grandeur indéfiniment décroissante, quand la considération du zéro absolu y est, dès le premier pas, indispensable; il ne le serait pas moins de prétendre que les conclusions du fini à l'infini sont purement déductives, puisque la méthode des limites nous ofi're précisément l'exemple du contraire.

Au surplus, n'est-ce pas de cet infiniment grand et de cet infiniment petit que veut parler Pascal, dont il trouve plaisant de nier l'existence, ou d'assimiler la nature avec celle du fini, quand il s'écrie dans sou livre de l'Esprit

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l'infiniment grand et l infiniment petit a9

Géométrique -: « C'est-à-dire, en un mot, que, quelque « mouvement, quelque nombre, quelque espace, quelque (I temps que ce soit, il y eu a toujours un plus grand « et un moindre, de sorte qu'ils se soutiennent tous entre « le néant et l'iniiiii, étant toujours infiniment éloignés « de ces extrêmes (1). n Donc, pour Pascal, il y a des quantités finies, des quantités indéfinies en croissance ou décroissance, et toute grandeur, indéfiniment croissante ou décroissante, reste infiniment éloignée des deux extrêmes.

C'est aussi l'opinion de Leibniz, l'inventeur du calcul infinitésimal. « Pour moi, dit-il, dans une lettre à Fon- « tenelle, les infinis ne sont pas des touts et les inflni- « ment petits ne sont pas des grandeurs, » Ces deux infinités, l'infinité en grandeur et l'infinité en petitesse, sont pour lui « les extrémités de la quantité, non comprises dans la quantité , mais en dehors de la quantité (2). » Pas moyen d'assimiler l'infini avec l'indéfini ; pas moyen de considérer le premier comme un cas particulier du second, et de voir un pur syllogisme dans le raisonnement par lequel on passe du fini à l'infini.

Un siècle avant Leibniz, Kepler appliquait déjà le même procédé, inductif et non déductif, lorsqu'il découvrait les lois admirables qui portent son nom. N'est-ce point en observant quelques phénomènes, en notant avec intelligence un petit nombre des positions de la planète Mars, en faisant abstraction des apparences, des accidents provenant, soit de l'erreur des observations, soit

(1) Pascal, De l'Esprit géométrique, sect. 1.

(2) Lettres inédiles de leiùnis, recueillies par M. le comie Foucher de Careil, p. S34.

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des perturbations des phénomènes, qu'ii est parvenu à donner sa formule elliptique pour les mouvements de Mars, présents, passés, futurs, et à la généraliser pour toutes les autres planètes? Ici encore, la raison passe d'un nombre fini et limité de cas, bien observés, à l'affirmation d'un6 loi générale et précise, s'étendant à l'infinité de tous les cas possibles; elle franchit un abîme, avec plus d'audace sans doute, mais le même absolument qu'en géométrie, lorsqu'elle passe dans ses conclusions du polygone au cercle, d'une série à sa limite, du fini à l'infini.

Ecoutez Tajlor sur le même sujet. Il affirme, d'après Aristote, que « l'induction sert à l'acquisition de la « science, en ce qu'elle met en acte dans l'âme l'uni- H versel, d'où dépend la démonstration. L'universel « (synonyme d'infîiiitude), objet propre de la science, « n'est pas déduit du particulier, car tous les cas parti- « culiers possibles sont infinis, et l'on ne peut eu avoir « qu'un nombre fini comme point de départ (1). »

C'est la même méthode que préconise "Wallîs dans son Arithmétique des infinis, ouvrage si estimé de Maclaurin et approuvé sans réserve par Laplace. Du reste, Laplace dit à plusieurs reprises, dans son Introduction à la théorie analytique des probabilités, que « la méthode la plus sûre « qui puisse nous guider, dans la recherche de la vérité, « consiste à s'élever des phénomènes aux lois, et des lois « aux forces. » Et encore : « L'analyse et la philosophie i( naturelle doivent leurs plus importantes découvertes à H ce moyen fécond, que l'on nomme induction. Newton

(1) Tayloi-, Methodus incremisntarum , :

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1,'lNFlNIMENT GRAND ET l'iNFINIMENT PETIT 91

« lui est redevable de son théorème du binôme et du « principe de la gravitation universelle (1). »

Newton affirme lui-même, dans son livre des Principes mathématiques, que « dans cette philosophie, les propo- « sitions sont tirées des phénomènes et généralisées par « l'induction (2). » Et il écrit ailleurs que ces mêmes propositions, qu'il dit avoir trouvées par induction, il les doit en majeure partie à son analyse nouvelle, à son analyse cachée, à son calcul des fluxions; en termes plus clairs, au calcul infinitésimal.

Aujourd'hui, et, malgré les objections de Fermât, malgré la tentative de Lagrange, pour « dégager les « principes du calcul différentiel de toutes considérations « d'infiniment petits, d'évanouissants, de limites ou de a fluxions , et les réduire à l'analyse algébrique des quantités finies (3), » il y a peu de mathématiciens qui, sciemment ou non, ne fassent on perpétuel usage du procédé de Leibniz, quand il s'agit de l'inflniment petit; parce que, comme le dit excellemment M. Cournot « la « nature des choses et les lois de l'entendement exigent « ici l'emploi de l'une de ces notions auxiliaires, dont le « simple développement, par l'algèbre, du principe d'iu dentité, ne peut tenir la place, La méthode inflnitési- « maie de Leibniz ne constitue pas seulement un artifice « ingénieux; elle est l'expression naturelle du mode de « génération des grandeurs physiques, qui croissent par « éléments plus petits que toute grandeur finie (4). »

(1) Thème anatylique des probabilités, 1812.

(2) Newton, Prindpia mathematica, p. 530.

(3) C'est le souE-titre qui accompagne son Traité des fonctions analytiques, 1795.

(4) Essai sur les fond, de nos a

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Qui ne voit, en résumé, que les géomètres contemporains, qui, cédant à l'influence d'une philosophie incomplète, persistent à nier et à pourchasser l'infiniment grand, se mettent en contradiction, non-seulement avec la raison, mais encore avec eux-mêmes et avec les traditions les plus pures de la doctrine mathématique (1)!

(1) Voj. les belles pages du P. Gratry. sur riiiduction o dialectique. Logique, 4." livre, sept chap. entiers.

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