X 7 et 2 (Tr 20 ST

Les propriétés du nombre 21 ne sont donc pas toutes données avec la simple construction de ce nombre > on ne peut les étudier qu’au sein du corps où le nombre est plongé, et ceci fait intervenir toute l’axiomatique de la théorie des corps algébriques et de leurs extensions successives.

Que ce soit donc en étudiant les relations qui unissent certains êtres à d’autres êtres ou certains êtres à certains axiomes, nous voyons que le problème de la réalité mathématique ne se pose ni au niveau des faits, ni à celui des

êtres, mais à celui des théories. À ce niveau, la nature du réel se dédouble ; nous avons montré en effet au cours des chapitres qui précèdent comment les théories mathématiques sont susceptibles d’une double caractérisation, l’une qui porte sur le mouvement propre de ces théories, l’autre sur les liaisons d’idées qui s’incarnent dans ce mouvement. Ce sont là deux éléments distincts dont la réunion constitue à notre avis la réalité inhérente aux mathématiques et nous allons montrer de quelle façon cette réunion nous paraît possible.

La lecture des Etapes de la philosophie mathématique enseigne au philosophe à associer de façon indissoluble l’élaboration, ou même seulement la compréhension des théories mathématiques, et l'expérience que l'intelligence y fait de son propre pouvoir. Toute tentative logique qui prétendrait dominer a priori le développement des mathématiques, méconnaît donc la nature essentielle de la vérité mathématique, car celle-ci est liée à l’activité créatrice de l’esprit, et participe de son caractère temporel. Il est par contre indiscutable que depuis le développement des géométries non-euclidiennes, les mathématiques ne se présentent pas comme une extension indéfiniment progressive et unifiante ; les théories y font plutôt figure d’unités organiques, et se prêtent à ces considérations métamathématiques globales qu’annonce l’œuvre d’HirBErt. Le point de vue s’affirme peu à peu d’une mathématique nouvelle, qui substitue aux procédés infinitistes de l'analyse du xIXe siècle, les schémas structuraux de l’algèbre ou de la topologie. Nous avons décrit ailleurs cette évolution moderne des mathématiques et la pénétration progressive des méthodes du fini dans l'infini. Nous n’en retiendrons ici que l’idée d’une mathématique « qualitative » au sens de PoIn- CARÉ ou « intégrale » au sens de F. SEVERI, se développant autour de schémas logiques de structure.

Notre tâche est donc de concilier l’irréductibilité des ma-

thématiques à une logique a priori et leur organisation autour de pareils schémas logiques. Nous allons pour cela essayer de montrer qu’il est possible de concevoir ce que nous appellerons l’urgence d’un problème logique, sans que la conscience de cette urgence implique aucunement un essai de solution. On peut même dire qu’une dialectique qui s'engagerait dans la détermination des solutions que ces problèmes logiques peuvent comporter, se verrait entrainée à constituer tout un ensemble de distinctions subtiles et d'artifices de raisonnement qui imiteraient à ce point les mathématiques, qu’elle se confondrait avec les mathématiques elles-mêmes. Tel est le sort de la logique mathématique dans ses développements les plus récents. Il est possible de concevoir ce qu’est le problème de la non-contradiction de l’arithmétique sans refaire toute l’arithmétique, mais dès qu’on essaie d'établir une démonstration effective de non-contradiction de l’arithmétique, on est obligé d’employer dans cette démonstration des moyens mathématiques qui dépassent en richesse ceux de la théorie dont on cherche à garantir la validité. Ces résultats, dus à K. GÜDEL montrent de façon définitive que la non-contradiction de l’arithmétique ne se laisse pas ramener à la non-contradiction d’une théorie plus simple et, dans l’état actuel de la science toute démonstration métamathématique de la non-contradiction de l’arithmétique emploie forcément des moyens transfinis. Il semblait donc que ce problème eût perdu tout intérêt logique jusqu’à ce que M. GENTZEN ait su l’envisager sous un autre aspect : «Il est parfaitement concevable, écrit-il que l’on démontre la non-contradiction de l’arithmétique avec des moyens qui dépassent l’arithmétique mais qui néanmoins peuvent passer pour plus assurés que les parties discutables de l’arithmétique pure elle-même (x). »

(1) G. GENTZEN, Die Widerspruchsfreiheit der veinen Zahlentheovie. Math. Ann. t. 112, p. 500. Voir pour les travaux de K. GüDEL et de G. GENTZEN l'ouvrage de J. CAVAILLÈS, cité plus haut p. 83.

On voit de cette façon comment le problème de la non-contradiction à un sens, alors même que l’on ignorerait les moyens mathématiques nécessaires pour le résoudre.

