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et l’intuitionisme en des discussions qui prolongent celles qu'avait soulevées la théorie des ensembles de CANTOR. Les partisans de l'infini actuel réclament le droit d'identifier pour un même être mathématique, l'essence de cet être telle qu'elle résulte de sa définition implicite par un système d’axiomes non-contradictoires, avec l'existence de cet être. On connaît en revanche l'attitude qu'adoptent à l'égard d’un être dont la construction exigerait un nombre infini de démarches, ou d’un théorème impossible à vérifier, ceux que PoINCARÉ appelle les pragmatistes : le célèbre mathématicien nous dit dans ses Dernières pensées qu’ils n'y voient « que de la bouillie pour les chats » (r). POINCARÉ s'appuie le plus souvent sur l'affirmation d’existence contenue dans le théorème de ZERMELO : «1l existe une manière de bien ordonner le continu », pour montrer comment cet énoncé ne pourrait avoir de sens que si la manière dont il faut procéder pour bien ordonner le continu était réellement connue. Affirmer la possibilité d’une opération irréalisable, c’est affirmer quelque chose qui est soit dénué de sens, soit faux, soit tout au moins indémontré.

Dans son mémoire sur l’Infini (2), HILBERT a justifié l'introduction d'éléments transfinis en mathématiques en les rapprochant des éléments idéaux introduits par KUMMER en algèbre, et dont nous avons parlé au Chapitre III. Les nombres idéaux ne font pas plus partie des nombres d’un corps que les éléments transfinis de la mathématique axiomatisée ne sont déterminables en un nombre fini d’étapes. Mais de même que la considération des nombres idéaux est indispensable pour généraliser le théorème de la décomposition en facteurs premiers, la considération d'éléments transfinis est nécessaire pour généraliser l’application du tiers exclu. Vouloir les éliminer impliquerait l’abandon de la

(1) H. POINCARÉ, Dernières pensées, p. 146.

(2) HiLBERT, Uber das Unendliche. Math. Ann. Bd 95 (1926).

règle des contradictoires en logique. Voici comment dans un mémoire de 1923 est présentée la liaison de l’axiome de choix transfini et du tiers exclu pour les ensembles infinis. L’axiome introduit est le suivant :

L'objet 4 est un objet tel que si la propriété À lui convient, alors elle convient certainement à tous les objets 4. Il faut concevoir pour cela l’objet r4 comme celui auquel il y a le moins de chance que s'applique la propriété À. Aïnsi par exemple si À est la propriété d’être corruptible, +A est le plus incorruptible des hommes (r). Il est alors évident que si cet homme idéal (à tous les sens du mot) est lui aussi corruptible, tous les hommes le seront. HILBERT et BERNAYS ont démontré qu'il était possible de déduire de l’axiome transfini l’axiome du tiers exclu :

(a) À (a) + (Ea) À (a).

(Si tous les 4 ne possèdent pas la propriété À, il existe au moins un a qui ne la possède pas.)

L'objet +A distingué dans l’ensemble des êtres qui jouissent de la propriété À n’est évidemment pas susceptible d’être construit en un nombre fini d'étapes, puisqu'il est défini par comparaison avec l’infinité des êtres de l’ensemble ; il n’en est pas moins vrai que l'admission de l’axiome où il est défini formellement est équivalente à l’utilisation du tiers exclu. Si donc il est possible de démontrer la noncontradiction d’un système d’axiomes contenant l’axiome du transfini, il est au même titre légitime et avantageux de parler de l'existence de l’objet 54 que de l'existence du point à l'infini en géométrie, des nombres imaginaires ou des éléments idéaux d’un corps de nombres. On peut

(1) HizmertT, Die logischen Grundlagen der M athematik. Math. Ann., t. 88 (1923), p. 151-168, reproduit dans HILBERT, Gesamm. Abh., t. III, p.178

sqq.