INTRODUCTION

De la nature du réel en mathématique.

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E livre est né du sentiment que dans le développement des mathématiques, s'affirme une réalité que la philosophie mathématique a pour fonction de reconnaître et de décrire.

Le spectacle de la plupart des théories modernes de philosophie mathématique est à cet égard extré- 1ement décevant. Le plus souvent, l’analyse des mathématiques ne révèle que très peu de chose et des choses très pauvres, comme Ja recherche de l'identité ou le caractère tautologique des propositions (1). Il est vrai que chez MEYERSON l'application de l'identité rationnelle au divers mathématique suppose un réel qui résiste à l’identification ; il semble qu’il y ait donc là l'indication que la nature de ce réel est différente du schéma trop simpliste avec lequel on essaie de le décrire ; par contre, le développe-

(1) Cf. ce passage de RussELL : « Elles (les propositions mathématiques) ont toutes la caractéristique qu’il y a un instant nous avons convenu d’appeler tautologie. Cela combiné avec le fait qu’elles peuvent être exprimées à l’aide de variables ou de constantes logiques, fournira la définition de la logique ou des mathématiques pures ». B. RUSSELL, Introduction à la philosophie mathématique. Trad. Moreau, p. 243.

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ment de la notion de tautologie a complètement éliminé dans l’école de RUSSELL l’idée d’une réalité propre aux mathématiques.

Pour WiTTGENSTEIN et CARNAP, les mathématiques ne sont plus qu’une langue indifférente au contenu qu'elle exprime. Seules les propositions empiriques se référeraient à une réalité objective, et les mathématiques ne seraient qu’un système de transformations formelles permettant de relier les unes aux autres les données de la physique. Si l’on essaie de comprendre les raisons de cet évanouissement progressif de la réalité mathématique, on peut être amené à conclure qu’il résulte de l’emploi de la méthode déductive. À vouloir construire toutes les notions mathématiques à partir d’un petit nombre de notions et de propositions logiques primitives, on perf de vue le caractère qualitatif et intégral des théories constituées. Or, ce que les mathématiques laissent espérer au philosophe, c’est une vérité quise révélerait dans l'harmonie de leurs édifices, et en ce domaine comme en bien d’autres, la recherche des notions primitives doit céder la place à une étude synthétique de l’ensemble. Il nous paraît à cet égard bien étrange, qu'après avoir mené sur les théories relatives au nombre et à l’espace les enquêtes les plus complètes, M. POIRIER n'ait voulu voir dans les mathématiques qu’un jeu de symboles vides de sens (x). Il semble les avoir abordées avec l’intention de leur demander un enrichissement des indications que suggère du réel la perception extérieure ou le sens intime. Le réel est avant tout pour lui celui de l'expérience immédiate, et les théories abstraites ne nous donnent aucune prise sur lui. M. POIRIER reproche presque à ces théories leur trop grande perfection. L’aisance avec laquelle elles se correspondent donne à l’aspect de chacune d’elles un caractère arbitraire, possible par-

(1) CÉ. René POIRIER, Essais sur quelques caractères des notions d'espace et de temps.

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mi bien d’autres. Nulle part ne s’impose à l'esprit le sentiment d’une nécessité qui résulterait de la nature des choses, et l’on ne trouve jamais que des procédés formels, qui ne répondent pas à une « classification naturelle et intuitive » de leurs objets.

Nous croyons qu’il est possible d’arriver à des conclusions moins négatives, et la philosophie mathématique contemporaine s’est du reste engagée sur deux voies différentes, à une étude positive de la réalité mathématique. Cette réalité peut en effet être caractérisée par la façon dont elle se laisse appréhender et organiser ; elle peut l’être également de façon intrinsèque, du point de vue de sa structure propre. Nous allons essayer tout d’abord de résumer rapidement les idées fondamentales de l’une et de l’autre méthode.

