CHAPITRE LL

DE L'ORDRE DE LA FONCTION SUR LE CERCLE DE CONVERGENCE ET DE L'INFLUENCE DES ARGUMENTS DES COEFFICIENTS SUR LES SINGULARITÉS.

$ I. — De l’ordre et du degré d’infinitude de la fonction sur le cercle de convergence.

1. Bornons-nous, pour le moment, à l'étude de l’allure de la foncüon sur le cercle de convergence en supposant, pour plus de simplicité, que le centre de ce cercle soit à l’origine et que son rayon soit égal à l'unité.

Le problème qui se pose en premier lieu est de représenter le plus simplement possible la valeur de ja fonction dans les points réguliers du cercle de convergence. Par exemple, le théorème d’Abel donne une réponse partielle à cette question en disant que, lorsque la série ellemême converge en un point du cercle, la somme de la série représente bien la valeur de la fonction en ce point. Mais, malheureusement, un seul pôle d'ordre 1 situé sur le cercle de convergence rend absolument impossible la convergence de la série dans tous les points du cercle. D'autre part, une partie du cercle (ou le cercle entier même) peut être une ligne singulière sans troubler la convergence de la série dans les autres points du cercle.

Il est donc indispensable, pour les recherches méthodiques des singularités, de caractériser, de mesurer pour ainsi dire la singularité de la fonction considérée dans les points du cercle de convergence, et de caractériser de même la singularité de la fonction sur le cercle entier. C’est ce qui est fait par M. Hadamard dans la troisième Partie de sa Thèse (!) d’une manière fort heureuse en développant l’idée de M. Dar-

() Hapamarn, Essai sur l'étude des fonctions, etc. (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1892).

6 P. DIENES.

boux (!), qui consiste à envisager l'allure des dérivées successives de la fonction sur le cercle de convergence. Comme cet ordre de la singularité en un point du cercle et sur le cercle entier sera d’une grande importance dans la suite, nous allons en donner rapidement la définition.

2. A cet effet, introduisons une notion préliminaire, voisine de la notion de fonction à variation bornée.

Nous dirons, avec M. Hadamard (?), qu'une fonction continue f(x) de la variable réelle x est à écart fint dans l'intervalle (a, b), lorsque les intégrales

n feosn x f(x) de et n fsinnaf(e) de

prises entre des limites quelconques intérieures à l'intervalle (a, b)

restent finies et moindres en valeur absolue qu’une quantité finie I

lorsque # augmente indéfiniment. I est l'écart de la fonction dans cet

intervalle. Par exemple, si la fonction f(x) a une dérivée finie dans

tous les points de l’intervalle, la fonction y est à écart fini. Considérons maintenant, avec la fonction donnée

lies fonctions

Le

(5) He) = OCR GEL

où & est un nombre réel quelconque. L'opération H® est une légère modification de la dérivée d’ordre fractionnaire de Riemann.

M. Hadamard démontre que, lorsque la fonction H°/f(x) est finie, continue et à écart fini sur un arc (a, b) du cercle de convergence, il en est de même de la fonction H* f(x), «’ étant inférieur à. Donc, un arc déterminé (a, b) du cercle de convergence étant donné, il existe un nombre w, pouvant varier d’ailleurs de — + à + +, tel que, sur cet arc, la fonction H-®<f(x), pour € > 0, est finie, continue et à écart

(*) Darsoux, Sur l’approximation des fonctions de très grands nombres (Journal de Mathématiques, 1878).

(?) HapamarD, Thèse, p. 65.

fini, mais qu’une de ces propriétés fait défaut à la fonction Her Cr Le nombre w est l’ordre de la fonction f(x) sur l'arc (a, b).

On voit tout de suite que, l’are (a, b') étant intérieur à l'arc (a, b), l’ordre de la fonction sur cet arc ne peut surpasser l’ordre sur l'arc (a, b). On peut donc définir l’ordre de la fonction en un point x du cercle de convergence comme la limite des ordres sur des ares qui, tous, contiennent le point x et dont la longueur tend vers zéro. Ainsi, par exemple, l’ordre en un point régulier est nécessairement — +, car l’opération H* n’introduit pas des points singuliers nouveaux (Hana- MARD, Thèse, p. 51).

L'ordre sur le cercle entier Q est, par définition, le plus grand ordre sur le cercle (dans le sens algébrique du mot}, et, d'après un théorème

fondamental de M. Hadamard (Thèse, p. 71),

É log! a (4) Le ee, lon