On peut vérifier cette inégalité de la façon suivante
Écrivons-la sous la forme ek—1 Æ KE
et prenons le logarithme des deux membres (56) k—1<klogk.
Il suffit, évidemment, de vérifier cette inégalité plus simple. Au point À — 1, toutes les deux fonctions de k, | Kk—1 et klogk,
prennent la valeur zéro. Dans le point £ —e, la fonction klogk est supérieure (de l’unité) à la fonction # — 1. Donc, si pour 4 > 1, l’iné-
ESSAI SUR LES SINGULARITÉS DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 77 Li ’ | 24 + . A ’ . ’ ’ . ’ 4] galité (56) cessait d’être vérifiée, la dérivée de la fonction Klogk—(k— 1)
devrait avoir une racine supérieure à 1. Mais cette dérivée est Justement log.
Donc on peut poser
avec CEST
Par suite, nous concluons comme auparavant que, r étant un nombre quelconque, è nd iD(G (57) lim A2) —" 9 ==.
Remarquons que l’on peut démontrer de la même manière que le terme maximum, et, par suite, la somme d’un nombre fini de termes divisée par e* tend aussi vers zéro. L'ordre de grandeur de e“ n’est donc déterminé exactement que par un nombre toujours croissant de termes, et nous avons essayé de réduire le nombre des termes importants au strict minimum.
4%. A l’aide de ces considérations, nous allons démontrer le théorème suivant :
Soit donnée la fonction entière
\ n CR DNNÈES
hi où Mio ! lin EE 2 (28) ENT À
étant un nombre réel quelconque. L'ordre de grandeur de la fonction f{a) est déterminé d’une manière très précise par l’équalion
; a (59) lim a
78 P. DIENES.
En effet, d’après la condition (58),
avec lin 20 Par suite, = a! Ÿ at — JE —> a UE fla)=a ANT ei CO 1—0 1—=0 et, d’après le théorème de Cesàro, æ a" dennr— LUN!
AS. line 0 = © a? {CS Ÿ na? = 2 n!
Il suffit donc de déterminer l’ordre de grandeur de la fonction
= Ÿ Ji (a) nr n| n=0 Pour cela, nous allons étendre à cette fonction les résultats acquis tout à l'heure, relatifs à la fonction exponentielle. Regardons, tout d’abord, la somme A'(a) des b premiers termes,
b étant la partie entière de et kZ> 1. Une limite supérieure de ces
termes est L, (ee fps Ê Die
donc A'(a) € bIPIA(a):
par suite encore, d’après (55),
(60) lim Le,
45. Prenons ensuite la somme B'(a) des termes dont les indices sont égaux ou supérieurs à Æa, et soit de nouveau b la partie entière
de ka.
On a a?
Be) = Ti Lo + (b ne 1)?
« « +(b+o2)r b+1 Co?)
DERDEE RE
Soit u. un entier plus grand que |p|, et laissons de côté les 4 u. premiers termes de B'(a). Cela est permis, car nous avons démontré que la somme d’un nombre fini de termes du développement de e“ divisé par e“ tend vers zéro, comme un nombre inférieur à 1 élevé à la puissance à.
Regardons maintenant le (4 + 1)*"* terme de la parenthèse en
remplaçant p par le nombre plus grand 1. Ce terme est
a av(b + ip)" (b+1)...(b+au)...(b+4n)
Etant donné que, pour r > 24,
b+ou+r<(b+r}),
on a nn (bou) (0 sn er) de sorte que se ( (b+4p) .
(b+ou+i)...(b+4p)
On peut donc écrire
’ at+tt a a B (a\—=Pir(a) = (b+opl (1 Œi B' p ab+tt Kk GERS (b+o2p)l er où Piu(a) lin - == 0:
ts (4 Mais art a?V a!
d’où il résulte, comme auparavant, que
Hu (&) (61) lim =>
[4 b+2p+i É b+ou+i b+op+o +...)
80 P. DIENES.
Il suffit donc, pour envisager l’ordre de grandeur de la fonction
entière ACC n=0 . , . . AR + . ’ de considérer les termes dont les indices sont supérieurs à + et infé-
rieurs à ak, k étant un nombre supérieur à l’unité.
44. On voit ainsi facilement qu’en désignant cette partie du développement par C’(a) et la partie correspondante du développement de e* par C(a), on a pour p > 0
(2) Ge) < C'(a) < (ak)? C(a):
k Donc lim sup. Jfi(a) = lim PU Reel) SE Fe aP'et PER aP et et mnt TE tonte TEE PSC Le OIPAE ee et Ke car En ee I ES (24 PE et
Pour p<o, la limite inférieure devient la limite supérieure et inversement.
