BAL L

RS TL Hip)

En appliquant de nouveau le théorème (59), on obtient

(a) I l 1 En Peel (DE)

Ajoutons encore à cette équation les équations (64) et (63), ce dernier divisé par @&?, et remarquons que

S(a)—=B, Sa) +S,(a)+S;(a).

On a ainsi le théorème

TC Re PEME MTE POP)

C’est la généralisation aux points critiques algébriques et aux singularités beaucoup plus compliquées encore du théorème (39) relatif aux pôles.

On voit dans quelle mesure la méthode de sommation exponentielle de M. Borel permet d'étudier les singularités, et nous insistons tout particulièrement sur la simplicité remarquable des résultats obtenus par cette méthode qui montre à la fois la souplesse et lefficacité de cette sommation. Nous croyons confirmer par cela la remarque de M. Borel (‘) relative à l'importance toujours croissante du rôle de la fonction exponentielle dans la théorie des fonctions analytiques.

47. Le résultat trouvé précédemment se généralise enfin facilement par la méthode de la sommation exponentielle généralisée de

M. Borel.

(*) Vour, par exemple, Borgz, Leçons sur les fonctions entières, 1900, p. 117.

86 P. DIENES.

Soit, en effet, +, un point singulier de la fonction f(x) au voisinage duquel la fonction peut s’écrire

fe)= PE + fit) + fa), F5

k AE où l’ordre de

La) bia”

au point #, est inférieur à p et où x, est un point régulier de la foncüon /,(æ) situé dans l’intérieur du domaine de sommabilité de la somme exponentielle d'ordre r.

La dernière condition peut s’écrire

lim SM (a) = f(x).

A © D'autre part, on a = ar?

7è St (a) —— 0 = a’ > n!

n—=0 avec = b,+ bixo+...+ b;xi et

et

co

ET = (P+1) En > Bb b'

ST(a) — 21

m=e Im n—

ce qui donne immédiatement

: B2+0 ï ln LB LR lp +1) ou encore He BP mate JP?

DU T'(p - 1) on a DRE mo (2) se é rP lim — RES = — a”P bre? T(p +1)

Si l’on remarque encore que

Se (æ) = B,S{(a) + SU/(a) + S£ (a),

on obtient le théorème suivant :

S'O(TNNOOD

h —— 1m rP a'P T(p cie 1)

Les sommes exponentielles généralisées de M. Borel sont donc en relation simple avec les singularités. Elles permettent d’étudier la croissance de la fonction dans des points singuliers d’un genre très étendu. La seule restriction est celle qui concerne la position du point

singulier. Mais, pour montrer dans quelle mesure les restrictions de cette nature sont inévitables, il convient de remarquer que même le développement de M. Mittag-Leffler ne permet pas l’étude des points singuliers situés sur la continuation (et non pas à l’origine) d’une ligne de l’étoile.

Note. — Les méthodes dont nous nous sommes servi dans le troisième Chapitre de ce Mémoire ont été appliquées, avec les modifications nécessaires, par M Valérie Dienes, aux points critiques algébrico-logarithmiques (voir sa Note Sur les points critiques logarithmiques dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, séance du 26 avril 1909). Sans insister sur les théorèmes énoncés par elle dans cette Note, nous allons indiquer un de ses résultats relatif à la croissance des fonctions entières qu’elle utilise dans la démonstration de ses théorèmes généraux.

Soit donnée la fonction entière

nm n!

fta)=Ÿ e(n)

; o(n lim A)

nine —

où p et q sont des nombres réels quelconques, on a

OR AL) ee

2 Hora]|tem On peut remplacer log r par des fonctions beaucoup plus générales sans que le théorème cesse d’être vrai. On voit jusqu’à quel degré de

précision l’ordre de grandeur des coefficients peut déterminer celui de la fonction.

Vu et approuvé :

Paris, le ro mai 1909, LE DOYEN DE LA FACULTÉ DES SCIENCES, Pauz APPELL.

Vu et permis d’imprimer :

Paris, le ro mai 1909, Le Vice-RecTEUR DE L'ACADÉMIE DE PARIS, L. LIARD.