Il nous semble qu’il en est ainsi pour tous les problèmes logiques que nous avons successivement considérés. Les schémas logiques que nous avons décrits ne sont pas antérieurs à leur réalisation au sein d’une théorie ; il manque en effet, à ce que nous appelons plus haut l'intuition extramathématique de l’urgence d’un problème logique, une matière à dominer pour que l’idée de relations possibles donne naissance au schéma de relations véritables. Le sort du problème des rapports du tout et de la partie, de la réduction des propriétés extrinsèques en propriétés intrinsèques, de la montée vers l’achèvement, la constitution de nouveaux schémas de genèse dépendent du progrès des mathématiques elles-mêmes ; le philosophe n’a n1 à dégager de lois ni à prévoir une évolution future ; son rôle consiste uniquement à prendre conscience du drame logique qui se joue au sein des théories. Le seul élément a priori que nous concevions est donné dans l’expérience de cette urgence des problèmes, antérieure à la découverte de leurs solutions.

Il nous faut maintenant préciser la nature de l’a priori que nous introduisons ainsi dans la philosophie des mathématiques. Nous ne prétendons nullement soutenir que les idées des problèmes logiques que les mathématiques résolvent, puissent être déduites systématiquement selon les exigences d’un idéalisme rationaliste. Nous entendons cet a priori dans un sens purement relatif, et par rapport aux mathématiques; c’est uniquement la possibilité d’éprouver le souci d’un mode de liaison entre deux idées et de décrire phénoménologiquement ce souci, indépendamment du fait que la liaison cherchée peut être ou n'être pas opérable. Certains de ces « soucis » logiques se trouvent dans l’histoire de la philosophie, comme par exemple le souci des liaisons entre le même et l’autre, le tout et la partie, le continu

et le discontinu, l'essence et l'existence ; mais les théories mathématiques pourront inversement faire naître l’idée de problèmes nouveaux qui n'auraient pas été formulés abstraitement auparavant. La philosophie mathématique, telle que nous la concevons, ne consiste donc pas tant à retrouver un problème logique de la métaphysique classique au sein d’une théorie mathématique, qu’à appréhender globalement la structure de cette théorie pour dégager le problème logique qui se trouve à la fois défini et résolu par l’existence même de cette théorie. Une expérience spirituelle est ainsi de nouveau attachée à l’effort de l'intelligence pour créer ou comprendre, mais cette expérience a un autre contenu que la mathématique qui se fait en même temps qu’elle. Elle n’est pas non plus seulement la conscience du pouvoir infini de la pensée : au delà des conditions temporelles de l’activité mathématique, mais au sein même de cette activité, apparaissent les contours d’une réalité idéale qui est dominatrice par rapport à une matière mathématique qu’elle anime, et qui pourtant, sans cette matière, ne saurait révéler toute la richesse de son pouvoir formateur. Nous voudrions montrer, avant de conclure, comment cette conception d’une réalité idéale, supérieure aux mathématiques et pourtant si prête à s’incarner dans leur mouvement, vient s'intégrer dans les interprétations les plus autorisées du platonisme. Certaines explications h1storiques sont à ce sujet indispensables, étant donné le sens que reçoit généralement l’expression de platonisme en mathématiques. Dans le débat ouvert entre formalistes et intuitionistes, depuis la découverte du transfini, les mathématiciens ont pris l'habitude de désigner sommairement sous le nom de platonisme toute philosophie pour laquelle l'existence d’un être mathématique est tenue pour assurée, alors même que cet être ne pourrait être construit en un nombre fini d'étapes. Il va sans dire que c’est là une connaissance superficielle du platonisme, et que nous ne sau-

rions nous référer à elle. Tous les commentateurs modernes de PLATON ont au contraire insisté sur le fait que les Idées ne sont pas les essences immobiles et irréductibles d’un monde intelligible, mais qu’elles sont liées les unes aux autres selon les schèmes d’une dialectique supérieure qui préside à leur venue. Les travaux de L. ROBIN, de STENZEL, de BECKER ont à cet égard apporté une clarté considérable sur le rôle dominateur des Idées-nombres en ce qui concerne aussi bien le devenir des nombres que celui des Idées. L'Un et la Dyade engendrent les Idées-nombres par un processus successivement répété de division de l'Unité en deux nouvelles unités. Les Idées-nombres se présentent ainsi comme des schémas géométriques de combinaisons d’unités (x),

(1) Nous nous rapportons ici à l'interprétation que donne BECKER des fameux textes aristotéliciens relatifs aux Idées-nombres. (0. BECKER : Die diairetische Erzeugung der platonischen Idealzahlen, dans Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Bd I, p. 464 sqq.). STENZEL avait proposé pour lai génération des nombres à partir de l’un et de la dyade, le schéma suivant :