Examinons enfin les points limites de la suite
Nous avons trouvé que tous les points limites sont entre 5 et Æ?. Je dis que le seul point limite est l’unité. En effet, soit x, un autre point
limite de la suite ; je prends X assez voisin de 1 pour que
fr <|1—x| et
[AP— il <|i— x, |,
ce qui est toujours possible, étant donné que X peut être aussi voisin de l’unité qu'on veut.
Mais dans ce cas æ, n’est pas entre 5 LA? ; donc x, ne peut pas être
un point limite de la suite envisagée.
On en conclut que
ce qu'il fallait démontrer.
45. Avant d'appliquer ce résultat aux points critiques algébriques situés sur le cercle de convergence et sur le polygone de sommabilité, nous allons démontrer, à l’aide des considérations précédentes, un théorème plus général sur la croissance des fonctions entières.
Soit donnée la fonction entière
OEDXICES
St les deux limites d’indétermination de o(n) sont w, et w,, c'est-à-dire si l’on a, à partir d’un certain indice,
(62) NP ER OUR ) An AE
£ étant aussi petit qu’on veut, on en peul conclure que
el
Appliquons le théorème de Cesàro aux deux fonctions à coefficients positifs
fa=YetmE
P. DIENES.
et
Nous avons lim se) = hr A) — Q ee PE) 7) ip :
D'autre part, d’après le théorème (59),
lim ER
d’où il résulte la première partie du théorème énoncé. La deuxième partie se démontre d’une manière analogue. D’après (62), qui est satisfait pour € quelconque,
nVoTE
lim
Donc, selon le théorème de Cesàro,
à! -a VITE se > n!
IH, = A= © > C a!
OI) — p { ET Lx } et Le) GE > HEC n!
Him e= 1 rer ao et
d’où l’on conclut, comme précédemment, que
L'intervalle d’indétermination du o(n) mesure donc celle de la
fonction.
En particulier, si ©, = ©, = w, ou, en d’autres termes, si o(n) est
A a 2 [Re Sa À ge : . ’ . . .
à croissance réguhère, l'intervalle d’indétermination de la fonction est
nul :
ESSAI SUR LES SINGULARITÉS DES FONCTIONS ANALYTIQUES. 83 el
TN Se a ane ea
On peut donc dire que la croissance de fa) est régulière, et son ordre de grandeur est mesuré par
«© + la croissance de ef,
S XIII. — Des points critiques algébriques situés sur le cercle de convergence et sur le polygone de sommabilité.
46. Passons maintenant à l'étude des points critiques algébriques à l’aide de la méthode de la sommation exponentielle de M. Borel. Soit donnée la fonction analytique
RDC
et soit x, un de ses points singuliers sur le cercle de convergence ou sur le polygone de sommabilité (sommets exclus) dans le voisinage duquel la fonction puisse se mettre sous la forme
où p est un nombre positif quelconque et où l’ordre de f,(æ) au point +, est p,< p. Ce cas est réalisé si x, est un point critique algébrique de la fonction f(x). Supposons, pour plus de simplicité, que Lg — I.
D'après la définition de l’ordre
fix) =faæ) + fs),
où f,(æ) est holomorphe dans le cercle de rayon 1, son ordre sur le cercle étant p = p,+e<p, et où f,(x) est holomorphe au point 1, le polygone de sommabilité de /,(x) contenant ce point à son intérieur.
Tout d’abord, la somme exponentielle S,(a) formée au point 1 pour
84 P. DIENES.
la fonction f,(x) a une limite bien déterminée
(63) lim S;(a) = /3(1).
Formons maintenant la somme exponentielle S,(a) pour la fonction
fa(æ) => b,æ".
=) D'après (4) ! te . log | br | p'—13= lim Re à
d'où l’on conclut que |» | Æ nP1i#€
et que [se l—= 160 + bi+...+ Bb, |< nP+€,
e’ étant arbitraire. Choisissons e’ de façon que
PRE; nous avons
Appliquons maintenant le théorème (59) à la fonction entière
SD le ET n=0
En remarquant que
S2(a) < n=0 al = al et nous obtiendrons (64) lim Fa) 0:
== aP
Occupons-nous enfin de la somme exponentielle S,(a ) formée au
point 1 pour la fonction
G—zx}
On a Niprue cd ! n!
S HN = n—=0 1 ) = a! à D
na—=0
1 (( +1) Val . . . . .
où B°"° sont des coefficients binomiaux, et l’on sait de ces coefficients
que
