EXEMPLE DE THÉORIE ABSTRAITE

déterminent, par exemple, l’électron. Nous chercherons alors ce que devient cet électron et comment il se comporte quand le groupe d’ondes correspondant se déforme beaucoup ; ou bien de modifier certaines expressions en s'inspirant de leur forme ondulatoire, abstraction faite de tout domaine particulier d'application et de toute figure intuitive particulière. C’est avant tout ce qu’a fait M. Schrôdinger, poursuivant d’ailleurs l’entreprise de M. de Broglie. En effet celui-ci, raisonnant avec les concepts de la mécanique classique, s'était demandé ce que devenait l’équation de Hamilton-J'acobi, lorsqu'on y introduisait la phase au lieu de l’action. Il vient aussitôt, y } au lieu de H (a, S\ LE H | ai —h ) ns qi, 3 ? 2r 0Qi Pouvons-nous passer maintenant à une équation portant directement

sur l’onde? Posons Ÿ=eï, nous aurons H (a de : a\ —=E. 2x Ÿ dai

Naturellement il n’y a là qu’un changement de variables qui ne peut rien introduire de nouveau par lui-même. Mais peut-être pourrions-nous modifier cette équation, ce qui nous donnerait directement l’équation de Hamilton-Jacobi, sous une forme nouvelle. C’est ainsi que, passant des équations de la force newtonienne à celles de l’action, et modifiant cellesci suivant des analogies géométriques, M. Einstein est arrivé à son ds et de là aux équations qui donnent le mouvement. Telle a été l’entreprise de M. Schrôdinger. L’onde qu’il considère est unique pour un point, elle correspond done au groupe d’ondes de de Broglie, elle à d’ailleurs un sens tout à fait indéterminé.

Après une série de tâtonnements, d’ailleurs extrêmement intéressants. et qui sont indiqués dans ses premiers mémoires, M. Schrôdinger est

à arrivé à considérer une équation de la forme [1] À Ÿ+ = (E-V) Ÿ=0, qui

se rattache à l'expression symbolique ef H(-R. q)- E |v=0 H étant la forme quadratique correspondant, dans la mécanique normale, à la fonction hamiltonienne propre au système considéré, E l’expression accoutumée de l’énergie. Cette équation possède des propriétés tout à fait remarquables au point de vue physique, qui se rattachent à celles de l'équation des cordes vibrantes. En effet, elle n’admet de solutions finies, continues et nulles à l’infini que par une série de valeurs de E au moins dans certaines régions où peut se trouver E. Or, il se trouve que, dans les cas simples de l’ancienne théorie quantique, atome d'hydrogène, oscillateur harmonique, rotateur, les valeurs de E qui donnent des solutions acceptables sont justement les niveaux d’énergie dont les différences déterminent les sauts quantiques et les radiations observées expérimentalement. On obtient les niveaux de Bohr vérifiés, et même les formules expérimentales où intervenaient les demi-quanta (oscillateur harmonique). D'autre part, M. Schrôdinger est arrivé à construire au moyen des autofonctions, c’est-à-dire des fonctions ÿ vérifiant l'équation [1], quand E prend les valeurs permises, les matrices de M. Heisenberg qui sont l'instrument d’une autre et utile théorie de la mécanique quantique.

Il n’y à là d’ailleurs qu'un point de départ. Tout d’abord, les physiciens :

ont essayé d'adapter l'équation de Schrôdinger à la forme relativiste; c’est ainsi que l’on a proposé, dans le cas le plus simple, celui d’un mobile

: ste Ar? : : ; inerte, une expression du type []Ÿ — = m,c?y=0o. Ensuite, l'emploi de

la formule symbolique [2| ne peut être qu’un artifice, susceptible de réussir dans des cas particuliers, mais qu’on hésite à ériger en règle générale. II faut donc, dans chaque cas nouveau, définir l’équation caractéristique, en s'inspirant, d’une manière très indéterminée, de l’équation de Hamilton Jacobi. Tel est le point de départ de la nouvelle mécanique ondulatoire, qui est encore à sa phase d'élaboration. Il ne peut être question d’en donner ici une idée plus précise, mais nous pouvons, semble-t-il, faire à ce sujet quelques remarques épistémologiques, complémentaires de celles qui touchaient la théorie relativiste.

Il est tout d’abora évident que, même du point de vue formel, c’est une grosse régression que de devoir chercher par tâtonnements dans chaque cas nouveau l'équation caractéristique. Une difficulté analogue se présente dans la Relativité générale, où les équations d’un système de masses gravifiques ponctuelles ne peuvent s’écrire immédiatement. Au moins avons-nous en ce cas une condition très générale délimitant les lois possibles : la loi même de gravitation : Ruy—0, dans le cas du vide. Il semblerait donc qu'une loi correspondante dût justifier et guider notre choix d’une expression ondulatoire. En second lieu, en Relativité générale, nous passons tout naturellement de la loi de l’espace-temps à la loi du mouvement, par application d’un principe géodésique. Nous voudrions avoir wune rèsle nous permettant de tirer les lois du phénomène par résolution de l’équation caractéristique comme l’on tire de l’équation de Jacobi, quand on sait l'intégrer, les moments et la variation des coordonnées. Jusqu'ici, les physiciens s'intéressent surtout aux niveaux d'énergie, qui interviennent seuls dans la détermination du rayonnement,

Il serait en second lieu désirable de connaître le sens physique de l’équation elle-même, ou du moins de la fonction Ÿ. Dans la théorie relativiste, l’analogie des surfaces nous guide : Ruv est la courbure de l’espacetemps, le 4s? en est l’élément linéaire, et même si cette interprétation dogmatique nous semble inacceptable, le ds reste l’élément de temps propre vécu par le mobile, le principe des géodésiques se ramène à eelui de l’inertie, ou encore à celui de Fermat. Ici, au contraire, nous sommes embarrassés : dire que Ÿ représente une onde ne nous avance guère, A la

7e : ARR Le 3 formule la plus élémentaire [] Ÿ— 2 Mc Ÿ=0, on peut trouver, dans un

cas privilégié, une interprétation simple : si m,—0, nous sommes en présence d’un photon dont la masse propre est nulle, et dans []Ÿ=0, Ÿ est simplement l’onde lumineuse elle-même. Mais que dire dans le cas général ? Schrôdinger a parfois considéré l’électron comme constitué par un paquet W’ondes, conception très proche de celle de de Broglie. Mais Heisenberg a montré que dans le cas général le paquet se dispersait : il n’y aurait plus d’électron. Parfois, il à formé avec Ÿ une sorte de densité électrique qui pourrait être liée au mouvement d’un fluide conservatif, dont Gordon a donné l’expression. Parfois aussi il a fait de |Ÿ|? une probabilité. Nous reviendrons sur ce dernier point. Par ailleurs, sil s’agit d’un système complexe, nous n’avons affaire qu’à une seule équation, done à une seule