Il n’y a pas de philosophe qui ait de nos jours plus que M. BRUNsSCHVICG développé l’idée que l’objectivité des mathématiques était l’œuvre de l'intelligence, dans son effort pour triompher des résistances que lui oppose la matière sur laquelle elle travaille. Cette matière n’est pas facile ni uniforme : elle a ses replis, ses arêtes, ses irrégularités et nos conceptions ne sont jamais qu’un arrangement provisoire qui permette à l’esprit d'aller plus avant. Les mathématiques se sont constituées comme la physique : les faits à expliquer, ce furent tout au long de l’histoire les paradoxes que les progrès de la réflexion ont rendu intelligibles par un constant renouvellement du sens des notions essentielles. Les nombres irrationnels, l’infiniment petit, les fonctions continues sans dérivées, la transcendance de e et de x, le transfini ont été admis par une incompréhensible nécessité de fait avant qu’on en eût une théorie déductive. Ils ont eu le sort de ces constantes physiques comme c ou h qui s’imposaient de façon incompréhensible dans les domaines les plus différents, jusqu’à ce que le génie de MAXWELL, de PLANCK ou d’EINSTEIN ait su voir dans la constance

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de leur valeur la liaison de l'électricité et de la lumière, de la lumière et de l’énergie. On comprend ainsi la défiance de M. BRUNSCHvICG vis-à-vis de toutes les tentatives qui voudraient déduire l’ensemble des mathématiques à partir d’un petit nombre de principes initiaux. M. BRUNSCHVICG s’est élevé, dans Les Etapes de la philosophe mathémahique, aussi bien contre la réduction des mathématiques à la logique, que contre l’idée qu'il pourrait y avoir des principes généraux en mathématiques comme le principe de continuité de PONCELET ou le principe de permanence des lois formelles de HANKEL. Tout effort de déduction a priori tend pour lui à inverser l’ordre naturel de l'esprit dans la découverte mathématique. Il ne faudrait pourtant pas interpréter la philosophie mathématique de M. BRUNSCHVICG comme une pure psychologie de l’invention créatrice. «Entre les péripéties de l'invention », écrit-il, « qui n’intéressent qu’une conscience individuelle, et les formes du discours qui concernent surtout la tradition pédagogique, (la philosophie mathématique) délimitera le terrain où s’est produite l’acquisition collective du savoir, elle reconnaîtra la voie royale qu'y a tracée l'intelligence créatrice ». Entre la psychologie du mathématicien et la déduction logique, il doit donc y avoir place pour une caractérisation intrinsèque du réel. Il faut qu’il participe à la fois du mouvement de l’intelligence et de la rigueur logique, sans se confondre ni avec l’un ni avec l’autre, et ce sera notre tâche que d’essayer cette synthèse.

Le point de vue structural auquel nous devons ainsi également nous référer est celui de la métamathématique d'HILBERT. On sait la différence qui sépare la conception hilbertienne des mathématiques de celle des Principia Mathematica de RUSSELL et WHITEHEAD. HILBERT substitue

(x) L. BrunscavicG, Les Etapes de la philosophie mathématique, p. 459.

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à la méthode des définitions génétiques celle des définitions axiomatiques, et loin de vouloir reconstruire l’ensemble des mathématiques à partir de la logique, introduit au contraire, en passant de la logique à l’arithmétique et de l’arithmétique à l’analyse, de nouvelles variables et de nouveaux axiomes qui élargissent à chaque fois le domaine des conséquences. Voici par exemple, d’après M.BERNAYS (r) qui a publié dans l'édition des Œuvres complètes d'HILBERT une étude d’ensemble des travaux d’'HILBERT sur les fondements des mathématiques, tout ce qu’il est nécessaire de se donner pour formaliser l’arithmétique : le calcul des propositions, les axiomes de l'égalité, les axiomes arithmétiqués de la fonction du «suivant » (a + x}, les équations de récurrence pour l’addition et la multiplication et enfin une certaine forme de l’axiome de choix. Pour formaliser l’analyse il faut pouvoir appliquer l’axiome de choix, non seulement à des variables numériques, mais à une catégorie plus élevée de variables, celle où les variables sont des fonctions de nombres. Les mathématiques se présentent ainsi comme des synthèses successives où chaque étape est irréductible à l'étape antérieure. De plus, et ceci est capital, une théorie ainsi formalisée est incapable d'apporter avec elle la preuve de sa cohérence interne ; il faut lui superposer une métamathématique qui prend la mathématique formalisée comme objet et l’étudie du double point de vue de la noncontradiction et de l’achèvement (2). La dualité de plans qu'HiBERT établit ainsi entre la mathématique formalisée et l'étude métamathématique de ce formalisme a pour conséquence que les notions de non-contradiction et d’achèvement régissent un formalisme à l’intérieur duquel elles ne figurent pas comme des notions définies dans ce forma-

(x) Voir dans HILBERT, Gesammelte Abhandlungen, t. LIT, p. 196, sqq. : Paul BERNAYS, Hilberts Untersuchungen über die Grundlagen der Arithmetik. (2) Cf. infra, chap. IV.

