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bres entiers ; il y a donc pour le système d’axiomes envisagé équivalence entre la propriété structurale d’irréfutabilité et la propriété extensive de réalisation : en fait, nous dit M. BERNAYS, on peut extraire de la démonstration de Gü- DEL, un théorème d’achèvement finitiste d’après lequel :il existe toujours pour une formule irréfutable une réalisation formelle dans le cadre de l’arithmétique (en y comprenant le tiers exclu). Inversement, le théorème d'HERBRAND permet de déduire l’irréfutabilité d’une proposition à partir de l’existence d’un champ d'individus qui réalise cette proposition. Les champs qu’envisage HERBRAND ne réalisent pas à vrai dire une formule logique comme des valeurs numériques réalisent une valeur algébrique; ils ne contiennent pas non plus les valeurs possibles des arguments et des fonctions logiques au sens général défini page 88. Nous verrons cependant au chapitre suivant comment il est possible de les considérer néanmoins à un certain point de vue comme des interprétations du système d’axiomes ; en tout cas, ils sont construits de façon rigoureusement intuitioniste, ils possèdent une nature propre de champs, foncièrement hétérogène à la nature des propositions du système d’axiomes, et l'intérêt qu’ils présentent pour nous résulte de ce que leur existence est liée de façon étroite à la structure interne du système auquel ils sont associés. Le théorème d'HERBRAND se laisse en effet résumer de la façon suivante (x) : l’existence «en extension » d’un champ infini où P est réalisable est équivalente au fait structural que P ne fait pas partie de l’ensemble des propositions démontrables de la théorie. Comme dans l’étude de la non-contradiction, nous rencontrons au seuil de la théorie de l’achèvement, des théorèmes qui identifient les propriétés structurales d’un système d’axiomes à l'existence d’un champ où les propositions du

(1) Voir HERBRAND, Recherches sur la thécrie de la démonstration. Thèse, Paris 1930, p. 118 et surtout : Sur la non-contradiction de l'arithmétique, Journal für die reine und angew. Mathematih, Bd 166, p. 3.

système se réalisent. La liaison est en ce sens compliquée du fait que les propriétés structurales de P s'expriment en propriétés extensives de P et inversement ; elle ne nous en apparaît pas moins comme le premier schéma de toutes les expansions mathématiques que nous décrirons ultérieurement. Elle nous offre en effet comme un cas pur de solidarité entre un ensemble d'opérations formelles définies par un système d’axiomes et l'existence d’un domaine où ces opérations soient réalisables.

Il semble qu’une certaine restriction adhère encore à ce schéma logique ; la genèse n’y a lieu en effet que dans un sens, des opérations au domaine. Or, si l’on peut établir entre le domaine et les opérations définissables sur lui, une appropriation rigoureuse, on peut chercher à déterminer aussi bien les opérations à partir du domaine que le domaine à partir des opérations. Nous venons de voir comment en logique les opérations s'appuient spontanément sur un domaine qu’elles semblent appeler par l’organisation même de leur structure ; nous verrons qu’inversement dans ur très grand nombre de cas, le domaine paraît déjà préparé à donner naissance sur lui à certaines opérations abstraites. Notre intention étant de montrer que l'achèvement interne d’un être s’affirme dans son pouvoir créateur, cette conception devrait peut-être logiquement impliquer deux aspects réciproques : l’essence d’une forme se réalisant au sein d’une matière qu’elle créerait, l'essence d’une matière faisant naître les formes que sa structure dessine.

Cette présentation symétrique des choses semble parfois justifiée lorsqu'il s’agit de certaines théories axiomatiques simples comme l’arithmétique ou la théorie des corps : il y a réciprocité absolue entre le domaine des nombres entiers et les axiomes de PEANO, entre le domaine de nombres rationnels et les axiomes qui définissent les quatre opérations de l'arithmétique. On peut aussi bien chercher les êtres mathématiques qui satisfont aux conditions des axiomes que les