Ce schéma a pour BECKER ue défauts 2 essentiels. Tout d’abord seuls les nombres pairs y sont véritablement engendrés par division ; les ” nombres impairs résultant de l'addition d’une /\ / \ unité au nombre pair précédent. De plus, la dis- ; tinction des Idées-nombres et des nombres ordi- 7 \ \ / \ A naires n’y est pas clairement expliquée. do ME Li

BECKER associe à chaque Idée-nombre les

s : ; FIG. 0.

schémas suivants :

Chaque schéma estcomposé d’uni-

tés. Certaines de ces unités sont ac- . TN À | É +. ® ù

tueilles dans les nombres ordinaires (elles sont représentées par des cercles noirs), d’autres y sont cachées (les cercles blancs) mais toutes résultent du dédoublement d’une unité re) située plus haut. Le nombre idéal

24 4 est ainsi le schéma qui engendre un nombre arithmétique au moyen

F1G. 10. d’unitésactuelles et d’unités cachées

| " e (ce qui expliquerait,d’après BECKER,

# je texte mystérieux de la Métaphy-

£ sique M. 7.1081.A : dans la Dyade,

il y a une troisième unité, dans la triade une quatrième et une cinquième...)

susceptibles de constituer aussi bien les nombres arithmétiques que les Idées au sens ordinaire. Les Idées-nombres constituent donc, comme le dit STENZEL, les principes qui servent à la fois à «ordonner dialectiquement les unités arithmétiques à la place qui leur convient dans le système, et à expliciter les différents degrés de la division progressive des Idées » (1). Les schémas de division des Idées dans le Sophuste s'organisent ainsi selon les mêmes plans que les schémas de génération des nombres ; les uns et les autres permettent de remonter à une « métamathématique » (2) qui est supérieure à la fois aux Idées et aux nombres.

L'existence des Idées-nombres, dominatrices par rapport aux nombres arithmétiques, a donc pour conséquence de commander une génération des nombres comme des Idées, qui, pour n'être pas dans le temps du monde créé, ne se produit pas moins selon un ordre de l’antérieur et du postérieur. M. ROBIN a montré comment la constitution des corps dans le Timée suppose une matière qui ait déjà été, avant l'existence du monde, le réceptacle d’une qualification géométrique. «Il y a donc, écrit-il, une génération et un devenir antérieurement à la génération et au devenir du monde (3). » L'introduction du devenir au sein des Idées prend toute sa valeur dans l'ouvrage de STENZEL, à la lumière du texte de l'Ethique à Nicomaque (Livre I, ch. IV, cité par STENZEL, 0p. cit, p. 118) où ARISTOTE dit que les Platoniciens n’admettaient pas d'idées des nombres parce qu’ils n’admettaient pas d'idées des choses dans lesquelles il existe de l’avant et de l’après. STENZEL donne de ce texte une explication dont on ne saurait exagérer l'importance : les

(x) J. STENZEL, Zahl und Gestalt bei Platon und Aristoteles. Teubner, Leipzig und Berlin, 1933, p. 117.

(2) Pour l'application de ce terme à la philosophie de Platon, cf. L. Ro- BIN, Plalon, p. 149.

(3) L. ROBIN, Platon, p. 235.

nombres idéaux étant le principe de détermination des essences selon l’ordre de l’avant et de l’après, il n’est pas pos- Sible qu’il y ait des «nombres de nombres », c’est-à-dire «un principe de la division des essences qui soit supérieur à cette division nombrante elle-même » (1). La métamathématique qui s’incarne dans la génération des idées et des nombres ne saurait donner lieu à son tour à une méta-métamathématique ; la régression s’arrête dès que l'esprit a dégagé les schémas selon lesquels se constitue la dialectique. On voit bien ainsi comment se justifie notre référence au platonisme, en ce qui concerne les relations qui existent entre les théories mathématiques et les Idées qui les dominent.

Ces relations nous paraissent également comparables à celles que l’on pourrait établir entre les mathématiques et la physique. Un empirisme facile tend parfois, actuellement, à s'installer dans la philosophie de la physique, d’après lequel une dissociation profonde devrait être établie entre la constatation des faits expérimentaux et la théorie mathématique qui les relie les uns aux autres. Toute la critique des sciences contemporaines montre la faiblesse philosophique d’une pareille attitude (2) et l’impossibilité de considérer un résultat expérimental en dehors de l’armature mathématique où il prend son sens. Par contre la réflexion critique aboutit parfois, en sens inverse, à un dogmatisme idéaliste, du fait que les mathématiques pénétrant de plus en plus le domaine de la physique, la réalité y est devenue à ce point abstraite que le savant a l’impression de ne plus jamais se trouver qu’en face de son propre

(1) J. STENZEL, 0. cit., p. 119. En traduisant « Zahlenmässige Gliederung » par division nombrante, nous croyons ne trahir en rien la pensée de l’auteur.

