CHAPITRE IV De la probabilité philosophique. — De l'induction

ET DE l'analogie.

40. — Pour mieux préciser les idées, nous recourrons d'abord à des exemples fictifs, abstraits, mais très simples. Supposons donc qu'une grandeur sujette à varier soit susceptible de prendre les valeurs exprimées par la suite des nombres, de 1 à 10 000, et que quatre observations ou mesures consécutives de cette grandeur aient donné quatre nombres,

tels que

offrant une progression régulière, et dont la régularité consiste en ce que chaque nombre est le quadruple du précédent : on sera très porté à croire qu'un tel résultat n'est point fortuit ; qu'il n'a pas été amené par une opération comparable à quatre tirages faits au hasard dans une urne qui contiendrait 10 000 billets, sur chacun desquels serait inscrit l'un des nombres de 1 à 10 000 ; mais qu'il indique au contraire l'existence de quelque loi régulière dans la variation de la grandeur mesurée, en correspondance avec l'ordre de succession des mesures.

Les quatre nombres amenés par l'observation pourraient offrir, au lieu de la progression indiquée, une autre loi aritluné- Uque quelconque. Ils pourraient former, par exemple, quatre termes d'une progression dans laquelle la diiïérence d'un terme au suivant serait constante, comme

ou quatre termes pris consécutivement dans la série des nombres carrés, tels que

ou bien encore ils pourraient appartenir à l'une des séries des nombres qu'on appelle cubiques, triangulaires, pyramidaux, etc. Il y a plus (et ceci est bien important à noter) : les algébristes n'ont pas de peine à démontrer qu'on peut toujours assigner une loi mathématique, et même une infinité de lois mathématiques différentes les unes des autres, qui lient entre elles les valeurs successivement amenées, quel qu'en soit le nombre, et quelques inégalités que présente au premier coup d'oeil le tableau de ces valeurs consécutives.

Si pourtant la loi mathématique à laquelle il faut recourir pour lier entre eux les nombres observés était d'une expression de plus en plus compliquée, il deviendrait de moins en moins probable, en l'absence de tout autre indice, que la succession de ces nombres n'est pas l'effet du hasard, c'est-à-dire du concours de causes indépendantes, dont chacune aurait amené chaque observation particulière ; tandis que, lorsque la loi nous frappe par sa simplicité, il nous répugne d'admettre que les valeurs particulières soient sans liaison entre elles, et que le hasard ait donné lieu au rapprochement observé.

41. — Mais en quoi consiste précisément la simplicité d'une loi ? Comment comparer et échelonner sous ce rapport les lois infiniment variées que l'esprit est capable de concevoir, et auxquelles, lorsqu'il s'agit de nombres, il est possible d'assigner une expression mathématique ? Telle loi peut paraître plus simple qu'une autre à certains égards, et moins simple lorsqu'on les envisage toutes deux d'unpoint de vue différent. Dans Texpression de l'une n'entreront qu'un moindre nombre de termes ou de signes d'opération ; mais d'un autre côté ces opérations seront d'un ordre plus élevé, et ainsi de suite.

Pour que l'on pût réduire à la probabilité mathématique la probabilité fondée sur le caractère de simplicité que présente une loi observée, entre tant d'autres qui auraient pu se présenter aussi bien si la loi prétendue n'était qu'un fait résultant de la combinaison fortuite de causes sans liaison entre elles, il faudrait premièrement qu'on fût à même de faire deux catégories tranchées, l'une des lois réputées simples,

l'autre des lois auxquelles ce caractère de simplicité ne convient pas. Il faudrait, en second lieu, qu'on fût autorisé à mettre sur la même ligne toutes celles qu'on aurait rangées dans la même catégorie, et, par exemple, que toutes les lois réputées simples fussent simples au même degré. Il faudrait, en dernier lieu, que le nombre de lois fût limité dans chaque catégorie ; ou bien, si les nombres étaient de part et d'autre illimités, il faudrait que, tandis qu'ils croissent indéfiniment, leur rapport tendît vers une limite finie et assignable, comme il arrive pour les cas auxquels s'applique le calcul des probabilités mathématiques. Mais aucune de ces suppositions n'est admissible, et en conséquence, par une triple raison, la réduction dont il s'agit doit être réputée radicalement impossible. 42. — Lorsqu'à l'inspection d'une suite de valeurs numériques obtenues ainsi qu'il a été expliqué plus haut, on a choisi, entre l'infinité de lois mathématiques susceptibles de les relier, celle qui nous frappe d'abord par sa simplicité, et qu'ensuite des observations ultérieures amènent d'autres valeurs soumises à la même loi, la probabilité que cette marche régulière des observations n'est pas l'effet du hasard va évidemment en croissant avec le nombre des observations nouvelles : elle peut devenir et même elle devient bientôt telle qu'il ne reste plus à cet égard le moindre doute à tout esprit raisonnable. Si au contraire la loi présumée ne se soutient pas dans les résultats des observations nouvelles, il faudra bien l'abandonner pour la suite et reconnaître qu'elle ne gouverne pas l'ensemble de la série ; mais il ne résultera pas de là nécessairement que la régularité affectée par les observations précédentes soit l'effet d'un pur hasard ; car on conçoit très bien que des causes constantes et régulières agissent pour une portion de la série et non pour le surplus. L'une et l'autre hypothèse auront leurs probabilités respectives : seulement, pour les raisons déjà indiquées, ces prol)abilités ne seront pas de la nature de celles qu'on peut évaluer et comparer numériquement. Il pourrait aussi se faire que la loi simple dont nous sommes frappés à la vue du tableau des observations, s'appli(iuùt, non pas précisément aux valeurs observées, mais à d'autres valeurs qui en sont très voisines, et qu'ainsi, par exemple, au lieu de la série

