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axiomes qui définissent implicitement le domaine en question. L'expression de domaine fermé par rapport à certaines opérations montre bien dans ce cas l’équivalence étroite du point de vue « matériel » du domaine et du point de vue «formel » des opérations.

En fait, le schéma des genèses que nous allons décrire au sein de théories plus compliquées, abandonne l’idée trop simpliste de domaines concrets et d'opérations abstraites qui possèderaient en eux-mêmes comme une nature de matière ou une nature de forme ; cette conception tendrait, en effet, à stabiliser les êtres mathématiques dans certains rôles immuables et ignorerait le fait que les êtres abstraits qui naissent de la structure d’un domaine plus concret peuvent à leur tour servir de domaine de base pour la genèse d’autres êtres. Ce n’est donc qu’au sein d’un problème déterminé que l’on peut assigner des fonctions distinctes à des genres d'êtres différents ; le fait essentiel, c’est la genèse des genres de l'être les uns à partir des autres, et c’est dans un sens purement relatif, pour rendre compte de ces relations mutuelles que nous emploierons toujours le terme de « domaine » pour la structure donnée et celui « d’être créé » pour l’objet final de la genèse décrite. Ainsi par exemple, en ce qui concerne la logique mathématique, malgré tout le sens «matériel » qui s’attache à l'expression de « réalisation », il nous paraît plus conforme au schéma logique que nous décrivons, de dire que ce sont les axiomes qui forment le domaine et que les interprétations émanent du domaine, comme des êtres qu’il crée.

Les théorèmes d’existence dans la théorie des fonctions algébriques.

Nous allons aborder maintenant l’étude d'exemples purement mathématiques, où l’on voit une structure préformer

l'existence d’êtres abstraits sur le domaine que cette structure définit. Notre premier exemple est emprunté à la théorie des fonctions algébriques de RIEMANN. Nous avons vu au chapitre III comment RIEMANN avait été amené à associer à une fonction algébrique, une surface composée d’un certain nombre de feuillets soudés en croix le long de certaines coupures, et en chaque point de laquelle la fonction est uniformisable localement. On peut, par déformation continue, donner à cette surface de RIEMANN la forme d’un disque à deux faces, percé de trous ; le nombre p de ces trous est un invariant topologique de la surface qui détermine les 2p rétrosections de la surface, c’est-à-dire le nombre maximum de courbes ferméesindépendantes que l’on peut tracer sur cette surface sans la diviser en deux régions séparées. Ce nombre p définit le genre de la surface. Cela posé, la pensée de RIEMANN n’est pas tant de construire la surface de RIEMANN d’une fonction algébrique qui serait définie par son équation algébrique, que de se donner une surface arbitraire pour chercher ensuite s’il existe une fonction algébrique dont cette surface soit la surface de RIE- MANN. La méthode de RIEMANN ne procède pas directement, il est vrai, à la détermination des fonctions algébriques d’une surface, mais à la recherche des fonctions qui sont intégrales de fonctions algébriques. Ces intégrales sont appelées intégrales abéliennes, et il en existe de trois espèces : les intégrales de première espèce qui ne deviennent jamais infinies, celles de deuxième espèce qui présentent des pôles et celles de troisième espèce qui présentent des singularités logarithmiques (1). Le théorème essentiel de RIEMANN est D qu’une fonction analytique © — f (z) présente en un point #0, un pôle d'ordre n, lorsque son développement en série au voisinage de ce

point se présente sous la forme CA da An (4

A ae (0) MTS sa Une fonction du type { = /g z — Ig r + ip présente au point 7 — 0 une singularité logarithmique, car en ce point l'expression /gr devient infinie en valeurs négatives.