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lisme. C’est pour exprimer ce rôle dominateur des notions métamathématiques par rapport à la mathématique formalisée qu’'HILBERT écrit (1) : « Les axiomes et les propositions démontrables, c’est-à-dire les formules qui naissent du jeu de ces actions réciproques (à savoir la déduction formelle et l’adjonction de nouveaux axiomes), sont les images des pensées qui constituent les procédés ordinaires des mathématiques développées jusqu'ici, mais ne sont pas les vérités au sens absolu. Les vérités au sens absolu sont bien plutôt les vues (Einsichten) que donne ma théorie de la démonstration en ce qui concerne la résolubilité et la noncontradiction de ces systèmes de formules. » La théorie mathématique reçoit ainsi sa valeur des propriétés métamathématiques que sa structure incarne.

La conception structurale et la conception dynamique des mathématiques semblent de prime abord s'opposer : l’une tend en effet à considérer une théorie mathématique comme un tout achevé, indépendant du temps, l’autre au contraire ne la sépare pas des étapes temporelles de son élaboration; pour la première, les théories sont comme des êtres qualitativement distincts les uns des autres, tandis que la seconde voit en chacune une puissance infinie d’expansion hors de ses limites et de liaison avec les autres, par quoi s'affirme l’unité de l'intelligence. Nous voudrions cependant, dans les pages qui vont suivre, essayer de développer une conception de la réalité mathématique où s’allient la fixité des notions logiques et le mouvement dont vivent les théories. Dans la métamathématique d’'HITtBERT, on se propose d'examiner les théories mathématiques du point de vue des notions logiques de non-contradiction et d’achèvement, mais ce n’est là qu’un idéal vers lequel s’orientent les recherches, et l’on sait à quel point cet idéal apparaît actuel-

(1) HirBERrT, Die logischen Grundlagen der Mathematik. Math. Ann., Bd. 88, reproduit dans HILBERT, Gesamm. Abh., t. III, p. 180.

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lement comme difficile à atteindre (x). La métamathématique peut ainsi envisager l’idée de certaines structures parfaites, réalisables éventuellement par des théories mathématiques effectives, et ceci indépendamment du fait de savoir s’il existe des théories jouissant des propriétés en question, mais on ne possède alors que l’énoncé d’un problème logique sans avoir aucunement les moyens mathématiques de le résoudre. Cette distinction entre la position d’un problème logique et sa solution mathématique a semblé parfois peu féconde, parce que ce qui importe ce n’est pas de savoir qu’une théorie pourrait être non-contradictoire, c’est de pouvoir décider effectivement si elle l’est ou s1 elle ne l’est pas. Il nous a paru cependant possible d'envisager d’autres notions logiques, susceptibles également d’être éventuellement reliées l’une à l’autre au sein d’une théorie mathématique et qui sont telles, que contrairement aux cas précédents, les solutions mathématiques des problèmes qu’elles posent puissent comporter une infinité de degrés. Des résultats partiels, des rapprochements arrêtés à mi-chemin, des essais qui ressemblent encore à des tâtonnements, s'organisent sous l’unité d’un même thème, et laissent apercevoir dans leur mouvement une liaison qui se dessine entre certaines idées abstraites, que nous proposons d'appeler dialectiques. Les mathématiques, et surtout les mathématiques modernes, algèbre, théorie des groupes, topologie (2), nous ont paru ainsi raconter, mêlée aux constructions auxquelles s'intéresse le mathématicien, une autre histoire plus cachée, et faite pour le philosophe. Une action dialectique se joue constamment à l'arrière-plan et

(x) Cf. J. CavaiLLrÈs, Méthode axiomatique et formalisme. Essai sur le problème du fondement des mathématiques.

(2) Nous exposons dans notre thèse complémentaire : Essai sur l'unité des sciences mathématiques dans leur développement actuel, certains aspects qui nous paraissent distinguer les mathématiques modernes des mathématiques

classiques.