25, 100, 100, IGOO,

les observations eussent donné la suivante %

L'idée qui viendrait alors, c'est que les eiïets réguliers d'une cause constante et principale se compliquent des effets de causes accessoires ou perturbatrices, qui peuvent elles-mêmes être soumises à des lois régulières, constantes pour toute la série des valeurs observées, ou varier irrégulièrement et fortuitement d'une valeur à l'autre. Mais la probabilité qu'il en est ainsi se lie évidemment à la probabilité de l'existence d'une loi régulière dans le cas plus simple que nous avons considéré d'abord ; et elle ne saurait, plus que celle-là, comporter une évaluation numérique.

43. — Pour sortir un peu du champ de l'abstraction et des fictions, reportons-nous à l'époque ou Kepler, après une multitude d'essais pour démêler une loi dans les nombres qui expriment, d'une part les distances des planètes au soleil, d'autre part les durées de leurs révolutions, reconnut enfin que les durées sont proportionnelles aux racines carrées des cubes des distances. Voilà une loi arithmétique assez comphquée dans son énoncé et qui ne s'appliquait qu'aux six planètes alors connues. C'était peut-être le cas de demander si ce rapport singulier, dont rien ne pouvait faire entrevoir alors la raison, que Kepler n'avait trouvé qu'à force de tâtonnements, poussé par des idées pythagoriciennes, dès lors suspectes aux bons esprits, ne se rencontrait pas par hasard, et parce qu'il faut bien qu'on finisse par trouver une loi mathématique propre à relier entre eux des nombres quelconques, fortuitement groupés. Il semble que les astronomes de son siècle en aient jugé ainsi ; et, nonobstant la découverte des satellites de Jupiter, qui donnait lieu de vérifier, sur ce système particulier, la loi observée dans le système planétaire, la troisième loi de Kepler (comme on l'appelle) a peu fixé l'attention, jusqu'à ce que la grande découverte de Newton eût fait dépendre cette loi, avec tant d'autres résultats de l'observation, du principe de la gravitation universelle.

Kepler avait aussi été frappé d'un rapport singulier que lui présentait le tableau des distances des planètes au soleil. Si l'on range les planètes alors connues (Mercure

excepté) dans l'ordre de leurs distances au soleil, ainsi qu'il suit :

Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne,

les nombres qui mesurent respectivement l'intervalle de l'orbite de Vénus à l'orbite de la Terre (ou la diiïérence des rayons des deux orbites) et les intervalles suivants, seront à peu près proportionnels aux nombres plus simples

d'où Kepler avait été amené à conjecturer : premièrement, qu'il restait à découvrir entre Mars et Jupiter une planète dont l'orbite fût à des distances des orbites de Mars et de Jupiter respectivement proportionnelles aux nombres 4 et 8, de manière à permettre de remplacer la série précédente par la progression géométrique

les intervalles allant toujours en doublant d'une planète à la suivante ; secondement, qu'il pourrait bien exister aussi entre Vénus et Mercure une planète dont l'orbite intermédiaire sauvât approximativement l'anomalie qui place Mercure en dehors de la loi si simple qu'on vient d'énoncer.

Cette dernière conjecture de Kepler ne s'est nullement vérifiée ; mais l'autre a reçu une confirmation bien frappante par la découverte tardive du groupe des planètes télescopiques, dont le nombre, déjà porté à quatorze au moment où nous imprimons ces lignes, semble devoir s'accroître encore, et qui, circulant toutes à des distances du soleil, les unes un peu plus petites, les autres un peu plus grandes que celle qui satisferait en toute rigueur à l'induction de Kepler, ont évidemment toutes une même origine : soit qu'on doive les regarder comme autant de fragments d'une planète qui aurait fait explosion, soit qu'il faille autrement expliquer leur rapprochement dans les espaces célestes et les analogies de leur constitution physique. Mais, avant même la découverte des planètes télescopiques, celle de la planète Uranus, située (comme on le croyait alors) aux confins du système planétaire était venue singulièrement corroborer l'induction, puisque la distance de son orbite ù celle de Saturne se rapproche

encore beaucoup du double de l'intervalle des orbites de Saturne et de Jupiter. Pour mieux fixer les idées du lecteur, nous réunirons dans un tableau les valeurs réellement observées, en les rapprochant des valeurs qui satisferaient d'une manière rigoureuse à la loi signalée. Nous choisirons Junon, parmi les planètes télescopiques pour figurer sur ce tableau, à cause de sa position moyenne dans le groupe ; et il faudra se rappeler que le nombre 1 000 représente le rayon de l'orbe terrestre.