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au point x, existe et représente la valeur de cette fonction en ce point

singulier.

44 P. DIENES.

Regardons maintenant la foncuon représentée par

co NV n IG, Die md

D'après le théorème de M. Borel cité plus haut, la limite généralisée des s, existe et représente la valeur de la fonction en chaque point régulier du cercle de convergence, en particulier au point w,.

Enfin, on a identiquement

Ce] E2

à à à > CPE =>, 5e; +Y GAL n=0 n=—=0 == 0 et la sommation exponentielle est une opération distributive; donc la limite généralisée des s, formée pour la série

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existe et représente la valeur (limite) de la fonction f(x). Ce qu'il fallait démontrer.

$ VII. — Des points singuliers d'ordre négatif situés sur le polygone de sommabilité et à l’origine des demi-droites exclues de l’étoile de M. Mittag-Leffler.

23. Ceux des points singuliers d'ordre négatif qui ont la plus grande importance sont les points critiques algébriques et les points critiques à la fois algébriques et logarithmiques. Et ces points singuliers peuvent fort bien se présenter en dehors du cercle de convergence. Le problème se pose donc de représenter les valeurs de la fonction en ces points singuliers.

Pour être cependant plus général, nous allons étendre la notion de l’ordre d’un point singulier aux points singuliers situés en dehors du cercle de convergence, et cela de telle façon que les points critiques algébriques, y compris les pôles, et les points critiques à la fois algébriques et logarithmiques aient un ordre qui soit indépendant de leur position.

Prenons un point singulier x,, l’origine d’une demi-droite exclue. Nous dirons que w est l’ordre de la fonction en ce point s’il y a une fonction #(x) qui soit holomorphe dans le cercle de rayon [x, [et dont l’ordre sur ce cercle soit w + 2, & étant un nombre positif aussi petit qu'on le veut et, de plus, la différence

A Sr pr) = (7)

étant holomorphe en x. Par exemple, l’ordre de la fonction

(x — x) [log(x — z)]P+ f(x)

en æ, est — z, quel que soit le rayon de convergence du développement taylorien de la fonction f,(x) sous la seule condition que f,(x) soit holomorphe sur la ligne droite qui joint x, au centre du développement taylorien de f,(x ).

Prenons le centre de l’étoile pour l’origine des coordonnées, On voit aisément qu’en cheminant vers un point singulier d'ordre négatif, le long du rayon Ox, ou, plus généralement, sur une bande assez étroite parallèle à ce rayon et limitée par l'arc de la circonférence de rayon |x,|, ou sur cette circonférence même, la fonction tend vers une valeur bien déterminée que nous nommerons /a valeur de la fonction en ce point singulier.

24. Il s’agit maintenant de chercher des développements qui représentent ces valeurs de la fonction donnée f(x).

Tout d’abord la sommation exponentielle de M. Borel nous donne la proposition suivante, relative aux points singuliers d'ordre négatif silués sur le polygone de sommabilité :

La limite généralisée des s, exisle et représente la valeur de la fonction en chaque point singulier d’ordre négatif du polygone de sommabilité (sommets exclus ).

En effet, le raisonnement dont nous nous sommes servis précédemment pour les points singuliers d'ordre négatif situés sur le cercle de convergence s'applique presque sans modification dans le cas présent.

Soit, en effet, x, un tel point singulier de f(x ) situé sur le polygone

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de sommabilité. D’après la définition du point singulier d'ordre négatif, on peut écrire f(x) = 9(æ) + fi(æ),

où le rayon de convergence de o(x) est|x,|; donc le point x, est sur le cercle de convergence de (x), et l’ordre de o(x) sur ce cercle entier peut être supposé négatif. D'où il résulte que la série qui représente o(æ) converge en tous points de ce cercle, en particulier au point #,, et, d’après le théorème de Cesàaro généralisé aux fonctions entières, la limite généralisée des s, formée en x, existe et représente la valeur limite de o(x).

D'autre part, si le point x, ne coïncide pas avec un des sommets du polygone, le polygone de sommabilité de f,(x) comprendra x, à son intérieur. Par suite, d'après le théorème de M. Borel, la limite généralisée des s, formée en x, par rapport à la fonction f,(x) existe et représente la valeur f,(x,).

Mais la sommation exponentielle est une opération distributive; donc la somme exponentielle de f(x) est la somme des sommes exponentielles de f(x) et de f,(æ). D'où l’on conclut que la limite généralisée de f(x) formée en x, existe et représente la valeur de la fonction f(x) en ce point singulier.

25. Passons maintenant aux points singuliers d’ordre négatif situés sur l’étoile principale de M. Mittag-Leffler. Pour représenter les valeurs de la fonction en ces points, nous nous servirons du développement suivant donné par M. Lindelôf (‘).

Soit donnée une fonction analytique quelconque par son développement taylorien

J(æ) > an L”,

et formons les fonctions entières

(') E. Livoecôr, Calcul des résidus, 1905, p. 193.

où a >0. M. Lindelôf démontre qu’en tous points situés à l’intérieur de l'étoile HAE) =),

et que les fonctions entières F,(x) convergent uniformément vers la fonction f(æ) dans une aire quelconque intérieure à l'étoile. C’est le théorème déjà classique de M. Mittag-Leffler sur la représentation des fonctions analytiques sous une forme très simple.

Soit maintenant +, un point singulier d’ordre négatif, situé à lorigine d’une demi-droite exclue. D'après la définition de ces points singuliers,

À LT : : | à TON Re EN LE cree

où /,(x) est holomorphe à l’intérieur du cercle de rayon |x,|et où l'étoile de f,(x) contient à son intérieur le point x,. Donc

: ; À NT DORE (29) lim F2(3,)= c+ lim Ée() >: (%o0)e nt

Démontrons que de même

lim F0 (x) = bo+ lim Ÿ 6, +) AG)

en désignant par /,(x,) la valeur de la fonction f,(x) au point sinsulierrx,.

Nous savons que f,(æ) est d’ordre négatif sur le cercle de rayon |x,;| que nous pouvons supposer l’unité pour le moment. Par suite