INTRODUCTION

Une fonction analytique quelconque f(x) est déterminée par la suite des coefficients

(1) &o; Ai; DE An d’une série de Taylor, sous la seule restriction que lim sup. | Va, | = ©

ne soit pas infinie. Toutes les propriétés de la fonction f(x) sont donc déterminées par cette suite ; en particulier, lPaddition d’un polynome n'ayant aucune influence sur les singularités, l'allure de la fonction au voisinage d’un point singulier est déterminée par les propriétés limites de la suite (1). Donc le problème général de la recherche des singularités est de trouver les relations entre les singularités et les propriétés limites de la suite (1) ou celles des expressions formées à l’aide de cette suite.

Le but principal de ce Mémoire est de donner quelques relations de

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cette sorte ne supposant aucune restriction à la suite des coefficients. Par ces recherches, nous tâchons de prendre une position intermédiaire convenable entre les deux points de vue opposés qui sont indiqués par M. Hadamard dans son Livre sur la série de Taylor (1). Ce sera l’objet du deuxième et du troisième Chapitre de ce Mémoire.

Mais, avant d'aborder cette étude générale des singularités, nous nous occuperons, dans le premier Chapitre, des questions plus particulières se rattachant à la notion de l’ordre de la fonction sur son cercle de convergence, notüon qui jouera un rôle important dans la suite.

Dans le paragraphe I, nous introduirons la notion donnée par M. Hadamard de l’ordre de la fonction en un point de son cercle de convergence et sur ce cercle entier. Cet ordre, qui était jusqu'ici peu employé, jouera un assez grand rôle dans nos recherches, de sorte que nous n'avons pas cru inutile d’insister sur cette notion. En particulier, nous donnerons un exemple pour démontrer définitivement que, même dans le cas des coefficients à croissance régulière, l’ordre de la fonction sur le cercle de convergence peut fort bien surpasser le degré d’infinitude de la fonction sur ce cercle.

Il est doncindispensable d'envisager aussi l’influence des arguments des coefficients. Dans le paragraphe Il, nous proposerons deux théorèmes pour donner une idée des bornes de cette influence. Le résultat nous montrera que si les coefficients, au moins à partir d’un certain rang, se trouvent dans un angle « << 7x du plan complexe, la fonction se comporte au point 1 de la même manière que la fonction formée par les modules des coefficients.

Supposons maintenant que cette condition ne soit pas remplie. Dans le paragraphe IT nous donnerons des théorèmes qui décèlent certains cas où la distribution des arguments changent vraiment l'allure de la fonction au voisinage de r.

Dans le paragraphe IV nous nous mettrons encore dans la condition des arguments quelconques et nous chercherons des critères pour l'étude de la croissance de la fonction au point 1 dans ce cas très général.

Le deuxième Chapitre sera consacré entièrement à l'étude des points

(:) HapamarD, Série de Taylor (Scientia).

singuliers d'ordre négatif. Dans le paragraphe V nous résumerons rapidement les recherches dues dans la plus grande partie à M. Hadamard et à M. Borel sur la représentation des fonctions analytiques aux points réguliers situés sur le cercle de convergence et à l’intérieur du polygone de sommabilité.

À l’aide de ces résultats, dans le paragraphe VI, nous donnerons trois théorèmes pour représenter les valeurs (limites) de la fonction aux points singuliers d'ordre négatif du cercle de convergence.

Le paragraphe VIIT poussera plus loin ces recherches en généralisant la notion du point singulier d'ordre négatif à l'étoile. La méthode de sommation exponentielle de M. Borel et le développement de M. Mittag-Leffler sous sa forme donnée par M. Lindelôf permettront de résoudre complètement la représentation de ces valeurs (limites) de la fonction.

L'objet du troisième Chapitre est l’étude des pôles et des points critiques algébriques. En particulier, dans le paragraphe VIII, nous nous servirons des moyennes arithmétiques d’ordre fractionnaire pour complèter un théorème de M. Hadamard comme M. Fatou a complété un résultat analogue de M. Hadamard relatif aux points réguliers du cercle de convergence.

Le paragraphe IX nous donnera la solution complète du problème relatif aux pôles silués sur le cercle de convergence et sur le polygone de sommabilité, et cela à l’aide de la sommation exponentielle de M. Borel.

Dans le paragraphe X, nous généraliserons ce résultat par la méthode de sommation exponentielle généralisée de M. Borel et par celle de M. Hanni.

Enfin, dans le paragraphe XI, à l’aide du développement, dû à M. Mittas-Leffler, des fonctions analytiques par une suite de fonctions entières, nous établirons la relation générale qui existe entre les coefficients de la série de Taylor et les pôles situés à l’origine des demidroites exclues de létoile,

Les deux derniers paragraphes s'occupent des points critiques algébriques situés sur le cercle de convergence, sur le polygone de sommabilité et sur la frontière des sommations exponentielles généralisées de M. Borel. En particulier, dans le paragraphe XIÏ, nous donnerons

n P. DIENES.

quelques théorèmes sur la croissance des fonctions entières qui nous serviront dans le paragraphe suivant.

Les principaux résultats de ce travail ont été énoncés dans des Notes insérées aux Comptes rendus de l’ Académie des Sciences (20 février . 90, 21 décembre 1908 et 15 mars 1909).