CONCLUSION

Les études qui précèdent vont nous permettre de proposer une réponse au problème que nous avions envisagé dans notre introduction. Cherchant à définir la nature du réel mathématique, nous allons examiner tout d’abord les solutions possibles du problème. On peut définir la nature de la réalité mathématique de quatre points de vue différents : le réel, ce sont tantôt les faits mathématiques, tantôt les êtres mathématiques, tantôt les théories et tantôt les Idées qui dominent ces théories. Loin de s'opposer, ces quatre conceptions s’intègrent naturellement les unes dans les autres : les faits consistent dans la découverte d’êtres nouveaux, ces êtres s'organisent en théories et le mouvement de ces théories incarne le schéma des liaisons de cer-

taines Idées.

On trouve les deux premiers points de vue adoptés dans

le livre de P. Bourroux : L’Idéal scientifique des mathématiciens. Dans son chapitre sur l’analyse mathématique au xIX® siècle, BouTroux situe la réalité mathématique dans la résistance que la matière mathématique oppose à la logique avec laquelle on essaie de la décrire, et dans le hasard de la découverte d’une piste nouvelle qui permet de surmonter l'obstacle rencontré. Ainsi par exemple, étudiant le problème de l'intégration, BouTRoUux montre que la découverte des fonctions elliptiques, des fonctions abéliennes, des fonctions automorphes, est due au fait que certaines intégrales définies ou certaines équations différentielles ne

se laissaient pas intégrer avec les méthodes qui réussissaient dans les cas plus simples. M. WIiNIER développe

dx SN RU VAS des idées analogues : l'expression 1! ———— se laisse intégrer VR (x)

au moyen de fonctions élémentaires si À (x) est un polynôme du premier ou du deuxième degré ; si RÀ (x) est du troisième ou du quatrième degré, on a affaire à une transcendante nouvelle : « Il suffit que le degré du polynôme contenu sous le radical au dénominateur augmente d’une unité, pour que brusquement, on se trouve en présence d’une transcendante nouvelle qui exigera des études spéciales considérables... Voilà un fait, semble-t-il, dont la logique formelle ne peut rendre compte {1}. »

Cette définition des faits mathématiques est ainsi intimement solidaire de la découverte d'êtres nouveaux et BouTRoUx adopte dans son chapitre sur l’objectivité des faits mathématiques un point de vue beaucoup plus conceptualiste. Voici une même phrase où les deux points de vue sont reconnaissables, sans que peut-être BOUTROUX y ait voulu établir de différences : «Afin de rendre compte de cette résistance opposée par la matière mathématique à la volonté du savant, nous sommes obligés de supposer l'existence de faits mathématiques indépendants de la construction scientifique ; nous sommes forcés d’attribuer une objectivité véritable aux notions mathématiques (2). » Les faits s'organisent ainsi sous l’unité de la notion qui les résume, le réel cesse d’être la pure découverte du fait nouveau et imprévisible, pour dépendre de l'intuition globale d’un être supra-sensible. BOUTROUX prend comme exemple la réalité de l’ellipse. L’ellipse n’est pour lui ni le lieu des

(x) M. WiNTER, La méthode dans la philosophie des mathématiques, p. 85.

(2) P. BouTRoUXx, op. cit., p. 203. (Les deux termes soulignés (le second par nous) montrent bien que Boutroux rapproche deux conceptions différentes de la réalité mathématique.)

points tels que la somme de leurs distances aux foyers soit constante, ni une courbe définie par son équation algébrique, ni une courbe aux propriétés projectives des coniques ; elle est tout cela et bien plus encore ; c’est, nous dit-il, «un tout qui ne comporte pas de parties, .… une sorte de monade leibnizienne. Cette monade est grosse des propriétés de l’ellipse ; je veux dire que ces propriétés, alors même qu’elles n'ont pas été explicitement formulées (et elles ne sauraient l'être puisqu'elles sont en nombre infini) sont contenues dans la notion d’ellipse (x).» Il faut avouer que la pensée de BouTROUXx est dans la suite du chapitre assez difficile à préciser. L'exemple de l’ellipse tend bien à montrer que la réalité des êtres mathématiques existe pour lui dans l’intuition, indépendamment de la façon dont les propriétés de ces êtres sont présentées logiquement, ct il refuse pourtant d'admettre que les difficultés de l’exposition logique soient extérieures à la réalité propre des mathématiques. Ce sont là deux attitudes qui semblent bien encore une fois s’opposer et voici pourtant un passage où l’on peut trouver à la fois l’une et l’autre: « Que l’idée d’intuition pure, séparée du raisonnement logique, soulève des difficultés, cela est indéniable et il serait fort souhaitable de pouvoir supprimer ces difficultés en en extirpant la racine. Mais la distinction de tendances opposées, dans l’œuvre mathématique, nous paraît devoir être maintenue sous une forme ou sous une autre ; et nous ne saurions croire qu’elle a été uniquement imaginée pour les besoins de la discussion engagée par les logisticiens (2). » Nous ne pouvons comprendre pourquoi il serait souhaïitable de séparer l'intuition du raisonnement si cette dualité est inhérente à la nature même des mathé-

matiques.

La source de ces difficultés nous paraît résider dans deux

(1) P. BOUTROUX, 0. cié., p. 208.