(2) Ce néo-positivisme qui nous paraît ainsi insoutenable par excès d’empirisme, s’associe de façon inattendue à une conception rigoureusement « tautologique » et déductive des mathématiques, dans ce qu’on appelle le « physicalisme de l’Ecole de Vienne ».

esprit. Telle est l’idée qui semble se dégager de la phrase célèbre d'EDDINGTON : « Nous avons découvert l'étrange empreinte d’un pas sur le rivage de l'inconnu. Pour expliquer son origine, nous avons bâti théories sur théories, toutes plus ingénieuses et plus profondes les unes que les autres. Nous avons enfin réussi à reconstituer l’être qui laissa cette empreinte, et cet être, il se trouve que c’est nous-même (x).» Cet idéalisme de la physique mathématique n’exclut du reste pas pour EDDINGTON la notion de réalité, mais ce n’est plus alors la physique qui aura mission @e la faire connaître, c’est un contact direct avec le surnaturel.

De toute façon, le néo-positivisme de l’école de Vienne, comme l’idéalisme des physiciens métaphysiciens anglais, séparent comme à la hache les mathématiques et la réalité, alors que la philosophie de la physique a essentiellement pour tâche le problème de leur union. Nous ne prétendons pas traiter ici ce problème, qui est tout différent de ceux que nous avons envisagés au cours des pages qui précèdent ; nous allons simplement montrer comment, dans une certaine mesure, et pour reprendre les expressions dont M. Rogix s’est servi à propos de PLATON, le processus de liaison de la théorie et de l’expérience symbolise la liaison des Idées et des théories mathématiques.

De même que nous avions reconnu que la réalité mathématique n’était pas au niveau des êtres mathématiques, mais à celui des théories, le problème de la réalité physique n'intervient pas au niveau d’une expérience isolée, mais au niveau de ce qu’on pourrait appeler un système physique. La notion de système en physique implique que l’on considère globalement l’ensemble des phénomènes qui se passent au sein d’un certain processus, et que l’on opère une série de mesures relatives à des grandeurs intervenant dans ce processus. Il n’est du reste pas nécessaire que les mesures por-

(1) À. S. EDDINGTON, Espace, temps, gravitation, trad. franç., p. 247.

tent sur des grandeurs différentes, elles peuvent n'être relatives qu’à une même grandeur : il suffit pour qu'il y ait système, que l’on mesure plusieurs fois cette même grandeur. Il est peut-être possible d'admettre que la constatation d’une mesure isolée soit antérieure à toute élaboration mathématique, mais quelle que soit la phrase ou la relation par laquelle on coordonne deux mesures, l’expression obtenue se situe déjà au sein d’une mathématique. Parler de phénomènes simultanés, c’est adopter le langage de la relativité restreinte ; parler de grandeurs successivement mesurables, c’est parler le langage des opérateurs permutables en mécanique quantique; mesurer des intervalles entre deux niveaux, c’est disposer les résultats obtenus suivant un tableau matriciel ; parler en mécanique classique de la constance d’une certaine grandeur avec le temps, c’est annuler une dérivée par rapport au temps; parler de l’invariance d’une certaine grandeur par rapport à certaines variations que subissent d’autres grandeurs, c’est employer le langage de la théorie des groupes ; constater la périodicité d’un phénomène c’est se servir pour représenter ce phénomène des fonctions trigonométriques ; supposer que des mesures convergent vers une limite, c’est adopter les points de vue du calcul des probabilités. De même que le mouvement d’une théorie mathématique était en même temps schéma logique de relations entre des idées, la description de l’état d’un système à un moment donné ou de l’évolution de ce système avec le temps, revient à constater que les grandeurs du système sont ordonnables selon une loi de structure mathématique. La réalité physique n’est donc pas indifférente à cette mathématique qui la décrit; les constatations expérimentales appellent une mathématique dont elles imitent déjà le dessin (1), parfois même avant

(1) Cf. G. Juver, La structure des nouvelles théories physiques. Paris. Librairie Alcan, 1933, passim.

qu’une mathématique adéquate ait encore été développée pour elles.

Il résulte de ce qui précède que la structure de l’expérience n’est pas détachable de l’expérience elle-même, et qu’en entendant par expérience, l'expérience globale relative à un système, cette structure mathématique se confond avec le système des mesures expérimentales effectuées ou possibles. Ici encore la réalité réside dans la découverte d’une structure qui est organisatrice par rapport à une matière qu’elle anime de ses relations. La philosophie de la physique aboutirait donc elle aussi à la conclusion platonicienne à laquelle nous a conduit la philosophie mathématique telle que nous la concevons : La nature du réel, sa structure et les conditions de sa genèse ne sont connaïssables qu’en remontant aux Idées dont la science incarne

les liaisons.

Vu : le 28 janvier, 1937.

Le Doyen de la Faculté des Lettres de l’Université de Paris,