(2) P. BOUTROUX, op. cit, p. 228.

opinions de BouTROUX que nous voudrions discuter. La première est relative au pouvoir qu’aurait l'intuition de nous révéler l'existence et l’objectivité des êtres mathématiques. Si l'exemple de l’ellipse a dans sa pensée une portée générale, (et tout indique dans le texte qu’il en est ainsi), BouTroOUx semble affirmer, comme allant de soi, une solidarité des propriétés locales et des propriétés globales d’un être alors que la mise en évidence de cette solidarité n’est possible, dans la plupart des cas, comme nous l’avons montré au chapitre I, que lorsque les êtres en question jouissent de certaines propriétés de fermeture ou d'achèvement. Reprenons par exemple le cas d’une surface fermée à courbure constante ; le signe de cette courbure est déterminable par les propriétés topologiques globales de la surface (sa caractéristique d'EULER) (1). Il n’existe aucun théorème de ce genre pour des surfaces ‘ouvertes ; si donc la réalité des êtres mathématiques résidait dans cette harmonie interne, une distinction s’établirait entre les surfaces, les ensembles, les groupes ; certains existeraient « plus réellement » que d’autres et l’on verrait reparaître en topologie des distinctions analogues à celles qui ont prévalu longtemps, dans l’histoire des mathématiques, entre les bonnes et mauvaises fonctions, les bonnes et les mauvaises racines.

Il existe pourtant un point de vue par rapport auquel les multiplicités qui sont soit achevées, soit complètes, soit fermées, closes ou compactes, jouissent d’un privilège sur celles qui ne le sont pas; c’est qu’on ramène le plus souvent l'étude de ces dernières à l’étude des premières. Nous allons en donner deux exemples : Nous avons montré au chapitre II comment les propriétés structurales d’un complexe fermé Q étaient en dualité avec celles de son espace complémentaire R" — Q. Or si Q est fermé, R' — Q est ouvert, de telle sorte que les théorèmes de dualité permettent de ramener

(x) Voir plus haut, p. 33.

partiellement l'étude de certains complexes ouverts à celle de complexes fermés. Voici un autre exemple : M. CARTAN, constituant la théorie des espaces de RIEMANN symétriques, irréductibles et non-euclidiens, étudie d’abord les espaces clos, et associe ensuite à chaque espace ouvert un espace clos, de sorte que l'étude des espaces ouverts est complètement déterminée par celle des espaces clos (r). On peut comparer ces procédés à ceux qu’on emploie dans la résolution des systèmes d’équations linéaires. On résout d’abord le système homogène, et l’on ramène l’étude du Système non homogène à celle du système homogène correspondant. La réalité mathématique ne réside donc pas dans les différences qui sépareraient les êtres achevés des êtres inachevés, les êtres parfaits des êtres imparfaits ; elle réside plutôt dans la possibilité de déterminer les uns à partir des autres, c’est-à-dire dans la théorie mathématique où s’affirment ces liaisons. On voit ainsi que la réalité en question n’est pas celle d'êtres statiques, objets de pure contemplation ; s’il existe dans les mathématiques des distinctions qualitatives, elles caractérisent les théories et non les êtres.

Nous allons aboutir à une même conclusion en discutant une autre idée de BouTroUx, celle de l'indépendance des êtres mathématiques par rapport aux théories où ils sont définis. Bourroux écrit : « Le fait mathématique est indépendant du vêtement logique ou algébrique sous lequel nous cherchons à le représenter » et plus loin « les faits mathématiques sont totalement indifiérents à l’ordre dans lequel on les obtient » (2). BouTroux a surtout en vue l’analyse ou la géométrie du x1x® siècle. Il est évident qu'en géométrie euclidienne,une ellipse est ou n’est pas,et qu’elle possède toutes ses propriétés aussitôt qu’elle est définie d’une façon quel-

(1) E. CARTAN, La théorie des groupes el l'Analysis situs, p. 51. (2) P. BOUTROUX, 0. cil., p. 203-205.

ALBERT LAUTMAN 10

conque. Par contre, dans les théories algébriques modernes, on peut envisager des êtres susceptibles d’appartenir à des domaines de base distincts, et dont les propriétés varient avec le domaine où on les considère. Il est alors impossible de considérer de pareils «faits mathématiques », au sens de BouTROUX, indépendamment des axiomes qui définissent les domaines de base en question, et ces axiomes constituent cependant ce à quoi BOUTROUX ne veut reconnaître que le caractère accessoire « d’un vêtement logique ou algébrique ». Nous trouvons là au contraire une dépendance essentielle entre les propriétés d’un être mathématique et l’axiomatique du domaine auquel il appartient ; nous ne la décrirons pas longuement, car nous avons étudié dans notre thèse complémentaire les aspects principaux de cette « Abhängigkeit vom Grundkôrper » des auteurs allemands, et nous nous contenterons de la montrer sur un exemple. Soit à étudier les propriétés de divisibilité du nombre 21. S1 l’on considère comme corps de base, le corps X des nombres rationnels, 21 n’est décomposable que d’une façon en un produit de facteurs premiers: 21 = 3 X 7. Si l’on considère comme corps de base, le corps K(V — 5) obtenu par adjonction de Ÿ — 5 au corps X des nombres rationnels, on obtient deux décompositions différentes de 21 en un produit de facteurs premiers :